Диссертация (Методы расчета комплексных цифровых фильтров по НЧ-прототипам), страница 13

В этом случае сначаланаходится передаточная функция и структурная схема ФНЧ. Затемструктурная схема ФНЧ преобразуется в структурную схему ПФ скомплексными задержками.Комплексная задержка реализует изменение фазы комплексногосигнала на величину Ф0 и задержку составляющих комплексного сигнала натактовыйинтервал.ЭтуоперациюможноописатьследующимисоотношениямиK ( z )  z (w) 1K ( z )  (cos(0 )  j sin(0 )) z 1 ( w) , где e j  cos0  j sin 0 , 0  2w00Структурная схема комплексной задержки показана на рис.4.6.cos0sin 0 sin 0cos0Рис.4.6.

Структурная схема комплексной задержкиКаноническая структурная схема ФНЧ, соответствующая передаточнойфункцииT ( z )  a0  a1 z 1  a2 z 2 , показана на рис.4.7.Рис.4.7. Структурная схема КИХ фильтра125Структурная схема комплексного фильтра, реализованнаяметодомкомплексной задержки, показана на рис.4.8.Рис.4.8. Структурная схема комплексного фильтра, реализованная методомкомплексной задержкиСтруктурные схемы комплексных звеньев первого порядка одинаковыеи отличаются только значениями коэффициентов.4.1.3.1. Расчет комплексного полосового фильтра при «n=16»Сначала находим передаточную функцию и структурную схему ФНЧ.Задаем следующие параметры ФНЧ:Количество вычисляемых коэффициентов – «n»: n  16Нормированные граничные частоты –w1  0, w2  0.1, w3  0.9, w4  1, w5  0, w6  0Текущий номер коэффициента - k  0.....n k  2k Формула для окна – d ( k )  0.42  0.5 cos    0.08 cos n n Формула для расчёта коэффициентов ряда Фурье2   wd ( k )  2   wa k :   cos( k  x) dx   cos( k  x )dx   2 w2   w2413Коэффициенты bk будут равны нулю.126Формула, используемая при расчёте частотных характеристик имеетвид:z ( w) : cos(2. .w)  i.sin( 2. .w)Формула для расчёта частотной характеристики имеют следующийвид:kk a0  nz w   z w H ( w) : z ( w)     ak 2 2  k 1n .АЧХ ФНЧ рассчитанная в среде MathCad приведена на рис.4.9.Рис.4.9.

График АЧХ ФНЧИспользуярассчитанныекоэффициентысоставимпередаточнуюфункцию КИХ ФНЧ:T ( z ) : 0  0 z 1  3.91  10 4 z 2  1.624  10 3 z 3  3.353  10 3 z 4  3.796  10 3 z 5  0 z 6  0.01z  7  0.026 z 8  0.038 z  9  0.035 z 10  0 z 11  0.072 z 12  0.175 z 13  0.284 z 14  0.368 z 15  0.4 z 16  0.368 z 17  0.284 z 18  0.175 z 19  0.072 z  20  0 z  21  0.035 z  22  0.038 z  23  0.026 z  24  0.01z  25  0 z  26  3.796  10  3 z  27  3.353  10 3 z  28  1.624  10 3 z  29  3.91  10  4 z 30  0 z  31  0 z  32Найденной передаточной функции можно поставить в соответствиеструктурную схему, которая была смоделирована в среде Micro-Cap7(рис.4.10).127Рис.4.10.

Структурная схема ФНЧ при «n=16»В результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХФНЧ, приведенная на рис.4.11.Рис.4.11. АЧХ ФНЧ при «n=16»АЧХ фильтра (Рис.4.11.) совпала с АЧХ, рассчитанной в среде Mathcad(Рис.4.9).Чтобыполучитьструктурнуюсхемукомплексногоцифровогополосового фильтра, необходимо блоки задержек в структурной схеме ФНЧзаменить на комплексные задержки. Пусть частотная характеристикасмещается вправо на 0,2 частоты дискретизации.Тогда W0  0,2 , 0  2W0 , e j  0,30901699  j 0,95105652 .0Модель комплексного цифрового полосового фильтра, созданная всреде MicroCap-7, была очень большая для страницы, поэтому ее не будем128показывать. В результате моделирования при частоте дискретизации f д  1кГцбыла получена АЧХ, приведенная на рис.4.12.Рис.4.12.

АЧХ ПФ для метода комплексной задержки при «n=16»АЧХ фильтра (Рис.4.12.) совпала с АЧХ, рассчитанной в среде Mathcad(Рис.4.1).Изменяя два коэффициента в комплексныхзадержках, можнообеспечить перестройку КИХ фильтра по частоте без изменения формыАЧХ.4.2. Линеаризация ФЧХ КИХ фильтровВ ряде случаев, необходимо использовать КИХ-фильтры с заданнойформой АЧХ, имеющие нелинейные ФЧХ. В такой ситуации можетпотребоваться линеаризация ФЧХ.

Предлагаемый метод линеаризации ФЧХпредполагает последовательное (каскадное) соединение КИХ-фильтра снелинейной ФЧХ с КИХ-фильтром, имеющим обратный порядок следованиякоэффициентов по сравнению с исходным. Такой фильтр будем называтьобратным.Поясним принцип линеаризации на примере. Пусть передаточнаяфункция КИХ фильтра с произвольными вещественными коэффициентамизадана в следующем виде:T1 ( z)  (a0  a1 z 1  a2 z 2  a3 z 3 )где a0 , a1 , a 2 , a3 - произвольные вещественные коэффициенты.129Определяем, частотную характеристику, делая замену переменнойz 1  e j . ТогдаT1 (e j )  (a0  a1e j  a2e  j 2  a3e j 3 )Используя формулу Эйлера, e j  (cos  j sin  ) , получимT1 (e j )  ( a0  (a1 cos )  ( a2 cos 2 )  ( a3 cos 3 ))  j ((a1 sin  )  ( a2 sin 2 )  (a3 sin 3 ))T1 (e j )  A( )  jB( ) , гдеA( )  ( a0  ( a1 cos  )  ( a2 cos 2 )  (a3 cos 3 )) ,B ( )  (( a1 sin  )  (a2 sin 2 )  (a3 sin 3 ))Определяем АЧХ:T1 (e j )  A( )   B( ) 22а также ФЧХ:  B( ) arg T1 (e j )   arctg  A( ) Передаточная функция обратного фильтра будет иметь следующийвид:T2 ( z )  (a3  a2 z 1  a1 z 2  a0 z 3 )  z 3  (a0  a1 z1  a2 z 2  a3 z 3 ) .Определяем, частотную характеристику обратного фильтра, делаязамену переменной z 1  e j .

ТогдаT2 (e j )  e  j 3   a0  a1e j  a2 e j 2  a3 e j 3 Используя формулу Эйлера, e j  (cos  j sin  ) , найдем модуль иаргумент функции, заключенной в скобкиT2 (e j )  e  j 3   ( a0  ( a1 cos )  (a2 cos 2 )  ( a3 cos 3 )) j (( a1 sin  )  (a2 sin 2 )  (a3 sin 3 ))T2 (e j )  (e j 3 )   A( )  jB( ), гдеA( )  a0  a1 cos   a2 cos 2  a3 cos 3 ,B( )  a1 sin   a2 sin 2  a3 sin 3130Найдем АЧХ обратного фильтра. Сомножитель e  j 3 имеет модульравный 1 на всех частотах. ТогдаT2 (e j )  A( )   B( ) 22а также ФЧХ: B( ) argT2 (e j )   3  arctg  A( ) Видно, что T2 (e j )  T1 (e j )При последовательном соединении прямого и обратного фильтров ихАЧХ перемножаются, а ФЧХ суммируются:T (e j )  T1 (e j )  T2 (e j )  T1 (e j )2argT (e j )  argT1 (e j )   argT2 (e j )BBargT (e j )   arctg    3  arctg    3 A AТакимобразомможноконстатировать,чтоФЧХкаскадногосоединения прямого и обратного фильтров становится линейной, общийпорядок фильтра удваивается, а его АЧХ будет равна квадрату АЧХисходного КИХ фильтра.4.2.1.

КИХ фильтры нижних частот с линейными ФЧХ, рассчитанные поНЧ-прототипуВ разделе предлагается способ построения цифровых фильтров слинейнойФЧХ,использующийпоследовательноеКИХ-фильтраснелинейной ФЧХ, рассчитанного по НЧ-прототипу, и линеаризующего КИХфильтра. Способ демонстрируется на примере фильтров с НЧ-прототипомЧебышева (инверсного) третьего порядка.131ФЧХ каскадного соединения КИХ-фильтра с нелинейной ФЧХ,рассчитанного по НЧ-прототипу, и обратного КИХ-фильтра становитсялинейной, общий порядок фильтра удваивается, а его АЧХ равна квадратуАЧХ исходного БИХ фильтра.Для иллюстрации метода рассмотрим пример расчета цифрового ФНЧс использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка.В нашем случае используем такие исходные данные:1.

Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в видепроизведения сомножителей:T ( s) 1s 2  5,97635763 2.(s  1,134319) (s  0,93337s  1,05874074 )2. Параметры комплексного цифрового полосового фильтра: Т0=1,нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированная полоса W= 0,2.Методика расчета.1.

Определяем параметры ФНЧ: Т0 = 1 , Wп=ИспользуяметодобобщенногоW= 0,1.2билинейногопреобразования,рассчитываем ФНЧ с последовательной структурой. В нашем случаеиспользуется замена переменных следующего видаS (1  z 1 ), где   ctg (n )  3,07768354.(1  z 1 )В результате подстановки получим произведение передаточныхфункций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами.T(z) 0,23741676  0,23741676 z 1 1,15257211  0,52162194 z 1  1,15257211 z 21  0,46138731 z 11  1,25540327 z 1  0,57136289 z 2Такой передаточной функции можно поставить в соответствиеструктурную схему БИХ ФНЧ, показанную на рис.4.13.132Рис.4.13.

Структурная схема цифрового БИХ ФНЧАЧХ и ФЧХ БИХ фильтра показаны на рис.4.14.Рис.4.14. АЧХ и ФЧХ БИХ фильтраНа рис.4.15. приведена зависимость ГВЗ от частоты в полосепропускания ФНЧ.Рис.4.15. Зависимость ГВЗ от частоты в полосе пропускания ФНЧ133Неравномерность ГВЗ в полосе пропускания будем оценивать поразности максимального и минимального значения ГВЗ. Для аналоговогофильтра эта разность равна 1.989 мсек.Находим импульсную характеристику цифрового БИХ фильтра. Онапоказана на рис.4.16.Рис.4.16. Импульсная характеристика цифрового ФНЧУсекаем импульсную характеристику, отбрасывая отсчеты, значениякоторых не превосходят по модулю 0,01.