Диссертация (Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты), страница 11

Ввиду того, что имеет место соотношение1/3˙ = −20(︃˙5/3 0300(2.23),)︃2/3.Подставим в это уравнение выражение для ˙0 из системы(︃получим:(2.22):)︃1× 7 (1 − 2 )15/2{︃ [︃]︃}︃1cos − 1/3 (1 − 2 )1/2 · 2 () · (1 − 2 )3/2 − 3 () ,×00˙ = 1 +где = 362 2 .Вычислим значение коэффициента с использованием следующих численных значений параметров системы Земля-Луна [36]: = 5.9736 · 1024 кг — масса Земли, = 6.378 · 106 м — радиус Земли, = 23.93419 час — период вращения Земли = 734.9 · 1020 кг — масса Луны, = 384.4 · 106 м — большая полуось орбиты Луны, = 0.0549 — эксцентриситет орбиты Луны, = 5.15∘ — наклонение орбиты Луны, = 27.321661 сут — период обращения Луны вокруг Земли,2 = 6.67 · 10−11 Нкг·м2 — гравитационная постоянная,см = 1, 204 · 10−9 м — скорость изменения большой полуоси.˙ л = 3.8 годссм , то = 362 2 = 7.5977 · 1026 ( м ).Так как для Луны ˙ = 3.8 годкг·сГрафик эволюции большой полуоси Луны изображен на рис.

2.8. Масштаб времени 1 : 3 · 1012 лет.84100959085a/R⊕807570656000.20.40.60.81tРис. 2.8. Эволюция большой полуоси орбиты Луны в масштабе времени1 : 3 · 1012 лет.Исходя из вычисленного значения для параметров, входящих в Δ1 ,получены следующие оценки:Через 310 миллиардов лет Луна удалится на максимальное расстояние,которое составит порядка 6 · 105 км или примерно 94.3 земных радиуса.При этом эксцентриситет = 0.1578, параметр 0 = 0.0037, наклонение = 0.1645∘ и период обращения составит = 53.6662 дней.В дальнейшем Луна снова будет приближаться к Земле, после чего установятся следующие значения параметров: большая полуось = 5.8777 ·105 км = 92.1556, параметр 0 = 0.0038, период обращения = 51.7840дней, эксцентриситет и наклонение уменьшатся практически до нуля, повремени это произойдет согласно расчетам через 8.1072·1013 лет.

На рис. 2.9представлены графики орбитальных параметров Земля-Луна в масштабевремени 1 : 1013 лет.Полученные численные результаты для рассматриваемой в данной работе модели «планета-спутник» не учитывают влияния Солнца.85−3x 1080.270.15n06e0.150.054300.20.4t0.60.801060.20.4t0.60.811005904i◦a/R⊕3802701000.5t16000.5t1Рис.

2.9Качественно результаты совпадают с другими исследованиями [2, 23,36, 83]. В частности, такое поведение системы Земля-Луна описано у Макдональда [2].Уравнения МиньяраСингер (1968)[82] предположил, что угол запаздывания приливного горба должен быть пропорционален основной частоте прилива. Это предположение эквивалентно установке постоянной временной задержки Δ.Сингер применил свою теорию для исследования эволюции Луны, Фобосаи Деймоса. Подробное математическое развитие идеи Сингера можно найтиу Миньяра (1979, 1980)[75, 76], который полностью избежал использованияугла запаздывания и работал только с временной задержкой. Позднее предположение Сингера о постоянстве Δ также было использовано в другихработах (например, Тоума и Виздом (1994)[84]).Обратимся к уравнениям, полученным Миньяром [76] (обозначения в86уравнениях изменены в соответствие с данной работой):{︂}︂1cos˙ = 2· 2 () · (1 − 2 )3/2 − 3 ()215/2(1 − )}︂{︂ cos 2 3/2· 5 () · (1 − ) − 4 () ,˙ = (1 − 2 )13/21 1 sin =− 3/21 (),2 (1 − 2 )5где =, = 12 2 21 [︃ Δ 1 2 (2.24)(︃, = 283)︃1/2, =0( 2 )1/2,]︃ 1/2cos = 3/2 cos −(1 − 2 )1/2 , = /2 , 2 — число Лява.Вплоть до коэффициентов, вид уравнений совпадает с полученными вданной работе (система (2.22)).

Рассмотрим подробнее коэффициенты.16/3Параметру соответствует величина Δ1 0 ,( + ) 5 ( + ) Δ 82= 32 Δ, = 12 2 4 2 3 8818()( + ) 516/3Δ1 0 = 3·,1058Величина 2 Δ, отвечающая за эволюцию, согласно Миньяру[77] равна2.8 минут или 168 секунд. Соответствующая ей величина в нашем уравнении:18()=, равна 180.1056 5 1/2Величине 1/3 соответствует0 1/2 1/2 ( 2 )1/2 1/2 1/2 1/2 = 1/2=,002/31/31/3 0 01/2 1/2 ==,1/34/31/3 1/3 0 ( + )1/200При ≪ можно положить:( +Осталось рассмотреть две величины)1/210и≈ 1/21 3/2 :87100 3/20 3/21,0 1/2 ( + )1/2 1/2 ( + )1/22 01 3/2 0 3/2 1/23/2 =,= + ( 2 )1/2 3/2 1/2 + 1/211Аналогично,≈( ≪ ).≈ + ( + )1/2 1/2Наша модель не зависит от частоты и угла запаздывания, а так же и отдругих параметров, связанных с приливным горбом.

За эволюцию системыотвечают параметры (), которые определяются внутренними характеристиками планеты, и на данном этапе развития науки и технологий всёещё сложны для определения (в частности из-за разнообразия и неоднородности состава планет), но могут быть оценены с некоторой степеньюточности.Приведенные выше рассуждения позволяют говорить о достоверностиполученных в данной работе результатов.===§2.4.1. 3D визуализация модели движения спутникаДля исследования эволюционной системы уравнений(2.22)была раз-работана программа на языке Python с пользовательским интерфейсом,обладающая следующими основными возможностями:∙ интегрирование системы(2.22)по заданным начальным условиям;∙ построение графиков эволюции параметров орбиты спутника: эксцентриситета , наклонения и большой полуоси на интервале интегрирования;∙ возможность динамического перемещения по интервалу интегрирования с отображением текущей позиции на графиках;∙ расчет параметров эксцентриситета , наклонения и большой полуоси в выбранный момент времени на интервале интегрирования;∙ 3D визуализация модели движения спутника (рис.

2.10) в выбранныймомент времени в зависимости от значений , и ;∙ сохранение введенных параметров в файл и их загрузка.88Программу можно использовать в учебных заведения с целью изучениявлияния различных параметров на приливную эволюцию орбиты спутника.В приложении В.1 можно ознакомиться с инструкцией по использованию.Рис.

2.10. Интерфейс программы 3D визуализации движения спутника89ГЛАВА 3ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ С ЯДРОМ(НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПОСТАНОВКА)В третьей главе рассматривается задача о движении спутникав поле притяжения планеты с ядром. Из вариационного принципа выводятся интегро-дифференциальные уравнения движения исследуемой системы. Исследуется деформация вязкоупругой оболочки планеты.

Получена возмущенная система уравнений движениямеханической системы «планета-спутник».§3.1. Постановка задачи. Уравнения движенияРассмотрим задачу о поступательно-вращательном движении системы «планета-спутник» в гравитационном поле сил взаимного притяжения.Спутник будем моделировать материальной точкой с массой . Планетубудем моделировать телом, состоящим из твердого ядра и вязкоупругойоболочки, занимающим область = 0 ∪ 1 в трехмерном евклидовом}︀r ∈ 3 : |r| ≤ 0 ,}︀{︀1 = r ∈ 3 : 0 < |r| ≤ 1 . Пусть 0 , 1 — плотности ядра и вязкоупругой оболочки соответственно, а 0 , 1 — их массы. Предполагается, чтоматериал оболочки планеты является однородным и изотропным.Введем инерциальную систему координат с началом в центремасс системы «планета-спутник».

Для описания вращательного движенияпространстве при отсутствии деформаций. Здесь 0 ={︀Рис. 3.1. Иллюстрация постановки задачи90планеты введем подвижную систему координат 1 2 3 жестко связаннуюс ядром и систему осей Кенига 1 2 3 , где — центр масс планеты в естественном недеформированном состоянии (рис.

3.1).Положение точки планеты в инерциальной системе координат определяется векторным полемR (r, ) = OC + Γ(r + u(r, )),(3.1)где Γ — оператор перехода от подвижной системы координат 1 2 3 ксистеме осей Кенига 1 2 3 , u(r, ) — вектор упругого смещения, равныйтождественно нулю для точек твердого ядра 0 . Так как — центр массрассматриваемой механической системы, то∫︁R (r, ) + · OP = 0(3.2)⎧⎨ ,0Здесь =⎩ 1 ,еслиr ∈ 0.r ∈ 1Введем в рассмотрение вектор R = CP. Тогда из (3.1) и (3.2) получим:если∫︁1OC = −R−Γu1 1 ,++∫︁ 11OP =R−Γu1 1++(3.3)1Здесь — масса планеты, = 0 + 1 .Потенциальная энергия гравитационного поля определяется функционалом∫︁Π = −,|−R + Γ (r + u)|(3.4)где — универсальная гравитационная постоянная.Функционал потенциальной энергии упругих деформаций зададим в91соответствии с линейной моделью теории упругости:∫︁E˜ =E [u] 1 ,(︀)︀E [u] = 1 E2 − 2 E ,(3.5)1где1 =E =E(1 − ),2(1 + )(1 − 2)3∑︁ , E ==1∑︁ (︀<2 =2(1 − 2),1−1 > 0, 0 < 2 < 3,)︀1 − 2 , =2(︂+)︂,u = (1 , 2 , 3 )где E — модуль упругости Юнга, — коэффициент Пуассона вязкоупругойоболочки планеты, E , E — инварианты тензора малых деформаций.Диссипативные свойства вязкоупругой оболочки опишем диссипативным функционаломD=∫︁D [u̇] 1 ,D [u̇] = E [u̇] ,1соответствующим модели Кельвина-Фойгта (здесь > 0 — коэффициентвнутреннего вязкого трения).Положим R = OP.

Уравнения движения системы «планета-спутник»получим из вариационного принципа Даламбера-Лагранжа:∫︁ (︁)︁)︁(︁R̈ , R + R̈ , R + Π +∫︁+1(∇u E [u] + ∇u̇ D [u̇] , u) 1 = 0(3.6)92Согласно равенствамR̈и(3.1)1=−R̈ −Γ++(3.3)имеем:∫︁{ × [ × u] + 2 × u̇ + ˙ × u + ü} 1 11+Γ { × [ × (r + u)] + 2 × u̇ + ˙ × (r + u) + ü} ,∫︁1R = −R −Γ { × u + u} 1 1 +++1+Γ { × (r + u) + u} ,1R̈ =R̈ −Γ++(3.7)∫︁{ × [ × u] + 2 × u̇ + ˙ × u + ü} 1 1 ,11R =R −Γ++∫︁{ × u + u} 1 1 .1Здесь — вектор угловой скорости планеты, — вектор, возникающий при варьировании ортогонального оператора Γ: × (·) = Γ−1 Γ̇ (·) , Γ (·) = Γ [ × (·)] .Подставляя в равенство(3.6)выражения(3.7)для R̈ , R , R̈ , Rи приравнивая коэффициенты при независимых вариациях R, , u, получим уравнения движения системы «планета-спутник» в виде:−+∫︁R̈ +R̈ + +⎡∫︁⎣r + u − 1+∫︁R − Γ (r + u) = 0,|R − Γ (r + u)|3(3.8)⎤∫︁∫︁u1 1 ⎦×Γ−1 R̈ −u1 1 ×Γ−1 R̈ −+11(︀ −1)︀∫︁(r + u) × Γ R − (r + u)− = 0, (3.9)|R − Γ (r + u)|3931⎧⎨Γ−1 R̈ −⎩1+∫︁⎫Γ R − (r + u) ⎬−1−1Γ R̈ − +Γ R̈ −3+|R − Γ (r + u)| ⎭−1+ ∇u E [u + u̇] = 0.(3.10)§3.2.

Деформации вязкоупругой оболочки планеты§3.2.1. Форма вращающейся вязкоупругой планеты без учета гравитационных силБудем полагать, что жесткость вязкоупругой оболочки планеты велика,т.е. мал безразмерный параметр ˜ = 02 12 E−1 , где 0 — величина модуляначальной угловой скорости планеты. Выбрав соответствующим образоммасштабы размерных единиц, можно ввести малый параметр = E−1 . При = 0 вектор упругого смещения u полагается равным нулю. В этом случае получим задачу о движении механической системы, состоящей из абсолютно твердого тела сферической формы и материальной точки, в полесил взаимного притяжения.

Невозмущенная система уравнений движенияимеет вид:R̈ + ( + )R = 0,3˙ = 0,(3.11)(︀)︀]︀8 [︀ 50 0 + 1 15 − 05 — момент инерции планеты в недеформи15рованном состоянии относительно диаметра.При ̸= 0 согласно методу разделения движений [13] из уравнения(3.10) определим деформации вязкоупругой оболочки, вызванные полемвнешних сил и сил инерции переносного движения. Решение уравнения(3.10) будем искать в виде разложения по степеням малого параметра :где =u = u1 + 2 u2 + · · ·.Краевая задача для определения функции u1 первого приближения94имеет вид [31]:2∇u E [u1 + u̇1 ] = 1 2 r + ∇r + ∇r ,3u1 |=0 = 0, |=1 = 0.(3.12)(3.13)Здесь[︂11grad∇u E [u1 ] = −2 (1 + ) 1 − 2 = (1 , 2 , 3 ) ,]︂div u1+ Δu1 ,n = (1 , 2 , 3 ) ,(︂)︂EiEu1 =div u1 ++ grad , n , = 1, 2, 3,(1 + )(1 − 2)2 (1 + ) {︂}︂{︂}︂1 2 2 13 1 1 2 122 − (, r) , = − − (, r) , = 162362 = Γ−1 R/, = |R|, = ||.Краевые условия (3.13) означают равенство нулю вектора упругого смещения для точек внутренней поверхности сферической оболочки, прикрепленной к твердому ядру, и равенство нулю напряжений на внешней поверхности сферической оболочки.Решение краевой задачи(3.12)-(3.13)имеет вид [31]:u1 = u10 + u11 + u12 ,(3.14)гдеu10u11(︁23 )︁22= 1 1 + 2 + 3 r,3)︂(︂)︂(︂3467= 1 2 + 2 + 3 + 5 ∇r + 5 + 5 + 7 r,u12 ≈ u120 − u̇120 ,(︂)︂(︂)︂3 46 72u120 = 1 + 2 + 3 + 5 ∇r + 5 + 5 + 7 r,(3.15)951+1 12 (45 + 5 + 6)1 = −,2 = −,5( + 2)43 + 3 + 21 15 3 ((3 + 2)2 − 5 − 6),3 = −43 + 3 + 2(1 + ) {︀8(9 + 14)10 + 807 + 24( + 1)(5 + 11)5 −Δ0}︀− 5( + 2)(15 + 16)3 + 2(3 + 8)(5 + 4) ,(1 + )12 {︀2 =8(9 + 14)12 + 8(15 2 + 46 + 51)7 −Δ0}︀− (63 2 + 114 + 56)5 + 4(3 + 8)(4 + 3) ,}︀2(1 + )15 3 {︀3 =409 − 16( + 6)7 + (21 + 16)2 − 10(4 + 3) ,Δ01 = −2(1 + )( + 1)17 5 {︀247 − 2(3 + 26)5 +4 =Δ0}︀+ (15 + 16)2 − 6(4 + 3) ,4(1 + )( + 1) {︀5 = −607 − 12(2 + 17)5 +Δ0}︀+ 5(3 + 26)3 − 2(3 + 8) ,6 = 3( + 1)3 , 7 = −54 ,Δ0 = 8(2 + 7)(9 + 14)10 + 200(3 2 + 8 + 7)7 − 1008( + 1)2 5 ++25(27 2 + 56 + 28)3 + 2(3 + 8)(19 + 14),20, = .=1 − 21Заметим, что согласно методу разделения движений [13] зависимостьвектор-функции u120 от времени осуществляется через величины и всоответствии с невозмущенной задачей(3.11).Введем подвижную систему координат 1 2 3 , связанную с планетой.Начало координат поместим в центре твердого ядра, а ось 3 направимпо вектору .