Диссертация (Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам), страница 8

Структурная схема комплексного звена первого порядка спередаточной функцией Ti(z) для ФВЧОтметим, что структурные схемы комплексных звеньев первогопорядка для ФНЧ и ФВЧ одинаковые и отличаются только значениямикоэффициентов.Пример 7. Расчет цифрового ФНЧ с параллельной структуройпо значениям нулей и полюсов НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексногоцифрового ФНЧ с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядка. НЧ-прототип Чебышева (инверсный) третьего порядкаописывается следующим набором нулей и полюсов [24]: n1=j2.444659, n2=j2.444659, p1=-1.134319, p2=-0.466685+j0.917031, p3=-0.466685-j0.917031.Исходные данные.1.

Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка ввиде суммы передаточной функции:695.644785(  2.322392  j 1.181883)s  (  1.134319 )  s  (  0.466685 + j 0.917031)(  2.322392  j 1.181883)s  (  0.466685  j 0.917031) T (s) 2. Параметры цифрового ФНЧ:T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.1.

Определяем параметры ФНЧ: T0  1 , w W 0,1 .2В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейногопреобразования, можно рассчитать ФНЧ с параллельной структурой.Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s , где   ctg (w )  3,077683 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФНЧ:1,34016657  1  z 1   0,53326317  j0,47142441  1  z 1 T (z) 1  0,46138731z 11  0,62770163  j0,42113365z 1 0,53326317  j0,47142441  1  z .1  0,62770163  j0,42113365z1Этой1передаточнойфункции можнопоставитьв соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.21. В результате моделирования всреде Micro-Cap 7 была получена АЧХ ФНЧ, приведенная на рис.2.22.70Рис.2.21. Схема ФНЧ с комплексными коэффициентами при параллельномструктуреРис.2.22.

АЧХ ФНЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.71Пример 8. Расчет цифрового ФВЧ с параллельной структуройпо значениям нулей и полюсов НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексногоцифрового ФВЧ с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядка. НЧ-прототип Чебышева (инверсный) третьего порядкаописывается следующим набором нулей и полюсов [24]: n1=j2.444659, n2=j2.444659, p1=-1.134319, p2=-0.466685+j0.917031, p3=-0.466685-j0.917031.Исходные данные.1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка ввиде суммы передаточной функции:5.644785(2.322392  j 1.181883)s  (1.134319) s  (0.466685 + j 0.917031)( 2.322392  j 1.181883)s  (0.466685  j 0.917031)T ( s) 2.

Параметры цифрового ФВЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.1. Определяем параметры ФВЧ T0  1 , w W 0,1 .2В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейногопреобразования, можно рассчитать ФВЧ с параллельной структурой.Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s, где   tg (w )  0,3249197 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФВЧ:72T (z) 3,86830819  1  z 1   0,51417373  j2,08866403  1  z 1 1  0,55467231z 11   0,64948107  j0,40605712z 1 0,51417373  j2,08866403  1  z .1   0,64948107  j0,40605712z11Этойпередаточнойфункции можнопоставитьв соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.23.Рис.2.23. Схема ФВЧ с комплексными коэффициентами при параллельномструктуреВ результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФВЧ, приведенная на рис.2.24.73Рис.2.24.

АЧХ ФВЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.2.2.3. Расчет цифровых ФНЧ и ФВЧ с параллельной структуройпо значениям нулей и полюсов НЧ-прототипапри четном числе полюсовЕсли передаточная функция НЧ-прототипа задана в виде наборакоординат нулей и полюсов, то ее можно представить в следующем виде [1]:T ( s )  T0( s  n1 )( s  n2 )...( s  ni )...( s  nM ), (2.7)( s  p1 )( s  p2 )...( s  pi )....( s  pN )где ni - координаты нулей, а pi - координаты полюсов НЧ-прототипа.В большинстве известных НЧ-прототипов при четном числе полюсовM=N, то есть T(s) – не является правильную дробью.

Функцию T(s) причетном порядке, можно представить в виде суммы дробей первого порядка,если один нуль вынести за скобки [28]: А1А2АiАN T ( s )  T0  s  n1    ....  ....  , (2.8)(sp)(sp)(sp)(sp)12iN 74( p1  n2 )( p1  n3 )...( p1  nM ), где A1   ( p1  p2 )( p1  p3 )...( p1  pi )...( p1  p N )( p2  n2 )( p2  n3 )...( p2  nM )A2   ( p2  p1 )( p2  p3 )...( p2  pi )...( p2  p N )( pi  n2 )( pi  n3 )...( pi  nM )Ai   ( pi  p1 )( pi  p2 )...( pi  pi1 )( pi  pi1 )...( pi  p N )( pN  n2 )( pN  n3 )...( pN  nM )AN  .(pp)(pp)...(pp)...(pp) N1N3NiNN 1 Координаты нулей и полюсов, а также коэффициенты Аi в большинствеслучаев имеют комплексные значения.В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейногопреобразования, можно найти передаточную функцию ФНЧ (ФВЧ) в видесуммыпередаточныхфункцийпервогопорядкаскомплекснымикоэффициентами.

В нашем случае передаточная функция одного слагаемогоНЧ-прототипа звена первого порядка имеет следующий вид:Ti ( s ) T0 Ai ( s  n1 ),( s  pi )гдеpi  pi1  jpi 2 .После замены переменной (ФНЧ):(1  z 1 )s , где(1  z 1 )  ctg (  w  ) , получим 1  z 1 T0 Ai (    n1 )T0 Ai (  n1 )  (  n1 ) z 11  n i z 11  z 1 ,Ti ( z ) ai  pi     pi 1  bi z 1 1  z 1    pi11  z где a i   pi T0 Ai    n1   n1  ., bi , ni   pi   pi   n1 ОбозначимТогдаa i  ai1  jai 2 , b i  bi1  jbi 2 и n i  ni1  jni 2 .полученнойпередаточнойфункцииможнопоставить всоответствие структурную схему, показанную на рис.2.25.75Рис.2.25. Структурная схема комплексного звена первого порядка спередаточной функцией Ti(z) для ФНЧПосле замены переменной (ФВЧ):(1  z 1 )s  , где   tg (  w  ) , получим(1  z 1 ) 1  z 1 T0 Ai (    n1 )T0 Ai (  n1 )  (  n1 ) z 11  n i z 1 ,1  z 1 Ti ( z )  ai  1  z 1   pi     pi 1  b i z 1 pi11 z где a i T0 Ai    n1 ,  pi ОбозначимТогдаbi   p , n  p iii  n .  n 11a i  ai1  jai 2 и b i  bi1  jbi 2 , n i  ni1  jni 2 .полученнойпередаточнойфункцииможнопоставить всоответствие структурную схему, показанную на рис.2.26.Рис.2.26.

Структурная схема комплексного звена первого порядка спередаточной функцией Ti(z) для ФВЧ76Отметим, что структурные схемы комплексных звеньев первогопорядка для ФНЧ и ФВЧ одинаковые и отличаются только значениямикоэффициентов.Пример 9. Расчет цифрового ФНЧ с параллельной структуройпо значениям нулей и полюсов НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)второго порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексногоцифрового ФНЧ с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)второго порядка. НЧ-прототип Чебышева (инверсный) второго порядкаописывается следующим набором нулей и полюсов [24]: n1=j5,710246,n2= - j5,710246, p1=-0,706582+j0,729291, p2=-0,706582-j0,729291.Исходные данные.1.

Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) второго порядка ввиде суммы передаточной функции:4.41493 + j 0.484431  s  j 5.710246 s  (-0.706582 + j 0.729291)- 3.41493 - j 0.484431  s  j 5.710246 s  (-0.706582 - j 0.729291)T ( s) 2. Параметры цифрового ФНЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2.Методика расчета.1. Определяем параметры ФНЧ: T0  1 , w W 0,1 .2В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейногопреобразования, можно рассчитать ФНЧ с параллельной структурой.Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s, где   ctg (w )  3,077683 .(1  z 1 )77Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФНЧ:T ( z) 5,33149176 2,49836879Этой j5,2404362   1  (  0,54979321  j0,8353008 ) z 11  0,56832148  j0,3022416 7 z 1 j5,2404364 2   1  (  0,54979321  j0,8353008 ) z 1.1  0,56832148  j0,3022416 7 z 1передаточнойфункции можнопоставитьв соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.27.Рис.2.27.

Схема ФНЧ с комплексными коэффициентами при параллельномструктуреВ результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФНЧ, приведенная на рис.2.28.78Рис.2.28. АЧХ ФНЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.Пример 10.

Расчет цифрового ФВЧ с параллельной структуройпо значениям нулей и полюсов НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)второго порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексногоцифрового ФВЧ с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)второго порядка. НЧ-прототип Чебышева (инверсный) второго порядкаописывается следующим набором нулей и полюсов [24]: n1=j5,710246,n2= - j5,710246, p1=-0,706582+j0,729291, p2=-0,706582-j0,729291.Исходные данные.1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) второго порядка ввиде суммы передаточной функции:4.41493 + j 0.484431  s  j 5.710246 s  (-0.706582 + j 0.729291)- 3.41493 - j 0.484431  s  j 5.710246 s  (-0.706582 - j 0.729291)T (s) 2. Параметры цифрового ФВЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.791.

Определяем параметры ФВЧ: T0  1 , w W 0,1 .2В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейногопреобразования, можно рассчитать ФВЧ с параллельной структурой.Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s, где   tg (w )  0,3249197 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФВЧ:14,16409462  j14,27354751  1  (0,99354541  j0,11343507) z 1  1   0,57996944  j0,29696946z 16,33423338  j14,2735488  1  (0,99354541  j0,11343507) z 1 .1   0,57996944  j0,29696946 z 1T (z) Этойпередаточнойфункции можнопоставитьв соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.29.Рис.2.29.

Схема ФВЧ с комплексными коэффициентами при параллельномструктуре80В результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФНЧ, приведенная на рис.2.30.Рис.2.30. АЧХ ФВЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.Выводы по главе 21. В разделе предложен и изучен способ расчета и реализациицифровых ФНЧ и ФВЧ с использованием координат нулей иполюсов НЧ-прототипа. При таком подходе можно использоватьпоследовательную и параллельную структурную схему, состоящуюиз звеньев первого порядка с комплексными коэффициентами. Вэтом случае, все звенья будут иметь одинаковую структурнуюсхему, отличаясь только значениями вещественных коэффициентов.2.