Диссертация (Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты), страница 12

Тогда поверхность вращающейся деформированной планетыбез учета приливных деформаций можно описать векторным параметри-96ческим уравнением:S = 1 e + u10 (1 e , ) + u11 (1 e , ) ,e = (cos sin ; sin sin ; cos ) ,Поверхность(3.16)(3.16)0 ≤ ≤ 2, 0 ≤ ≤ .является поверхностью вращения. Получим пара-метрические уравнения кривой, получающейся при пересечении этой поверхности плоскостью, проходящей через ось 3 , например, плоскостью2 3 . Положим в(3.16) = /2. ТогдаS = (0; 2 , 3 ) ,[︀]︀2 = 1 (1 + 1 + 2 ) sin + 3 sin cos2 ,[︀]︀3 = 1 (1 + 1 − 22 ) cos − 3 cos sin2 , 0 ≤ ≤ 2.(3.17)Здесь = 1 2 12 (, ) , = 1, 2, 3,2(1 + )(35 − 53 + 2),1 (, ) =15(43 + 3 + 2)(1 + ) {︀120( + 2)12 − 2(15 2 + 133 + 218)10 +3Δ0+5(15 2 + 31 + 32)7 + 3(79 + 74)5 − 25(3 2 + 14 + 10)3 +2 (, ) =+2(3 + 8)(5 + 4)} ,(3.18)(1 + )( + 1) {︀2(9 + 14)10 + 25(3 + 8)7 −Δ0}︀−21(11 + 26)5 + 50(3 + 7)3 − 4(3 + 8) .3 (, ) =Используя формулы(3.17),можно получить значения полярного и эк-ваториального радиусов для выбранной модели планеты с ядром:экв = 1 (1 + 1 + 2 ) ,пол = 1 (1 + 1 − 22 ) .Величина приливного горба, создаваемого на поверхности планеты спут-97Рис.

3.2. Деформация планетыником, определяется выражением |u120 (1 , )|. Полагая в(3.15)r = 1 ,получим:6 1 13|u120 (1 , )| =2 (, ),E3(3.19)где функция 2 (, ) определяется формулой (3.18). На рис. 3.2 изображенграфик функции 2 (, ) при = 0.2.В качестве примера рассмотрим систему Земля-Луна. Амплитуда равновесного лунного прилива на Земле равна 0.36 м [36].

Подставляя взначения |u120 (1 , )| = 0.36(3.19)м,1 = 6.378 · 106 м, = 7.349 · 1022 кг, = 3.844 · 108 м, E = 1.2 · 1011 Н/м2 , = 6.67 · 10−11 Н · м2 /кг2 , по(︀)︀лучим 1 2 (, ) = 3.216 · 102 кг/м3 . Учитывая, что плотность верхних(︀)︀слоев Земли составляет 2.6 − 3 г/см3 [30], получим диапазон измененияфункции 2 (, ): 0.107 < 2 (, ) < 0.124. В частности, если положить1 = 3 г/см3 , = 0.2, то для рассматриваемой двухслойной модели Землиимеем следующее отношение внутреннего и внешнего радиусов вязкоупругого слоя: = 0.17.§3.2.2. Приливные деформации планеты в гравитационном полепритягивающего центра и спутникаРассмотрим задачу о движении механической системы «планета-спутник»в гравитационном поле неподвижного притягивающего центра.

Планету будем моделировать телом, состоящим из твердого ядра и жестко прикреп-98Рис. 3.3. Постановка задачиленной к нему вязкоупругой оболочки. В естественном недеформированномсостоянии планета занимает область в трехмерном евклидовом пространстве: = 0 ∪ 1 , 0 ={︀}︀{︀}︀r ∈ E3 , |r| ≤ 0 , 1 = r ∈ E3 , 0 < |r| ≤ 1 ,где 0 , 1 — внутренний и внешний радиусы оболочки. Предполагается, чтоматериал оболочки планеты является однородным, изотропным и имеетпостоянную плотность 1 .Спутник будем моделировать материальной точкой с массой 2 . Система планета-спутник движется относительно общего центра масс 0 , который в свою очередь совершает движение по кеплеровской орбите относительно неподвижного притягивающего центра с массой 1 . Считаем,что2 ≪ ≪ 1 , |R2 | ≪ |R1 | ,(3.20)99где R1 = OC0 , R2 = CP, — центр масс планеты.Пусть — инерциальная система координат с началом в притягивающем центре; 1 2 3 — подвижная система координат, связаннаяс ядром планеты; ′ ′ ′ — система осей Кeнига (рис.

3.3). Положениеточки планеты в инерциальной системе координат определяетсявекторным полем:R (r, ) = OC + Γ (r + u (r, )) ,(3.21)где Γ — оператор перехода от подвижной системы координат 1 2 3 ксистеме осей Кенига ′ ′ ′ , u(r, ) — вектор упругого смещения, тождественно равный нулю для точек твердого ядра.Так как 0 — центр масс системы «планета-спутник», то{︂∫︁}︂1R1 = OC0 =R (r, ) v + 2 · OP , + 2⎧⎪⎨ 0 , если ∈ 0 ,=⎪⎩ 1 , если ∈ 1 .(3.22)Кроме того, справедливо равенствоOC + R2 = OPТогда из соотношений(3.23)(3.21)-(3.23)получим:1R2 −OP = R1 + + 2 + 2∫︁12R2 −OC = R1 − + 2 + 2∫︁Γu (r, ) 1 v,1Γu (r, ) 1 v.1Предполагается, что вязкоупругая оболочка планеты имеет большуюжесткость, и период собственных колебаний оболочки на наинизшей частоте много меньше времени затухания этих колебаний, которое в свою очередь меньше характерного времени движения планеты.

Применяя асимптотический метод разделения движений для механических систем с бесконечным числом степеней свободы [13], получим решение квазистатическойзадачи теории упругости для вязкоупругой оболочки планеты аналогичное100решению(3.14)в виде [44]:u (r, ) = u10 (r, ) + u11 (r, ) + u12 (r, ) ,1 2u10 (r, ) =(3.24){︂ [︁23 ]︁21 + 2 + 3 r+3]︂ }︂]︂[︂11 2 1′2r − (e , r) e + 2 − (e , r) r ,(3.25)+1362(︃)︃[︂]︂˙(︀)︀31 3 {︁ ′ 1u1 (r, ) = −1+1 r − , r +33]︂ }︂[︂(︀)︀ ]︁)︀231 {︁ ′ [︁(︁ ˙ )︁1 2 1 (︀′ , rr −1 , r + , r ˙ ++2 −362[︂′′+ 2(︁˙ , r)︁ (︀)︀ }︁ , r r , = 1, 2,(3.26)3 4 ′6 7+,=++ .523 55 7Здесь — модуль вектора угловой скорости планеты, e — единичный вектор, направленный по вектору , задаваемый в подвижной системекоординат 1 2 3 ,′где 1 = 1 2 + 2 +⧸︀ = |Q | , = Γ−1 Q , = 1, 2, Q1 = R1 −2R2 , Q 2 = R2 .

+ 2(3.27)Вектор-функция u10 (r, ) в формуле(3.24)характеризует деформациипланеты, вызванные ее вращением, и описывает сжатие планеты вдоль осивращения.Вектор-функции (3.26) определяют приливные деформации планеты состороны притягивающего центра и спутника. Слагаемые, содержащие множитель в выражениях(3.26),характеризуют запаздывание приливныхгорбов, образующихся вдоль прямых, соединяющих центр масс планеты сточкамиOиPсоответственно из-за сил вязкого трения.Величины , e , , ( = 1, 2), входящие в формулы(3.25), (3.26),являются заданными функциями времени. В соответствии с методом разде-101ления движений зависимость указанных величин от времени соответствует невозмущенной задаче, когда центр масс 0 системы планета-спутникдвижется по кеплеровской эллиптической орбите относительно притягивающего центра , а точки , движутся согласно классической задачедвух тел.

При этом планета равномерно вращается вокруг оси, неизменноориентированной в инерциальной системе координат .Получим в явном виде скалярную функцию (r , ) = |r + u (r , )|−|r |, описывающую приливные деформации в фиксированной точке поверхности планеты без учета запаздывания приливных горбов (для этогов (3.26) положим = 0). Так как |u (r , )| ≪ |r | , r = e 1 , где e —единичный вектор, направленный по радиус-вектору CM, то в линейномприближении по компонентам вектора u (r , ) = (e , u (r , )) .Для упрощения задачи будем считать, что движение точек , происходит в плоскости .

В инерциальной системе координатывекторов R1 , R2 имеют вид:(︀)︀ 1 − 2( = 1, 2) ,R = (cos ( + ) , sin ( + ) , 0) , =(1 + cos )(3.28)1 — большая полуось, 1 — эксцентриситет, 1 — долгота перигелия, 1 —истинная аномалия орбиты точки 0 относительно неподвижного центра; 2 — большая полуось, 2 — эксцентриситет, 2 — долгота перигелия, 2— истинная аномалия орбиты точки относительно точки . Истинныеаномалии являются функциями времени:(1 + cos )22˙ =,=( = 1, 2) .3/22(1 − )Через в формуле(3.29)обозначены соответствующие периоды обраще-ния.Согласно(3.20), (3.28)(3.29)2 ≪ и 2 ≪ 1 , поэтому⃒ √︃(︂⃒)︂2⃒⃒221 = ⃒⃒R1 −R2 ⃒⃒ =R1 −R2 = + 2 + 2102(︂)︂2 2 )︃1/222 (R1 , R2 )22+≈= 1 1 − + 2 12 + 2 12)︂(︂2 (R1 , R2 )≈ R1 1 −.

+ 2 12(︃Учитывая равенства(3.28),получим:)︀(︀1 1 − 211 =(1 − ℎ12 · cos (1 + 1 − 2 − 2 ))(1 + 1 cos 1 )ℎ12(︀)︀2 2 1 − 22 (1 + 1 cos 1 )=, ℎ12 ≪ 1. + 2 1 (1 − 21 ) (1 + 2 cos 2 )(3.30)Введем единичные векторы, направленные по векторам R1 , R2 , задаваемые в подвижной системе координат 1 2 3 : = Γ−1 R / , = 1, 2.(3.31)Тогда(︂ 1 = 1 1 −)︂22 2 · −11 ≈ + 2≈ 1 (1 + ℎ12 cos (1 + 1 − 2 − 2 )) − ℎ12 2 , 2 = 2 .(3.32)Оператор перехода от подвижной системы координат 1 2 3 к системе осей Кенига ′ ′ ′ можно представить в виде произведения трехортогональных матриц:Γ = Γ3 () Γ1 () Γ3 () ,⎛⎞⎛0⎜ cos − sin 0 ⎟⎜1 0⎟⎜⎜⎜⎟⎜Γ3 () = ⎜ sin cos 0 ⎟ , Γ1 () = ⎜ 0 cos − sin ⎜⎟⎜⎠⎝⎝0010 sin cos ⎞⎟⎟⎟⎟.⎟⎠Здесь , , — углы Эйлера [16] .

Компоненты , , вектора угловой скорости в подвижной системе координат 1 2 3 связаны с углами Эйлера103посредством кинематических уравнений Эйлера:⎧⎪⎪⎪ = ˙ sin sin + ˙ cos ⎪⎪⎨ = ˙ sin cos − ˙ sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = ˙ cos + ˙(3.33)Направим ось 3 по вектору . Тогда первые две компоненты вектора будут равны нулю. Поэтому из системы (3.33) получим: ˙ = 0, ˙ = 0, ˙ = , т.е. углы Эйлера , постоянны, а угол линейно зависит от времени.Без ограничения общности можно считать, что 0 = 0. Поэтому операторΓ и обратный к нему представляются равенствами:Γ = Γ1 (0 ) Γ3 () , Γ−1 = Γ3 (−) Γ1 (−0 ) = 0 (0 = 0) , = 0 , = + (0) .Точку поверхности планеты в подвижной системе координат 1 2 3можно задать с помощью параметров , (долготы и широты):r = e 1 , e = (cos cos ; sin cos ; sin ) .Функция, описывающая изменение формы планеты, примет вид: (r , ) = 0 (r ) + 1 (r , ) ,(︂0 (r ) = 0 + 1(3.34))︂1− sin2 ,31 (r , ) = 2 (1 + 1 cos 1 )3 (1 + 3ℎ12 cos (1 + 1 − 2 − 2 )) ×(︁)︁(︁)︁232× 3 ( 1 , e ) − 1 + 3 (1 + 2 cos 2 ) 3 ( 2 , e ) − 1 ,1 2 1321 2 13Φ0 (, ) , 1 =Φ1 (, ) ,151 · Δ2 · Δ2 =,=333,31 (1 − 21 )32 (1 − 22 )(︀)︀(1 + ) 2 + 35 − 53Φ0 (, ) =,43 + 3 + 20 =(3.35)104(︀)︀(1 + ) {︀Φ1 (, ) =120 ( + 2) 12 − 30 2 + 266 + 436 10 +Δ0(︀)︀(︀)︀+ 75 2 + 155 + 160 7 + (237 + 222) 5 − 75 2 + 350 + 250 3 +}︀+30 2 + 104 + 64 , 1 13Φ1 (, ) ,( 1 , e ) = ( 1 , e ) (1 + ℎ12 cos (1 + 1 − 2 − 2 )) − ℎ12 · ( 2 , e ) ,Δ=( 2 , e ) = ( 2 , e ) ,( , e ) = cos cos ( + ) cos ( + )+cos cos 0 sin ( + ) sin ( + ) −− sin 0 sin ( + ) sin ( = 1, 2) .Функция 0 (r ) в правой части(3.34)описывает постоянную дефор-мацию, вызванную вращением планеты вокруг собственной оси, а функция1 (r , ) изменяется со временем и описывает приливные деформации.В дальнейшем будем рассматривать систему Солнце-Земля-Луна и применим полученные теоретические результаты для исследования приливныхдеформаций на поверхности Земли.

Для этого возьмем следующие значения параметров, входящих в 1 (r , ) [30, 36]: = 2/ , = 23, 93419 ч — период обращения Земли вокруг своейоси; = 6, 672 · 10−11 Н · м2 /кг2 — универсальная гравитационная постоянная;1 = 1, 98911 · 1030 кг — масса Солнца; = 5, 9736 · 1024 кг — масса Земли;2 = 7, 349 · 1022 кг — масса Луны;1 = 1, 4959787 · 1011 м — большая полуось орбиты барицентра системы«Земля-Луна»;1 = 0, 01671022 — эксцентриситет орбиты барицентра системы «ЗемляЛуна»;2 = 3, 844 · 108 м — большая полуось орбиты Луны;2 = 0, 054900 — эксцентриситет орбиты Луны;0 = 23, 45∘ = 0, 409280 рад — угол наклона экватора Земли к её орбите (угол между осью вращения Земли и нормалью к плоскости орбитыЗемли).1051 = 365, 26 сут = 365, 26·24 ч — период обращения барицентра системы«Земля-Луна» вокруг Солнца;2 = 27, 321661 сут = 27, 321661·24 ч — период обращения Луны вокругЗемли.Ось инерциальной системы координат направим по радиус-векторуперигея орбиты барицентра системы «Земля-Луна».

Тогда 1 = 0.Так как большая полуось лунной орбиты поворачивается в ту же сторону, куда движется Луна и период обращения большой полуоси Луны 3равен 8,85 лет, то ˙ 2 = 3 = 2/3 .Согласно (3.35) коэффициенты 2 , 3 содержат общий множитель Δ,зависящий от параметров, характеризующих упругие свойства материалаоболочки планеты, а также от параметра , равного отношению внутреннего и внешнего ее радиусов.В выражении для функции 1 (r , ) слагаемое, содержащее множитель3 , характеризует деформации планеты, вызванные притяжением Луны.Максимальное значение равновесного лунного прилива имеет вид:1Л = 23 (1 + 2 )3 .Тогда из(3.35)-(3.36)(3.36)получим:32 (1 − 2 )3 1Л.Δ=22Данные по численному значению величины 1Л разнятся: 0,36c.148], 0,75м[39, c.15], 0,43мм[36,( максимальная амплитуда на экваторе сучетом солнечного прилива) [30, с.63]. Поэтому для описания приливныхдеформаций введем в рассмотрение безразмерную функцию:10 (r , ) =1 (r , )=1Л)︁= 20 (1 + 1 cos 1 ) (1 + 3ℎ12 cos (1 + 1 − 2 − 2 )) 3 ( 1 , e ) − 1 +(︁)︁32+30 (1 + 2 cos 2 ) 3 ( 2 , e ) − 1 ,320(︁21 32 (1 − 2 )31==,=.30323 (1 + 2 )32 (1 + 2 )322 31 (1 − 21 )2106Для системы Солнце-Земля-Луна получим следующие значения коэффициентов 0 ( = 2, 3):20 = 0, 193987, 30 = 0, 425928 .От размерного времени перейдем к безразмерной переменной , равной числу оборотов Земли вокруг своей оси:= + (0)=.22Тогда = 2 .Обозначая штрихом производную по , получим:′2 (1 + cos )2 2 (1 + cos )2 2 ˙ ==( = 1, 2) ,=3/23/2(1 − 2 )(1 − 2 )22˙ 2 =.3На рис.