Диссертация (Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты), страница 6

При получении уравнений последнего интеграла в (1.9c) была исполь-29зована теорема Остроградского-Гаусса в виде:∫︁(2 , rot u) =∫︁(u × 2 ) · n §1.2. Уравнения невозмущенного движения:u≡0Рассмотрим случай невозмущенного движения системы, когда планетапредставляет собой абсолютно твердый шар и деформации отсутствуют.Уравнения (1.9a), (1.9b) при u ≡ 0 примут вид:−+−R̈ + Γ { × [ × r] + ˙ × r} ++∫︁ (︂)︂2+R̈ + ( + )2∫︁[︂r× Γ−1(︂∫︁R − Γr = 0 (1.10)|R − Γr|3)︂]︂R̈ + × [ × r] + ˙ × r +−+(︀)︀∫︁r × −Γ−1 R + r+ = 0|−Γ−1 R + r|3(1.11)Заметим, что справедливы следующие равенства:∫︁∫︁a+ra=, |a| > |r||a|3|a + r|3a×r = 0|a + r|3∫︁r × {a × [a × r]} = 0∫︁∫︁a−ra3 =|a|3|a − r|2r × [a × r] = 02 a ;5∫︁[a × r] = 0Здесь вектор a не зависит от компонент вектора r.

Поэтому уравнения30(1.10), (1.11) примут вид:R̈ + ( + ) ·R= 0,3(1.12) = |R|(1.13)˙ = 025где = 02 — момент инерции шара относительно диаметра.§1.3. Построение«возмущенной»системыуравненийдвиженияСчитаем, что жесткость деформируемой планеты велика, т.е. мал безразмерный параметр ˜ = 02 02 E−1 , обратно пропорциональный модулюЮнга E, где 0 — величина модуля начальной угловой скорости планеты.Выбрав соответствующим образом масштабы размерных величин, можнополучить = E−1 .

При = 0 вектор упругого смещения u полагается равным нулю. Тогда получим задачу о движении механической системы, состоящей из абсолютно твердого шара радиуса 0 и массы и материальнойточки массы в гравитационном поле взаимного притяжения. Уравнениядвижения невозмущенной задачи записываются в виде двух дифференциальных уравнений (1.12), (1.13).При ̸= 0 согласно методу разделения движений для систем с бесконечным числом степеней свободы [13] из уравнения (1.9c) будем искатьвектор-функцию u, описывающую квазистатические деформации планетыпод действием внешних сил и сил инерции в виде:u = u1 + 2 u2 + · · · .При этом множители Лагранжа 1 , 2 также ищем в виде разложений постепеням малого параметра :1 = 10 + 11 + · · · , 2 = 20 + 21 + · · · .31Получим из уравнение (1.9c) для нахождения u1 :∫︁ (︂)︂−1−Γ R̈ + × [ × r] + ˙ × r, u ++)︂∫︁ (︂−Γ−1 R + r+ , u +|−Γ−1 R + r|3∫︁ (∇u E [u1 + u˙1 ] + 10 , u) ++∫︁+(20 × n) · u = 0 (1.14)В уравнении (1.14) R, зависят от времени согласно невозмущеннойΓ−1 R˙ = 0, Γ R̈ = − ( + ) ·системе (1.12), (1.13).

Поэтому . Тогда из|R|3(1.14) следует−1)︂Γ−1 R+ × [ × r] , u +|R|3)︂∫︁ (︂∫︁−Γ−1 R + r+ , u + (∇u E [u1 + u˙1 ] + 10 , u) +|−Γ−1 R + r|3∫︁(︀)︀3+ (20 × n) · u = 0∀u ∈ 21 ()(1.15)∫︁ (︂Работа упругих и диссипативных сил на бесконечно малых поворотахравна нулю. Положим в (1.15) u = × r. Тогда∫︁8(20 × n) · ( × r) = 03 (20 , ) = 0 ∀ ∈ 3 ⇒ 20 = 03Работа упругих и диссипативных сил при поступательном движенииравна нулю. Положим в (1.15) u = , ∈ 3 .

Тогда получим(︃ (︀Γ−1 R, |R|3)︀ )︃(︃ (︀+ 0 − Γ−1 R, |R|3)︀ )︃+ (10 , ) = 0 ⇒ 10 = 0Итак, в уравнении (1.15) 10 = 0, 20 = 0. Далее воспользуемся тем,32что |r| 6 0 ≪ |R|. Поэтомуa+r13 ≈|a + r||a|3{︂3 (a, r) aa+r−|a|2}︂, a = −Γ−1 R(1.16)С учетом равенства (1.16) из уравнения (1.15) получим:}︂{︂3r−(, r) ,∇u E [u1 + u˙1 ] = − × [ × r] + |R|3 |R|3(1.17) = 0,(1.18)Γ−1 Rгде =— единичный вектор, а условие (1.18) означает равенство|R|нулю напряжений на поверхности шара [13, 31].Преобразуем правую часть равенства (1.17)12[ × [ × r]] = (, r) − r(, ) = (, r) − r 2 − r 233Тогда2∇u E [u1 +u˙1 ] = 2 r+3{︂1 2r − (, r)3}︂3 −|R|3{︂1r − (, r) 3}︂Положим = · где — единичный вектор, направленный по вектору .

Тогда2∇u E [u1 +u̇1 ] = 2 r+ 23{︂13 r − ( , r) −3|R|3}︂{︂1r − (, r)3}︂(1.19)Далее,}︂1r − ( , r) = ∇r 1 ,3{︂}︂3 1−r − (, r) = ∇r 2 ,|R|3 3{︂}︂{︂}︂1 2 13 1 2 1222где 1 = − ( , r) , 2 = − − (, r) .62|R|3 62Функции 1 , 2 — являются сферическими, т.е. однородными относительно компонент вектора r (r = (1 , 2 , 3 )), удовлетворяющими уравне2{︂33нию ЛапласаΔ = 0 ⇔ 2 2 2++=0212223В уравнении (1.19)[︂]︂11∇u E [u1 ] =grad div u1 + Δu12(1 + ) 1 − 2Тогда2∇u E [u1 + u˙1 ] = 2 r + ∇r 1 + ∇r 23 = 0(1.20)(1.21)Так как уравнение (1.20) линейно, то решение краевой задачи (1.20)–(1.21) можно представить в виде трех функций:u1 = u10 + u11 + u12 ,где функции u10 , u11 , u12 , являются решениями следующих краевых задачтеории вязкоупругости2∇u E [u10 ] = 2 r3∇u E [u11 ] = ∇r 1(1.22)∇u E [u12 + u̇12 ] = ∇r 2(1.24)(1.23)Граничные условия для уравнений (1.22)–(1.24) состоят в равенстве нулю напряжений на поверхности шара.Замечание.

В силу невозмущенной системы уравнений правые частиуравнений (1.22), (1.23) не зависят от времени, поэтому в левых частях нетслагаемых u̇10 и u̇11 соответственно.Функции u10 , u11 , u12 имеют вид [7, 31]:{︀}︀2u10 = 2 1 2 + 2 02 r,3(1.25)34где 1 = −(1 + )(1 − 2)(1 − 2)(3 − ), 2 =10(1 − )10(1 − ){︂u11 = 1где 1 =[︂[︀]︀ 11 2 2 1 − (, r)2 r + 2 2 + 3 02 · 2 r − (, r)623]︂[︂]︂}︂,(1.26)2(1 + )(1 + )(2 + )(1 + )(2 + 3), 2 = −, 2 =5 + 75 + 75 + 7u12 ≈ u120 − u̇120{︂ [︂]︂[︂]︂}︂[︀ 2]︀ 13 1 2 122u120 = − 31 − (, r) r + 2 + 3 0 · r − (, r)623В последнем выражении от зависят и ( = |R|), поэтому(︃)︃ {︂ [︂]︂˙31 2 13 1+·1 − (, r)2 r+u12 = − 362]︂}︂[︂[︀]︀ 1+ 2 2 + 3 02 · r − (, r) −3{︁]︁}︁[︀ 2]︀ [︁3 2˙˙˙−1 (, r)(, r)r + 2 + 3 0 · (, r) + (, r)(1.27)3u = [u10 + u11 + u12 ](1.28)Далее уравнения (1.9a), (1.9b) следует линеаризовать по u и u̇ и подставить в эти уравнения вместо u функцию, определяемую формулами(1.25)–(1.28).Линеаризуем по u уравнение (1.9a): ( + )R+3∫︁3 ( + )+Γ [5(, r)(, u) − (r, u) − r(, u) − u(, r)] = 0.4R̈ +(1.29)При выводе уравнения (1.29) было использовано приближенное равен-35ствоa+r+ua1≈+[r + u − 3a0 (a0 , r) − 3a0 (a0 , u)] +|a + r + u|33 33 [︀+ 4 −a0 2 − 2a0 (r, u) + 5a0 (a0 , r)2 + 10a0 (a0 , r)(a0 , u)−2]︀− 2r(a0 , r) − 2r(a0 , u) − 2u(a0 , r)где a = −Γ−1 R, a0 = − , = , |r + u| ≪ .

Кроме того, было учтено,что:∫︁R̈ = −R̈,+∫︁[r + u − 3(, r) − 3(, u)] = 0,∫︁[︀]︀2 − 5(, r)2 + 2r(, r) = 0Преобразуем уравнение (1.9b). Для этого введем в рассмотрение векторкинетического момента вязкоупругого шара относительно центра масс∫︁Γ(r + u) ×L=[Γ(r + u)] (1.30)Тогда первое слагаемое в левой части равенства (1.9b) примет вид:∫︁Γ(r + u) × R̈ ==−+∫︁∫︁Γ(r + u) × −R̈ ·+ [Γ(r + u)]¨ =+[︂Γ(r + u) × R̈ +]︂∫︁Γ(r + u) × [Γ(r + u)]¨ = L̇Линеаризуя по u второе слагаемое в (1.9b) и учитывая, что |r + u| ≪ ,получим:3 L̇ − 3 Γ∫︁{[u × ] (, r) + [r × ] (, u)} = 0.(1.31)На следующем шаге функцию u, определяемую формулами (1.25)–(1.28) следует подставить в полученные линеаризованные уравнения (1.29),36(1.31) и вычислить тройные интегралы по шару.Для преобразования уравнений (1.29), (1.31) понадобятся следующиеутверждения:Лемма 1.

Пусть[︀]︀h = 1 2 + 2 02 r,где 1 = −(1 + )(1 − 2)(1 − 2)(3 − ), 2 =, тогда10(1 − )10(1 − )∫︁[5(, r)(, h) − (r, h) − h(, r)] = 0,где не зависит от переменных интегрирования по шару.Лемма 2. Пусть[︂p = 1]︂]︂[︂[︀ 2]︀ 11 2 122 − (, r) r + 2 + 3 0 · r − (, r) ,6232(1 + )(1 + )(2 + )(1 + )(2 + 3), 2 = −, 2 =, не зависят5 + 75 + 75 + 7от компонент вектора r.Тогда∫︁[5(, r)(, p) − (r, p) − r(, p) − p(, r)] =где 1 ={︀}︀= − 5(, )2 − (, ) − 2(, ) ;∫︁{[r × ] (, p) + [p × ] (, r)} = −2 [ × ] (, ),4 () 07(1 + ) (9 + 13), () =.1055 + 7Лемма 3. Пустьгде =[︀]︀˙ r)r + 2 2 + 3 02 · [(,˙ r) + (, r)]˙ ,q = 1 (, r)(,37Тогда∫︁[5(, r)(, q) − (r, q) − r(, q) − q(, r)] =˙ − (, )˙ − (, )˙ − (,˙= 2 {5(, )(, ))} ;∫︁˙ + [˙ × ] (, )} .{[r × ] (, q) + [q × ] (, r)} = −2 {[ × ] (, )Лемма 4.∫︁∫︁[a × r](a, r) = 0;[a × r](a, r)r2 = 0При доказательстве лемм использовались интегралы:∫︁4∫︁ = 1 ,3 =∫︁2 2 = 2 ,2 = 3 ,02 04 4 50 =, 2 =, 1 = 32 , 3 02 = 7215535Система дифференциальных уравнений, описывающих движение системы планета спутник в поле сил взаимного притяжения с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией, имеет вид: ( + )3 2 ( + ) {︀ 2R̈ +R+Γ + 2 (, ) − 5 (, )2 +34[︃]︃}︃˙6 = 0, (1.32)+ 3 + ˙ + 3 {︂]︁}︂3 [︁6 2 Γ [ × ] (, ) + × ˙= 0,L̇ −33(1.33)Γ−1 Rгде =, Γ — оператор перехода от системы координат 1 2 3 к системе осей Кенига 1 2 3 , L — вектор кинетического момента вязкоупруго4()07(1 + )(9 + 13)го шара относительно центра масс, =, () =,1055 + 7 — вектор угловой скорости шара ( × (·) = Γ−1 Γ̇(·)), задаваемый своимикоординатами в подвижной системе координат 1 2 3 .38Уравнения (1.32), (1.33) можно записать в следующем виде:R̈ = F0 + F1 + F2 ,(1.34)L̇ = M,(1.35) ( + )R,{︂3 (︂}︂)︂16 22F1 = − 4 Γ + 3 + 2 (, ) − 5 (, ) ={︃}︃22Ω6 2Ω (R, Ω) 5R (R, Ω)= −1R+R+−,5857{︃}︃˙32 ,F2 = − 7 Γ ˙ +{︂]︁}︂3 [︁6 2 Γ [ × ] (, ) + × ˙,M=33(1.36)гдеF0 = −3 2 ( + ),1 =2 = 6 1 ,Ω = Γ,(1.37)(1.38)(1.39)Ω = |Ω| .Уравнения (1.34)–(1.35) имеют первый интеграл — закон сохранения момента количеств движения относительно центра масс системы «планетаспутник»: R × Ṙ + L = G0 ,(1.40), G0 — постоянный вектор.+Будем полагать, что масса планеты много больше массы спутника, вращательный момент количества движения планеты намного больше орбитального момента количества движения спутника.Таким образом, будем изучать движение спутника-материальной точкимассы под действием силы:где =F = F0 + F1 + F2 ,(1.41)причем вектор Ω = Γ , входящий в выражение для F, будем считать постоянным, т.е.

будем изучать движение материальной точки в гравитаци-39онном поле, создаваемом вращающейся вязкогупругой планетой. Ось инерциальной системы координат направим по вектору Ω.Заметим, что силы F0 и F1 , входящие в правую часть уравнения (1.41),являются потенциальными:F0 = grad 0 , F1 = grad 1 ,(1.42)}︃{︃ ( + )Ω2(R, Ω)2где 0 =, 1 = 1+−.6 335Составляющая F2 , входящая в выражение для F, является неконсервативной.§1.4. Стационарное движение спутника и его устойчивость§1.4.1. Случай 1а.

«Плоское» движение спутникаРис. 1.2Движение спутника (материальной точки массы ) происходит в плоскости 1 2 , а вращение шара осуществляется вокруг нормали к этой плоскости.Установлено, что движение материальной точки в указанном гравита-40ционном поле описывается уравнением:{︃ (︂)︂ ( + )3 ( + )62R̈ +R+Γ 2 + 3 + 2 (, ) − 5 (, ) +34]︃}︃[︃˙6 ˙+= 0, (1.43)+3 32RR, Γ = Ω, (, ) = ( , Ω), 2 = Ω2 . В рассматриваемом«плоском случае» (, ) = 0.Перейдем к полярным координатам:где Γ =R = ( cos ; sin ; 0)(︁)︁˙˙˙˙Ṙ = cos − sin · ; sin + cos · ; 0⎛¨ cos − ˙ sin · ˙ − ˙ sin · ˙ − cos · ˙ 2 − sin · ¨⎞⎜⎟⎜¨⎟2R̈ = ⎜ sin + ˙ cos · ˙ + ˙ cos · ˙ − sin · ˙ + cos · ¨⎟⎝⎠0Γ = (cos ; sin ; 0)⎛⎞⎜cos − sin 0⎟⎜⎟⎜⎟Γ = ⎜ sin cos 0⎟⎜⎟⎝⎠001⎛⎜ cos sin ⎜⎜−1 R=Γ= ⎜− sin cos ⎜⎝00˙ = Ω⎞⎛⎞0⎟ ⎜cos ⎟ ⎜cos( − )⎟⎟⎜⎟ ⎜⎟⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ sin ⎟ = ⎜ sin( − ) ⎟0⎟⎟⎜⎟ ⎜⎟⎠⎝⎠ ⎝⎠100(︁)︁˙ = (− sin( − ); cos( − ); 0) · ˙ − Ω⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜cos − sin 0⎟ ⎜− sin( − )⎟ (︁⎜− sin ⎟ (︁)︁)︁⎜⎟⎜⎟⎜⎟˙˙⎟⎜⎟⎜⎟·−Ω=·−ΩΓ˙ = ⎜⎜ sin cos 0⎟ ⎜ cos( − ) ⎟⎜ cos ⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠0010041(︁)︁˙˙Γ = (− sin ; cos ; 0) · − ΩВекторное уравнение (1.43) запишем в виде двух скалярных уравнений¨ cos − ˙ sin · ˙ − ˙ sin · ˙ − cos · ˙ 2 − sin · ¨ + ( + ) cos +2]︃}︃{︃(︂[︃)︂(︁)︁˙6 6 ˙ − Ω + 3 cos 2 + 3 cos += 0, (1.44)+ 4−sin3¨ sin + ˙ cos · ˙ + ˙ cos · ˙ − sin · ˙ 2 + cos · ¨ + ( + ) sin +2]︃}︃{︃(︂[︃)︂(︁)︁6 6 ˙2˙+ 4 + 3 sin +sin = 0, (1.45)cos−Ω+333 2 ( + )где =.В проекциях на орбитальные оси получим:{︂}︂(+)618¨ − · ˙ 2 ++ 4 Ω2 + 3 +˙ = 024)︁ 6 (︁ ˙˙¨˙2 + + 4 ·−Ω =03(1.46)(1.47)Система (1.46)–(1.47) допускает стационарное решение = * = ,˙ = Ω = , причем значение * определяется из уравнения:{︂}︂(+)6−Ω2 ++ 4 Ω2 + 3 = 02(1.48)Так как уравнение (1.48) содержит малый параметр , то* = 0 + 1 + 2 2 + · · · .Найдем функции 0 и 1 нулевого и первого приближения по маломупараметру .