Диссертация (Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам), страница 12

Для уменьшения числа умножений целесообразно использовать приреализации комплексных задержек алгоритм CORDIC. Числоумножении уменьшается в 2 раза в комплексных задержек.116ГЛАВА 4. ЦИФРОВЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ФИЛЬТРЫ СЛИНЕЙНЫМИ ФЧХ4.1. Расчет комплексных КИХ фильтров с линейными ФЧХ методомразложения АЧХ в ряд ФурьеЧастотные характеристики цифровых фильтровH (e jw ) являютсякомплексными периодическими функциями с периодом равным частотедискретизации. Переменную  называют цифровой круговой частотой.Частоте дискретизации соответствует значение   2 . Можно рассчитыватькомплексные КИХ фильтры с линейной ФЧХ, используя методику,изложенную в [1,45,53,56].

Тогда сначала можно предположить, чточастотная характеристика цифрового фильтра вещественная и обозначить еёH ( ) . Периодическую вещественную функцию H ( ) с периодом равным2 можно точно или приближенно заменить суммой тригонометрическихфункций, называемой рядом Фурье [54,79].H n ( ) na0 n  ak cos k   bk sin k . (4.1)2 k 1k 1где a k и bk называются коэффициентами Фурье и рассчитываются последующим формулам:1 21 2,ak   H ( ) cos kd bk   H ( ) sin kd . 0 0Задавая значение «n», можно ограничить количество членов рядаФурье,обеспечивприёмлемуюточностьреализациичастотнойхарактеристики.Будем считать, что коэффициенты Фурье a k и bk вычислений длязначений к от 0 до n.117Учитывая, что cos k выражениеe jk  e  jkи2sin k e jk  e jk, преобразуем2j(4.2)H n ( w) na0 n e jk  e  jke jk  e  jk.  ak j  bkk 12 k 122(4.3)Полученное выражение (4.3) можно преобразовать в передаточнуюфункцию дискретного фильтра, заменив e j на z.

Тогда будем иметьnnaab~~~H ( z )  0   k ( z k  z k )  j  k ( z k  z k )  H1 ( z )  jH 2 ( z ) .2 k 1 2k 1 2Для обеспечения реализуемости необходимо умножить эту функцию наz-n , тогда получим новую передаточную функцию H ( z )  H 1 ( z )  jH 2 ( z ) , гдеH1 ( z ) a0 n n ak ( nk )z   (z z ( nk ) )2k 1 2aaaaaa  (n  1) n  n  1 z  1  n  2 z  2  ...  0 z  n  1 z ...

 n z  2n222222bk ( nk )(z z ( nk ) )k 1 2nH 2 ( z )  bn bn1 1 bn2 2bbbbz z  ...  0 z ( n1)  1 z ( n1)  ...  n1 z ( 2 n1)  n z 2 n2222222В результате получим вещественную и мнимую части передаточнойфункции комплексного фильтра.ДляупрощениярасчётовкоэффициентовКИХфильтровбылразработан шаблон в среде Mathcad. Поясним его использование с помощьюпримеров. Ниже приводятся выражения для некоторых окон, используемых врасчёте КИХ-фильтров.1181.

Окно прямоугольное - d (k )  12. Окно Бартлета (треугольное окно) - d (k ) 1  cos(3. Окно Ханна - d ( k ) (n  k )nk)n2k  n 4. Окно Хэмминга - d ( k )  0 .54  0 .46 cos k  2 k  0 .08 cos  n  n 5. Окно Блэкмана - d ( k )  0 .42  0 .5 cos Используя метод разложения в ряд Фурье [54,79], найдём комплексныекоэффициенты передаточной функции полосового комплексного фильтра.Полученную передаточную функцию можно реализовать либо методомпреобразованияпередаточнойфункции,либометодомкомплекснойарифметики.4.1.1.

Расчет передаточной функции комплексного полосовогофильтра при «n = 16» в среде MathcadЗадаем следующие параметры:Количество вычисляемых коэффициентов – «n»: n  16Нормированные граничные частоты –w1  0.1, w2  0.3, w3  0, w4  0, w5  0, w6  0Текущий номер коэффициента - k  0.....n k  2k Формула для окна – d ( k )  0.42  0.5 cos    0.08 cos n n 119Формулы для расчёта коэффициентов ряда Фурьеd ( k )  2  wd (k )  2  wa k :   cos( k  x) dx , bk :   sin( k  x ) dx .  2   w  2  w2211Формула, используемая при расчёте частотных характеристик имеетвид:z ( w) : cos( 2. .w)  i.sin( 2. .w) .Формулы для расчёта составляющих частотной характеристики имеютследующий вид:kk a0  nz w  zw  H1 ( w) : z ( w)     ak 2 2  k 1nH 2 ( w) : z ( w)nzw b knkk 1 z w 2kПередаточная функция комплексного фильтра имеет следующий вид:H 3 ( w)  H 1 ( w)  i.H 2 ( w)АЧХ, рассчитанная в среде Mathcad, приведена на рис.4.1.Рис.4.1.

График АЧХ комплексного полосового фильтраВрезультатеполучимпередаточнуюфункциюполосовогокомплексного фильтра с комплексными коэффициентами.120T ( z) : 0  0 z 1  (1.208104  j3.179104 ) z 2  (1.314103  j9.549104 ) z 3  (2.712103  j1.971103 ) z 4  (1.173103  j3.611103 ) z 5  (3.193103  j9.828103 ) z 7  (0.021 j 0.015) z 8  (0.031 j0.023) z 9  (0.011 j 0.033) z 10  (0.022  j0.069) z 12  (0.141 j0.103) z 13  (0.23  j0.167) z 14  (0.114  j0.35) z 15  0.4z 16  (0.114  j 0.35) z 17  (0.23  j 0.167) z 18  (0.141 j0.103) z 19  (0.022  j 0.069) z 20  (0.011 j 0.033) z 22  (0.031 j0.023) z 23  (0.021 j 0.015) z 24  (3.193103  j9.828103 ) z 25  (1.173103  j3.611103 ) z 27  (2.712103  j1.971103 ) z 28  (1.314103  j9.549104 ) z 29  (1.208104  j3.719104 ) z 30  0 z 31  0 z 324.1.2.

Реализация передаточной функции комплексного полосовогоКИХ-фильтра с комплексными коэффициентами4.1.2.1. Метод преобразования передаточной функцииВ соответствии с методом преобразования передаточной функции скомплексными коэффициентами ее надо представить в видеT ( z )  T1 ( z )  jT2 ( z )Врезультатеполучимследующие функциисвещественнымикоэффициентамT1( z) : 0  0z 1  1.208104 z 2 1.314103 z 3  2.712103 z 4  1.173103 z 5  0z 6  3.193103 z 7  0.021z 8  0.031z 9  0.011z 10  0z 11  0.022z 12  0.141z 13  0.23z 14  0.114z 15  0.4 z 16  0.114z 17  0.23z 18  0.141z 19  0.022z 20  0z 21  0.011z 22  0.031z 23  0.021z 24  3.193103 z 25  0z 26  1.173103 z 27  2.712103 z 28 1.314103 z 29  1.208104 z 30  0z 31  0z 32T2 ( z) : 0  0z 1  3.719104 z 2  9.549104 z 3  1.971103 z 4  3.611103 z 5  0z 6  9.828103 z 7  0.015z 8  0.023z 9  0.033z 10  0z 11  0.069z 12  0.103z 13  0.167z 14  0.35z 15  0z 16  0.35z 17  0.167z 18  0.103z 19  0.069z 20  0z 21  0.033z 22  0.023z 23  0.015z 24  9.828103 z 25  0z 26  3.611103 z 27 1.971103 z 28  9.549104 z 29  3.719104 z 30  0z 31  0z 32121По изложенной в первой главе методике найденной передаточнойфункции можно поставить в соответствие структурную схему, которая быласмоделирована в среде Micro-Cap7 (рис.4.2).Рис.4.2.

Структурная схема для метода преобразования передаточнойфункции при «n=16»В результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХПФ, приведенная на рис.4.3.Рис.4.3. АЧХ ПФ для метода преобразования передаточной функции при«n=16»122АЧХ фильтра (Рис.4.3.) совпала с АЧХ, рассчитанной в среде Mathcad(Рис.4.1).4.1.2.2. Метод комплексной арифметикиДругим способом реализации комплексных КИХ фильтров можносчитатьметод комплекснойарифметики.Сначала, используяметодразложения в ряд Фурье, получим передаточную функцию полосовогокомплексного фильтра с комплексными коэффициентами:T ( z) : 0  0 z 1  (1.208104  j3.179 104 ) z 2  (1.314103  j 9.549104 ) z 3  (2.712 103  j1.971103 ) z  4  (1.173103  j 3.611103 ) z 5  0 z 6  (3.193103  j9.828103 ) z 7  (0.021 j 0.015) z 8  (0.031 j 0.023) z 9  (0.011 j 0.033) z 10  0 z 11  (0.022  j 0.069) z 12  (0.141 j 0.103) z 13  (0.23  j 0.167) z 14  (0.114  j 0.35) z 15  0.4 z 16  (0.114  j 0.35) z 17  (0.23  j0.167) z 18  (0.141 j0.103) z 19  (0.022  j0.069) z  20  0 z  21  (0.011 j0.033) z  22  (0.031 j0.023) z  23  (0.021 j0.015) z 24  (3.193103  j9.828103 ) z  25  0 z  26  (1.173103  j3.611103 ) z  27  (2.712 103  j1.971103 ) z  28  (1.314 103  j9.549 10 4 ) z  29  (1.20810 4  j3.719 104 ) z 30  0 z 31  0z 32Затем реализуем структурную схему, используя операцию умножениякомплексного сигнала на комплексный коэффициент.

Модель комплексногоцифрового полосового фильтра, созданная в среде MicroCap-7, была оченьбольшая для страницы, поэтому ее не будем показывать, а далее ограничимсяпростым примером, поясняющим принцип построения структурной схемы. Врезультате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХ ПФ,приведенная на рис.4.4.123Рис.4.4.

АЧХ ПФ для метода комплексной арифметики при «n=16»АЧХ фильтра (Рис.4.4.) совпала с АЧХ, рассчитанной в среде Mathcad(Рис.4.1).Приведем пример, поясняющий метод комплексной арифметики.Рассмотрим реализацию передаточной функции второго порядка.T ( z)  a01  ja02   a11  ja12 z 1  a21  ja22 z 2Реализация такой функции с использованием комплексной арифметикипоказана на рис.4.5.Рис.4.5. Структурная схема для метода комплексной арифметикиВэтойструктурной схемеиспользуетсяоперацияумножениякомплексного сигнала на комплексный коэффициент, а суммированиевещественных и мнимых составляющих результатов проводится отдельнымисумматорами.1244.1.3. Метод комплексной задержкиДругим эффективным способом расчёта комплексных КИХ фильтровможно считать метод комплексной задержки[1,14].