Диссертация (Двумерный корреляционный анализ пониженной вычислительной сложности для разнесенных пассивных систем), страница 9

Приложение 3.2δФq l δt − 2δФq l δt + δФ∆qδtN τδФ∆qδtN τ12 2 321 31) sin(R3(p, q) = Wuvsin(22δФ∆q 2( Nτ / 2 ) −12 jМδM∆pO δt ⋅ Re ∑ H ( МδМ ) eN М = − 2τ) ⋅58Вычислим среднее значение процесса на выходе четвёртого умножителя:π( Nτ / 2 ) −1jФq 1δt ( m − l З 1 ) jω0 mδt j 2()()uδt(рl)hδt(mрр)eee−−−З1В11 ∑Nτ −1  p = − Nτ11R4(p, q) = Re ∑ Е  ( N / 22) −1τ2m =0 − jФq 2δt ( m − l З 2 ) − jω0 mδt**e⋅ ∑ v (δt(р2 − l З 2 ))h (δt(m − р2 ))eNτ p2 = − 2⋅⇒Более подробно см. Приложение 3.2δФq l δt − 2δФq l δt + δФ∆qδtN τδФ∆qδtN τ12 2 321 31R4(p, q) = Wuv) sin( − sin(22δФ∆q 2) ⋅( Nτ / 2 ) −12 jМδM∆pO δt ⋅ Re ∑ H ( МδM ) eN М = − 2τСогласно (2.2) после вычитания получим компоненту RУ ( p, q) :RУ ( p, q) = R3 ( p, q) − R4 ( p, q) = 2 R3 ( p, q) .R y ( p, q) = Wuv(2.4)2δФq l δt − 2δФq l δt + δФ∆qδtNτδФ∆qδtNτ 2 2 321 31) sin() ⋅sin(22δФ∆q ( Nτ / 2 ) −12 jМδM∆pO δt ⋅ Re ∑ H ( МδМ ) eNτ М = − 2Находим огибающую КФ:RОГ ( p, q) =2δФq l δt − 2δФq l δt + δФ∆qδtN τδФ∆qδtN τ42 321 31Wuv 2) sin(cos(22(δФ∆q ) 2 2 ( Nτ / 2 ) −12 jМδM∆pO δt ⋅ Re  ∑ H ( МδМ ) e М = − Nτ / 2)2δФq l δt − 2δФq l δt + δФ∆qδtN τδФ∆qδtN τ42 321 31Wuv 2) sin(sin(22(δФ∆q ) 2 +2 ( Nτ / 2 ) −12 jМδM∆pO δt ⋅ Re  ∑ H ( МδМ ) e М = − Nτ / 22)⋅+2⋅⇒( N / 2 ) −12 jMδM∆p O δtδФ∆q ⋅ δtNτ  τ.⇒ Wuv Nτ δt sin c ∑ H ( MδМ ) e2 М = − Nτ / 2(2.5)59Рассмотрим отдельно множитель:( Nτ / 2 ) −1∑H ( МδМ ) e jМδM∆pOδt .2(2.6)М = − Nτ / 2Для его раскрытия перейдём от дискретной формы к непрерывной.Считаем, что ФНЧ пропускает все частоты в полосе ∆ω / 2 .

Рассмотрим случай,когда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтраH (ω )имеет1, [ω0 − (∆ω / 2)] ≤ ω ≤ [ω0 + (∆ω / 2)] .0, [ω0 − (∆ω / 2)] ≥ ω ≥ [ω0 + (∆ω / 2)]прямоугольный вид: H (ω − ω0 ) = Перейдем (2.6) от дискретного вида к непрерывному:ω0 + ( ∆ω / 2 )∫ωH (ω − ω )02e jω∆τ dω .ω0 − ( ∆ / 2 )Примем, что ω − ωо = ω ′ , ω = ωо + ω ′ , получаем:ω −ω ′+ ( ∆ω / 2 )∫H (ω ′) e2j ( ω ′+ωо ) ∆τdω ′ = eω −ω ′− ( ∆ω / 2 )jωо ∆τω −ω ′+ ( ∆ω / 2 )∫e∫ω ωω− ′− ( ∆ / 2 )2ω −ω ′− ( ∆ω / 2 )Пренебрегая фазовым множителем eω −ω ′+ ( ∆ω / 2 )jω ′∆τH (ω ′) e jω ′∆τ dω ′ →jωо ∆τи раскрыв интегралdω ′ , получаем: ∆ω∆τ 2 sin∆ω 1  ∆ω 2 ′′→exp  j∆τ (ω − ω +)  − exp  j∆τ (ω − ω −) =.∆τj∆τ  2 2 Возвращаясь к исходному дискретному выражению (2.5) считая, чтоCн = ∆MδМ ⋅ Nτ δt – коэффициент накопления коррелятора, ∆М – число частотныхиндексов.

Если АЧХ фильтра H (ω ) имеет прямоугольный (идеальный) вид,получаем в общем виде огибающую КФ: δФ∆q ⋅ δtNτ  δМ∆M ⋅ ∆pOδt RОГ ( p, q) = Wuv Сн sin c  ⋅ sin c .22Учитывая, что t З1 − t З 2 = τ З – разность хода между сигналами U(t) и V(t),Фq1 − Фq 2 = ∆Фq – разность доплеровской частоты двух сигналов, получаем внепрерывной форме:60 ∆ФqТ r  ∆ω∆τ RОГ (τ , Ф ) = Wuv Сн sin c , ⋅ sin c  2  2 (2.7)где τ З − τ В = ∆τ – нескомпенсированная задержка (ошибка); Wuv – взаимнаяспектральная плотность мощности полезных (шумовых) сигналов; sin c( х ) =sin( x ).хРассмотрим другой случай, когда АЧХ фильтра H (ω ) имеет гауссовский2 ω − ω0   .вид (рисунок 2.2) и описывается: H (ω − ω0 ) = exp − 2 ln 2 ∆ω  Перейдем (2.6) от дискретного вида к непрерывному:∞∫ H (ω − ω )0−∞∞∫ H (ω′)2e2e jω∆τ dω , так как ω − ωо = ω ′ , ω = ωо + ω ′ , получаем:j ( ω ′+ωо ) ∆τdω ′ = ejωо ∆τ−∞∞∫ H (ω′)2e jω ′∆τ dω ′ →−∞Рисунок 2.2 – АЧХ фильтраПренебрегая множителем ejωо ∆τ, получаем:∞ − 4 ln 2(ω ′) 2′+∆jωτ→ ∫ exp dω ′ →2∆ω−∞ ∆ω 2 ∆τ 2  π→exp∆ω .Взяв интеграл, получим:−16ln24ln261Возвращаясь к исходному дискретному выражению (2.5) получаем в общемвиде огибающую КФ: (δМ∆M ) 2 ⋅ (∆pOδt ) 2  π δФ∆q ⋅ δtNτ expRОГ ( p, q) = WuvСн sin c⋅,−216 ln 2 4 ln 2аналогично в непрерывной форме: (∆ω∆τ ) 2  π ∆ФqТ r RОГ (τ , Ф) = WuvCн sin c. ⋅ exp− 2  16 ln 2  4 ln 2(2.8)Из (2.7) и (2.8) видно, что среднее значение на выходе КВК стационарно ипредставляет собой постоянное напряжение, пропорциональное коэффициентунакопления, зависит от разности доплеровских частот и нескомпенсированной ∆ФqТ r  при фиксированном накоплении Тr является 2 задержки.

Множитель sin c функцией разностной доплеровской частоты (рисунок 2.3, а). Множитель ∆ω∆τ sin c  2  ( ∆ω∆τ ) 2  при полосе сигнала ∆ω является функцией16ln2и exp −нескомпенсированной задержки (ошибки) (рисунок 2.3, б). Из рисунков видно,что при наличии невыравненности разности хода и доплеровского сдвига частотыогибающая КФ имеет резкий спад. Для устранения этого эффекта необходимоввести переменную компенсирующую задержку и произвести поправку почастоте.При изменении величины произведения ΔФqТr в 2 раза, ширина главноголепестка огибающей КФ на плоскости частоты по уровню 0,5 уменьшаетсяприблизительно в 2 раза, при этом возрастает в 3 раза количество боковыхлепестков.Сравнения главных лепестков огибающих КФ на плоскости задержкипоказало, что КФ при АЧХ фильтра H (ω ) гауссовского вида по уровню 0,5 уже в1,5 раза, по сравнению с АЧХ прямоугольного вида, также уменьшается уровеньпервого бокового лепестка более чем в 2 раза.62Рисунок 2.3 – Огибающая КФ на плоскости частоты и задержки:x=∆ФqТ r2∆ω∆τ; y=;2( ∆ω∆τ ) 2z=−.16 ln 22.2.

Получение дисперсии шума на выходе коррелятораПроцедура нахождения дисперсии связана с вычислением второго моментавыходного процесса коррелятора и представляет достаточно трудоемкуюоперацию. При нормальных случайных процессах момент любого порядка можновыразить через моменты первого и второго порядка. Дисперсия (флуктуациявыходного процесса) находится как:()2DR ( p, q) = RОГ ( p, q) − RОГ ( p, q) .2Известно (2.3), что R Х ( p, q) = 2 R1 ( p, q) , отсюда R Х 2 ( p, q) = 4 R12 ( p, q) .При перемножении двух комплексных величин получим:(Re a )2 = Re a ⋅ Re a = 1 (Re a 2 + Re aa * ) .22В общем виде R1 ( p, q ) можно записать как:63 ( Nτ / 2 ) −1u(δt(р1 − l З1 )) + ш1 ( р1 × δt )]h(δt(m − р1 − р В )) ⋅  ∑ [ p1 = − Nτ / 2x1 (τ 1 ) jФq1δt ( m − lЗ1 ) jω mδte 0 ⋅⋅ e ( Nτ / 2 ) −1⋅ ∑ v * (δt(р2 − l З 2 )) + ш2 * ( р2 × δt ) h * (δt(m − р2 )) ⋅  p2 = − Nτ / 2 x2 (τ 2 )− jФq 2δt ( m − l З 2 ) − jω0 mδte⋅1 Nτ −1Nτ −1 ⋅ e2R1 (p, q) = Re ∑ ∑ Е  ( Nτ / 2 ) −1+4m = 0 m′= 0u(δt(р1′ − l З1 )) + ш1 ( р1′ × δt )]h(δt(m′ − р1′ − р В )) ⋅⋅ ∑ [′pN=−/21τ′()τx3 1⋅ e jФq1δt ( m′− lЗ1 ) e jω0 m′δt ⋅ ( Nτ / 2 ) −1 **v (δt(р2′ − l З 2 )) + ш2 ( р2′ × δt ) h * (δt(m′ − р2′ )) ⋅ ⋅ ∑  p2′ = − Nτ / 2x4 (τ 2′ )⋅ e − jФq 2δt ( m′− lЗ 2 ) e − jω0 m′δt[][] ( Nτ / 2 ) −1jФq 1δt ( m − l З 1 ) jω0 mδte⋅ ∑ x1 (τ 1 )h(δt(m − р1 − р В ))e p1 = − Nτ / 2 ( Nτ / 2 ) −1− jФ δt ( m − l З 2 ) − jω0 mδte⋅ ∑ x 2 (τ 2 )h * (δt(m − р2 ))e q 2⋅1 Nτ −1Nτ −1  p2 = − Nτ / 2+ Re ∑ ∑ Е  ( N / 2 ) −1,τ4m = 0 m′= 0− jФq 1δt ( m ′ − l З 1 ) − jω0 m ′δt*⋅ ∑ x3 (τ 1′ )h (δt(m′ − р1′ − р В ))ee⋅ p1′ = − Nτ / 2 ( Nτ / 2 ) −1jФq 2δt ( m ′ − l З 2 ) jω0 m ′δt⋅x4 (τ 2′ )h(δt(m′ − р2′ ))ee p ′ =∑ 2 − Nτ / 2Считая, что R12(p, q) = I1 + I 2 ,(2.9)т.е.

I1 = Re a 2 , I 2 = Re aa* . Отсюда слагаемые I1 и I2 равны: ( Nτ / 2 ) −1 ( Nτ / 2 ) −1 ( Nτ / 2 ) −1 ( Nτ / 2 ) −1x1 (τ 1 ) x2 (τ 2 ) x3 (τ 1′ ) x4 (τ 2′ )h(δt(m − р1 − р В )) ⋅∑∑∑ ∑ p1 = − Nτ / 2 p2 = − Nτ / 2 p1′ = − Nτ / 2 p2′ = − Nτ / 21 Nτ −1Nτ −1 **,I1 = Re ∑ ∑ ⋅ h (δt(m − р2 ))h(δt(m′ − р1′ − р В ))h (δt(m′ − р2′ )) ⋅4m = 0 m′= 0′′⋅ e jФq1δt ( m − l З1 ) e − jФq 2δt ( m − l З 2 ) e jФq1δt ( m − l З1 ) e − jФq 2δt ( m − l З 2 )64 ( Nτ / 2 ) −1 ( Nτ / 2 ) −1 ( Nτ / 2 ) −1 ( Nτ / 2 ) −1x1 (τ 1 ) x2 (τ 2 ) x3 (τ 1′ ) x4 (τ 2′ )h(δt(m − р1 − р В )) ⋅∑∑∑ ∑ p1 = − Nτ / 2 p2 = − Nτ / 2 p1′ = − Nτ / 2 p2′ = − Nτ / 21 Nτ −1Nτ −1 **.I 2 = Re ∑ ∑ ⋅ h (δt(m − р2 ))h (δt(m′ − р1′ − р В ))h(δt(m′ − р2′ )) ⋅4m = 0 m′= 0′′⋅ e jФq1δt ( m − lЗ1 ) e − jФq 2δt ( m − lЗ 2 ) e − jФq1δt ( m − lЗ1 ) e jФq 2δt ( m − lЗ 2 )Статистический момент четвёртого порядка случайных нормальныхпроцессов равен:x1 (τ 1 ) x2 (τ 2 ) x3 (τ 1′ ) x4 (τ 2′ ) = x1 (τ 1 ) x2 (τ 2 ) ⋅ x3 (τ 1′ ) x4 (τ 2′ ) + x1 (τ 1 ) x3 (τ 1′ ) ⋅ x2 (τ 2 ) x4 (τ 2′ ) + 12(2.10)+ x1 (τ 1 ) x4 (τ 2′ ) ⋅ x2 (τ 2 ) x3 (τ 1′ ) − 2m x1 m x2 m x3 m x43Так как случайные величины центрированы, тогда 2mx mx mx mx = 0 .1234Первое произведение представляет собой взаимную КФ при τ = 0 (R(0)), второеавтокорреляционную функцию (АКФ) двух сигналов, третье- взаимную КФ.Рассмотрим отдельно первое произведение в выражении для четвёртогомомента (2.10):x1 (τ 1 ) x2 (τ 2 ) ⋅ x3 (τ 1′) x4 (τ 2′ ) = [u (δt(р1 − lЗ1 )) + ш1 ( р1 ⋅ δt )][v(δt(р2 − lЗ 2 )) + ш2 ( р2 ⋅ δt )] ⋅⋅ [u (δt(р1′ − lЗ1 )) + ш1 ( р1′ ⋅ δt )][v(δt(р2′ − lЗ 2 )) + ш2 ( р2′ ⋅ δt )] =Так как сигнал и шум некоррелированны, тогда согласно (П3.1) получаем:= Wuv2 ∆δ (δt ( р1 + р з − р2 ) ⋅ ∆δ (δt ( р1′ + р з − р2′ ) .где ∆δ – дельта-функция или функция Кронекера (единичный дискрет).2Находим RХ ( p, q) :R Х ( p, q) = 4( I 1 + I 2 ) = Wuv2 Re2( N τ / 2 ) −1∑NМ =− τ2H ( МδМ ) e jМδM∆pOδt2N τ −1∑e δj Ф∆qmδtm =0N τ −1 2 jδФq2l З 2δt − 2 jδФq1l З1δt ( Nτ / 2 ) −12 jM 2δM∆pO δtee jδФ∆qm′δt∑N H ( M 2δМ ) e∑em′= 0М 2 =− τ2⋅  N −1( N / 2 ) −12 τ − jδФ∆qm′δt τeH ( M 3δМ ) e − jM 3δM∆pOδt+∑ ∑NМ 3 =− τ m′= 02+⋅65где М, М2, М3 – частотный индекс, М, М2, М3=0, 1, …, ( Nτ − 1) .Более подробно см.

Приложение 3.22Известно, что RУ ( p, q) = 2 R3 ( p, q) (2.4), отсюда RУ ( p, q) = 4 R3 ( p, q) .2Находим RУ ( p, q) :RУ ( p, q) = 4( I 1 + I 2 ) = W Re2( N τ / 2 ) −1∑2uvH ( МδM ) e2jМδM∆pO δtN τ −1∑e δj Ф∆qmδt⋅m =0NМ =− τ2 Nτ −1 − jδФ∆qm′δt ( Nτ / 2 ) −12H ( M 3δM ) e − jM 3δM∆pOδt −∑ ∑eN m ′= 0М 3 =− τ2⋅N −1( N / 2 ) −12 jM 2δM∆pO δt  2 jδФq2 l З 2δt − 2 jδФq1l З1δt τ jδФ∆qm′δt τe∑e∑N H ( M 2δM ) e− em′= 0М 2 =− τ2Более подробно см.