Диссертация (Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам), страница 7

Параметры цифрового ФНЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.1. Определяем параметры ФНЧ T0  1 , w W 0,1 .2Используя метод ОБП, можно рассчитать ФНЧ с последовательнойструктурой. Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s, где   ctg (w )  3,077683 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФНЧ:T ( z )  0.05498433 1  z 11  (0,22628603  j 0,9740609) z 11  0,46138731z 1 1  (0,62770163  j 0,42113365) z 11  (0,22628603  j 0,9740609) z 1.1  (0,62770163  j 0,42113365) z 156Этой передаточной функции можнопоставить в соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.9.Рис.2.9.

Структурная схема ФНЧ с комплексными коэффициентамиВ результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФНЧ, приведенная на рис.2.10.Рис.2.10. АЧХ ФНЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.57Пример 4. Расчет цифрового ФВЧ с последовательной структурой позначениям нулей и полюсов НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексногоцифрового ФВЧ с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного)третьего порядка.Исходные данные.1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка ввиде произведения сомножителей:T (s) 1( s  n1 ) ( s  n2 )( s  p1 ) ( s  p2 ) ( s  p3 )НЧ-прототип Чебышева (инверсный) третьего порядка описываетсяследующим набором нулей и полюсов [24]: n1 = j2.444659, n2 = -j2.444659,p1 = -1.134319, p 2 = -0.466685+j0.917031, p3 = -0.466685-j0.917031.2.

Параметры цифрового ФВЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.1. Определяем параметры ФВЧ: T0  1 , w W 0,1 .2Используя метод ОБП, можно рассчитать ФВЧ с последовательнойструктурой. Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s , где   tg (w )  0,3249197 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФВЧ:T ( z )  0.570450661  z 11  (0,96528313 j 0,26120584) z 11  (0,55467231) z 1 1  (0,64948107 j 0,40605712) z 11  (0,96528313 j 0,26120584) z 1.1  (0,64948107 j 0,40605712) z 158Этойпередаточнойфункции можнопоставитьв соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.11.Рис.2.11.

Структурная схема ФВЧ с комплексными коэффициентамиВ результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФВЧ, приведенная на рис.2.12.Рис.2.12. АЧХ ФВЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.592.2. Параллельная структурная схемаПри реализации цифровых фильтров на базе ПЛИС возможнопроведение параллельных вычислений, поэтому востребованными могутоказаться цифровые фильтры с параллельной структурной схемой [33].При таком подходе сначала реализуется параллельная структурнаясхема ФНЧ (ФВЧ), состоящая из звеньев первого порядка с комплекснымикоэффициентами. В этом случае все звенья будут иметь одинаковуюструктурную схему, отличаясь только значениями коэффициентов.2.2.1. Расчет цифровых фильтров с параллельной структурой позначениям полюсов НЧ-прототипаЕсли передаточная функция НЧ-прототипа задана в виде наборакоординат полюсов, а нули отсутствуют, то ее можно представить вследующем виде [1]:T ( s)  T01,( s  p1 )(s  p2 )...( s  pi )....( s  pN )(2.4)где pi - координаты полюсов НЧ-прототипа.В этом случае, поскольку T(s) - правильная дробь, ее можнопредставить в виде суммы дробей первого порядка [28]: А1А2АiАN T (s )  T0  ....

 .... , (2.5) где( s  pi )( s  pN )  ( s  p1 ) ( s  p2 )1A1   ( p1  p2 )( p1  p3 )...( p1  pi )...( p1  p N ) 1A2   ( p2  p1 )( p2  p3 )...( p2  pi )...( p2  pN )1Ai   ( pi  p1 )( pi  p2 )...( pi  pi 1 )( pi  pi 1 )...( pi  pN )601AN  . ( pN  p1 )( pN  p3 )...( pN  pi )...( pN  pN 1 )Координаты полюсов, а также коэффициенты Аi в большинстве случаевимеют комплексные значения.В такой ситуации, используя метод ОБП, можно найти передаточнуюфункцию ФНЧ (ФВЧ) в виде суммы передаточных функций первого порядкас комплексными коэффициентами. В нашем случае передаточная функцияодного слагаемого НЧ-прототипа звена первого порядка имеет следующийвид:Ti ( s ) T0 Ai,( s  pi )гдеpi  pi1  jpi 2 .После замены переменной (ФНЧ):s  (1  z 1 ), где   ctg (  w  ) , получим(1  z 1 )Ti ( z ) T0 Ai1  z 1  pi T0 Aiab,гдеa,.iii 1  z 1 1  b i z 1  pi   pi    pi11 z ОбозначимТогдаa i  ai1  jai 2 и b i  bi1  jbi 2 .полученнойпередаточнойфункцииможнопоставить всоответствие структурную схему, показанную на рис.2.13.Рис.2.13.

Структурная схема комплексного звена первого порядка спередаточной функцией Ti(z) для ФНЧ61После замены переменной (ФВЧ):(1  z 1 )s  , где   tg (  w  ) , получим(1  z 1 )1 z  pi T0 AiT0 AiKi ( z) abai, где i 1  z 1 1  bi z 1  pi  , i   pi  .  pi1 1 z 1ОбозначимТогдаa i  ai1  jai 2 и b i  bi1  jbi 2 .полученнойпередаточнойфункцииможнопоставить всоответствие структурную схему, показанную на рис.2.14.Рис.2.14. Структурная схема комплексного звена первого порядка спередаточной функцией Ti(z) для ФВЧОтметим, что структурные схемы комплексных звеньев первогопорядка для ФНЧ и ФВЧ одинаковые и отличаются только значениямикоэффициентов.Пример 5.

Расчет цифрового ФНЧ с параллельной структуройпо значениям полюсов НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета цифрового ФНЧс использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка. НЧ-прототип62Баттерворта третьего порядка описывается следующим набором полюсов[24]: p1=-1, p2=-0.5+j0.866025, p 3=-0.5-j0.866025.Исходные данные.1. Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в виде суммыпередаточной функции:T ( s) 1( 0.5  j 0.288675)( 0.5  j 0.288675)s  (1) s  (0.5 + j 0.866025) s  (0.5  j 0.866025)2.

Параметры цифрового ФНЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.1. Определяем параметры ФНЧ: T0  1 , w W 0,1 .2Используя метод ОБП, можно рассчитать ФНЧ с параллельнойструктурой. Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s , где   ctg (w )  3,077683 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФНЧ:T ( z) 0,24523728 1  z 1  0,11356919  j0,10817859   1  z 11  0,50952545z 11  0,6252583  j0,39341499 z 1 0,11356919  j0,10817859  1  z 1 .1  0,6252583  j0,39341499z 1Этойпередаточнойфункции можнопоставитьв соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.15.

В результате моделирования всреде Micro-Cap 7 была получена АЧХ ФНЧ, приведенная на рис.2.16.63Рис.2.15. Структурная схема ФНЧ c комплексными коэффициентамиРис.2.16. АЧХ ФНЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.64Пример 6. Расчет цифрового ФВЧ с параллельной структуройпо значениям полюсов НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядкаДля иллюстрации метода рассмотрим пример расчета цифрового ФВЧс использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка.

НЧ-прототипБаттерворта третьего порядка описывается следующим набором полюсов[24]: p1=-1, p2=-0.5+j0.866025, p 3=-0.5-j0.866025.Исходные данные.1. Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в виде суммыпередаточной функции:T (s) 1( 0.5  j 0.288675)( 0.5  j 0.288675)s  (1) s  (0.5 + j 0.866025) s  (0.5  j 0.866025)2. Параметры цифрового ФВЧ: T0  1 , нормированная полоса W  0,2 .Методика расчета.1. Определяем параметры ФВЧ: T0  1 , w W 0,1 .2Используя метод ОБП, можно рассчитать ФВЧ с параллельнойструктурой.

Сделаем замену переменных следующего вида:(1  z 1 )s, где   tg (w )  0,3249197 .(1  z 1 )Выполнив замену переменных в сомножителях НЧ-прототипа, получимпроизведение передаточных функций первого порядка с комплекснымикоэффициентами, определяющее передаточную функцию ФВЧ:T (z) 0,75476272  1  z 1  0,11356939  j0,46917164  1  z 11  0,50952545 z 11   0,62525803  j0,39341516 z 1 0,11356939  j0,46917164   1  z 1 .1   0,62525803  j0,39341516z 1Этойпередаточнойфункции можнопоставитьв соответствиеструктурную схему, показанную на рис.2.17.65Рис.2.17. Структурная схема ФВЧ c комплексными коэффициентамиВ результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФВЧ, приведенная на рис.2.18.Рис.2.18.

АЧХ ФВЧСоответствиеАЧХисходнымданнымподтверждаетработоспособность методики расчета.662.2.2. Расчет цифровых фильтров с параллельной структуройпо значениям нулей и полюсов НЧ-прототипапри нечетном числе полюсовЕсли передаточная функция НЧ-прототипа задана в виде наборакоординат нулей и полюсов, то ее можно представить в следующем виде [1]:T ( s )  T0( s  n1 )( s  n2 )...( s  ni )...( s  nM ), (2.6)( s  p1 )( s  p2 )...( s  pi )....( s  pN )где ni - координаты нулей, а pi - координаты полюсов НЧ-прототипа.В большинстве известных НЧ-прототипов при нечетном числе полюсовM<N, то есть T(s) - правильная дробь.

Тогда функцию T(s) можнопредставить в виде суммы дробей первого порядка [28]: А1А2АiАN T ( s )  T0  ....  ....  , где( s  pi )( s  pN )  ( s  p1 ) ( s  p2 ) ( p1  n1 )( p1  n2 )( p1  n3 )...( p1  nM ) A1   ( p1  p2 )( p1  p3 )...( p1  pi )...( p1  p N ) ( p2  n1 )( p2  n2 )( p2  n3 )...( p2  nM ) A2   ( p2  p1 )( p2  p3 )...( p2  pi )...( p2  p N ) ( pi  n1 )( pi  n2 )( pi  n3 )...( pi  nM )Ai   ( pi  p1 )( pi  p2 )...( pi  pi 1 )( pi  pi 1 )...( pi  p N ) ( p N  n1 )( p N  n2 )( p N  n3 )...( p N  nM ) AN  . ( p N  p1 )( p N  p3 )...( p N  pi )...( p N  p N 1 )Координаты нулей и полюсов, а также коэффициенты Аi в большинствеслучаев имеют комплексные значения.В такой ситуации, используя метод ОБП, можно найти передаточнуюфункцию ФНЧ (ФВЧ) в виде суммы передаточных функций первого порядкас комплексными коэффициентами.

В нашем случае передаточная функцияодного слагаемого НЧ-прототипа звена первого порядка имеет следующийвид:67Ti ( s ) T0 Ai,( s  pi )гдеpi  pi1  jpi 2 .После замены переменной (ФНЧ):(1  z 1 )s  , где   ctg (  w  ) , получим(1  z 1 )11 z  pi T0 AiT0 AiaTi ( z ) bi i,.1 , где a i 11 z 1bzppiii  pi  1 1  z Обозначим ai  ai1  jai 2 и bi  bi1  jbi 2 .Тогдаполученнойпередаточнойфункцииможнопоставить всоответствие структурную схему, показанную на рис.2.19.Рис.2.19. Структурная схема комплексного звена первого порядка спередаточной функцией Ti(z) для ФНЧПосле замены переменной (ФВЧ):s (1  z 1 ), где   tg (  w  ) , получим(1  z 1 )11 z  pi T0 AiT0 AiKi ( z)  ai bi ,.11 , где a i 1 z 1bzppiii  pi  1 1 z Обозначим a i  ai 1  jai 2 и b i  bi 1  jbi 2 .68Тогдаполученнойпередаточнойфункцииможнопоставить всоответствие структурную схему, показанную на рис.2.20.Рис.2.20.