Диссертация (Двумерный корреляционный анализ пониженной вычислительной сложности для разнесенных пассивных систем), страница 10

Приложение 3.Таккак()2DR ( p, q ) = RОГ ( p, q ) − RОГ ( p, q ) ,2тогда компонента2RОГ ( p, q )соответствующая первому слагаемому в выражении для четвёртого момента()2(2.10) сократится с RОГ ( p, q) .Рассмотрим отдельно второе произведение в выражении для четвёртогомомента (2.10):x1 (τ 1 ) x3 (τ 1′ ) ⋅ x2 (τ 2 ) x4 (τ 2′ ) = [u (δt(р1 − l З1 )) + ш1 ( р1 ⋅ δt )][u (δt(р1′ − l З1 )) + ш1 ( р1′ ⋅ δt )] ⋅⋅ [v(δt(р2 − l З 2 )) + ш2 ( р2 ⋅ δt )][v(δt(р2′ − l З 2 )) + ш2 ( р2′ ⋅ δt )] =Так как сигнал и шум некоррелированны и их мощность в приёмныхканалах неодинакова, то согласно (П3.1) получаем:= [Wu ∆δ (δt(р1 − р1′ )) + Wш1 ∆δ (δt(р1 − р1′ ))][Wv ∆δ (δt(р2 − р2′ )) + Wш2 ∆δ (δt(р2 − р2′ ))]где Wu ,Wv ,Wш1 ,Wш2 – спектральная плотность мощности полезных и шумовыхсигналов.2Находим RХ ( p, q) :RХ ( p, q ) = 4 R1 ( p, q ) = 4( I1 + I 2 ) = 2[(Wu + Wш1 )][(Wv + Wш 2 )] ⋅ Nτ δt ⋅ Re22( N τ / 2 ) −1∑М = − Nτ / 2Н ( МδМ ) .466Более подробно см.

Приложение 3.22Компонента RУ ( p, q) = 4 R3 ( p, q) = 4( I1 + I 2 ) . После подстановки находим,2что компонента RУ ( p, q) = 0 . Более подробно см. Приложение 3.Рассмотрим отдельно третье произведение в выражении для четвёртогомомента (2.10):x1 (τ 1 ) x4 (τ 2′ ) ⋅ x2 (τ 2 ) x3 (τ 1′ ) = [u (δt(р1 − l З1 )) + ш1 ( р1 ⋅ δt )][v(δt(р2′ − l З 2 )) + ш2 ( р2′ ⋅ δt )] ⋅⋅ [v(δt(р2 − l З 2 )) + ш2 ( р2 ⋅ δt )][u (δt(р1′ − l З1 )) + ш2 ( р1′ ⋅ δt )] =Так как сигнал и шум некоррелированны, тогда согласно (П3.1) получаем:= Wuv2 ∆δ (δt ( р1 + р з − р2′ ) ⋅ ∆δ (δt ( р2 − р з − р1′ ) .2Находим RХ ( p, q) : 12δФq l δt − 2δФq l δt + δФ∆qδtNτ − δФ∆qδt∆po ) ⋅cos(2 321 31R Х (p, q) = 4( I1 + I 2 ) = Wuv2  δФ∆q⋅⋅ sin(δФ∆qδtNτ ) + cos((δФ ( q1 + q2 ))δt∆po ) ⋅ δtNτ2⋅ Re( Nτ / 2 ) −1∑М =−H ( МδМ ) e 2 jМδM∆pOδt4Nτ2Более подробно см.

Приложение 3.222Найдем компоненту RУ ( p, q) = 4 R3 ( p, q) = 4( I1 + I 2 ) . Получаем RУ ( p, q) :1 − δФ∆q cos( 2δФq2 l32δt − 2δФq1l31δt + δФ∆qδtNτ − δФ∆qδt∆po ) ⋅RУ ( p, q) = 4( I1 + I 2 ) = W ⋅⋅ sin(δФ∆qδtNτ ) + cos((δФ ( q1 + q2 ))δt∆po ) ⋅ δtNτ2⋅ Re2uv( Nτ / 2 ) −1∑М =−H ( МδM ) e 2 jМδM∆pOδt4Nτ222Видно, что компоненты третьего слагаемого RX ( p, q) и RУ ( p, q) состоят изфазовых множителей, частотной характеристики и взаимной спектральнойплотности мощности полезного сигнала Wuv, которые имеет малую величину посравнению с Wш1 и Wш2 . Таким образом, третье произведение вносит малый вкладв дисперсию и им можно пренебречь.67При АЧХ фильтра H (ω ) имеющий прямоугольный вид дисперсия равна:DR ( p, q) = [(Wu + Wш1 )][(Wv + Wш2 )] ⋅ Сн ,(2.11)если АЧХ фильтра H (ω ) имеет гауссовский вид:DR ( p, q) = [(Wu + Wш1 )][(Wv + Wш2 )] ⋅ Снπ8 × ln 2.(2.12)Дисперсия зависит от мощности входного процесса и от коэффициентанакопления.2.3.

Получение отношения сигнал/шум на выходе коррелятораОценка энергетических характеристик КВК проводится по такомупараметру, как отношение С/Ш по мощности на его выходе, которое определяетсячерез отношение квадрата среднего значения выходного процесса к дисперсии:q2вых(R=)2( p, q ).DR ( p , q )ОГВ общем виде отношение С/Ш по мощности:2qвыхδФ∆q ⋅ δtNτ   ( Nτ / 2 ) −12Wuv2 ( Nτ δt ) 2 sin c 2 H ( МδМ ) e jМδM∆pOδt ∑2  М = − Nτ / 2=Nτ δt ⋅ 2[(Wu + Wш1 )][(Wv + Wш2 )]( Nτ / 2 ) −1∑Н ( МδМ )42.(2.13)М = − Nτ / 2При АЧХ фильтра H (ω ) имеющий прямоугольный вид отношение С/Ш равно:2qвых δФ∆q ⋅ δtNτ 2  δМ∆M ⋅ ∆pO δt Wuv2 Сн2 sin c 2  sin c 22==[(Wu + Wш1 )][(Wv + Wш2 )] ⋅ Сн δФ∆q ⋅ δtNτ= ρ 2Сн sin c 2 22  δМ∆M ⋅ ∆pO δt  sin c 2аналогично в непрерывной форме: ∆Ф Т  ∆ω∆τ 2qвых= ρ 2Сн sin c 2  q r  sin c 2 . 2  2 В случаи если АЧХ фильтра H (ω ) имеет гауссовский вид:(2.14)6822qвых=221 2 2δФ∆q ⋅ δtNτ   (δМ∆M ) ⋅ (∆pOδt )  πСн Wuv sin c 2 exp− 4216 ln 2  ln 2π[(Wu + Wш )][(Wv + Wш )] ⋅ Сн8 ln 22 (δМ∆M ) ⋅ (∆p δt ) 2 22  δФ∆q ⋅ δtNτ = ρ Сн sin c  ⋅ Кф exp−28 ln 2 1=2Oаналогично в непрерывной форме:qгде2вых ( ∆ω∆τ ) 2  ∆ФqТ r = ρ Сн sin c  exp − ⋅ Кф .8 ln 2  2 22Wuv2=ρ =[(Wu + Wш1 )][(Wv + Wш2 )]  Wш11 +Wu21 Wш21 +Wv(2.15)qвх2 1qвх2 2= (1 + qвх2 1 )(1 + qвх2 2 )−квадраткоэффициента корреляции входного процесса; Кф – коэффициент формы, длягауссовой аппроксимации Кф=1,5; qвх2 1 , qвх2 2 – отношение С/Ш по мощности навходах приёмных каналов.Анализ полученных выражений (2.13), (2.14) и (2.15) показывает, чтоотношение С/Ш по мощности на выходе КВК прямо пропорциональнокоэффициенту накопления, квадрату коэффициента корреляции (при слабомотношенииС/Шнавходе),коэффициентупотерьвозникающихиз-заневыравненности по разности хода и различия доплеровских частот полезногосигнала на входе приёмных каналов и коэффициенту формы (в случае, когда АЧХприёмных трактов отлична от прямоугольной).Для проверки полученных выражений (2.14), (2.15) была разработанаматематическая модель (S–модель) корреляционной обработки и проведеномоделирование в среде Matlab с применением пакета Simulink, с накоплениемдостаточной статистики при Nτ=1024 и полосой сигнала ∆f=5 МГц.

ПрименялсяКИХ фильтр с гауссовской характеристикой и БИХ фильтр с оконной функцииЧебышева. Результаты моделирования показали, что отношение С/Ш помощности на выходе КВК соответствует аналитическому выражению (2.13). Нарисунке 2.4 показаны потери в отношении С/Ш при АЧХ приёмного тракта69гауссовского вида к отношению С/Ш при АЧХ приёмного тракта прямоугольноговида, при изменении величины ошибки разности хода Δτ. Из рисунка 2.4 следует,что отношение С/Ш на выходе КВК при АЧХ приёмного тракта гауссовскоговида больше в 1,2…1,5 раза, чем отношение С/Ш при АЧХ прямоугольного вида.С увеличением ошибки (расстройки) отношение С/Ш на выходе КВКуменьшается.

Это связано с тем, что АЧХ гауссовского вида имеет большуюплощадь, чем АЧХ прямоугольного вида и при корреляции сигналов возрастаетуровень амплитуды КФ.Рисунок 2.4 – Зависимость потерь в отношении С/Ш по мощности2.4. Потенциальная точность измерения предложенным способом разностихода и разности доплеровского сдвига сигналовПотенциальная точность измерения τ З – разность хода между сигналамиU(t) и V(t) (при ∆τ → 0 ) и ∆Фq – разность доплеровской частоты двух сигналов,определяется при помощи неравенства Крамера-Рао [49], которая даёт нижнюю∧границу дисперсии несмещённой оценки неизвестного параметра θ: D(θ ) ≥1,I n (θ )где I n (θ ) – информация по Фишеру, содержащаяся в выборке наблюдений70x = x1 , x2 ...xn : ∂ ln Lx (θ )  2  ∂ 2 ln Lx (θ )  ;I n (θ ) = E   = − E 2θ∂θ∂ Lx (θ )–функцияправдоподобия Lx (θ ) = L(θ ; x1 , x2 ...

xn ) ; n – размер выборки измерений.Рассмотрим огибающую КФ во временной области на выходе КВК (рисунок2.5) ограниченную пятью дискретными отсчётами при условии, что δt = 0,1 мкс.Запишем выражения для среднего значения в общем виде:A1 (θ ) = A1 ( 2δX + y ); A2 (θ ) = A2 (δX + y ); A3 (θ ) = A3 ( y ); A4 (θ ) = A4 (δX − y );A5 (θ ) = A5 ( 2δX − y );где δX – дискрет (временной или частотный); y – смещение истинного значенияизмеряемого параметра относительно третьего (центрального) дискрета.Пусть параметр θ на выходе коррелятора имеет нормальное распределение снулевым средним, накопление считается когерентным, тогдафункцияправдоподобия имеет вид:11 1 1exp −( x0 − A0 (θ )) 2  ⋅ ... ⋅exp −( xn − An (θ )) 2  =222π σ2π σ 2σ 2σ11nexp ∑ −( xi − Ai (θ )) 2 =22π σ i =0 2σL≅Получим в общем виде информацию по Фишеру:ln Lx (θ ) ≅11−22π σ 2σn∑(xi =0i− Ai (θ )) 2.Рисунок 2.5 – Огибающая КФ во временной области (пунктирная линия- ошибка)71Получим первую производную:∂A1 ( 2δX + y )∂A2 (δX + y ) δδ((2))(())−++−++xAXyxAXy1122∂y∂y1 ∂ ln Lx (θ )∂A3 ( y )∂A4 (δX − y )≅ 2  + ( x3 − A3 ( y ))+ ( x4 − A4 (δX − y ))+.σ∂y∂y∂y∂A5 ( 2δX − y ) + ( x5 − A5 ( 2δX − y ))∂yПолучим вторую производную:2 ∂A ( 2δX + y )  2∂A1 ( 2δX + y ) 1+ − ( x1 − A1 ( 2δX + y ))∂y 2∂y22 +  ∂A2 (δX + y )  − ( x − A (δX + y )) ∂A2 (δX + y ) + 22 ∂y 2∂y221   ∂A3 ( y ) ∂A3 ( y )∂ 2 ln Lx (θ )+≅ − 2  +  − ( x3 − A3 ( y )).22σ   ∂y ∂y∂y22 +  ∂A4 (δX − y )  − ( x − A (δX − y )) ∂A4 (δX − y ) + 44 ∂y 2∂y22  ∂A5 ( 2δX − y ) ∂A5 ( 2δX − y )  − ( x5 − A5 ( 2δX − y )) + y∂y 2∂Оценкапотенциальнойточностиизмеренияразности(2.16)ходаτЗпроизводится с использованием неравенства Крамера-Рао.

Считая, что сигнал водном из каналов скомпенсирован с точностью до величины дискрета δt ( ∆τ = y ),разность доплеровских частот ∆Фq =0 (2.5) и полоса сигнала ∆f / 2 (δt = 1 / ∆f ) .Если АЧХ фильтраH (ω )имеет гауссовский вид, в непрерывной формеполучаем: ( 2π ) 2 ( ∆f 2 ( nδt ± y ) 2 )  ( 2π ) 2 ( n 2 ± 2 yn∆f + ∆f 2 y 2 ) Аi ( ∆τ ) = К exp − = К exp −.16 ln 216 ln 212где K = Wuv Cнπln 2; n – номер отсчёта δt∙n, n=0; 1; 2.Получим первую производную:72 ( 2π ) 2 ( n 2 ± 2 yn∆f + ∆f 2 y 2 )   8π 2 ( y∆f ± n ) ∂Аi ( ∆τ )≅ К exp − ⋅ −.∂y16 ln 2  δt 16 ln 2 Считая ошибку (расстройку) y =δtZ, Z=2;4 получаем:2n 1  2n 1 π 2  n 2 ± + 2    π 4  n 2 ± + 2   ∂Аi ( ∆τ ) Z Z  1Z Z 2.⋅ 2 ∂y  ≅ К exp −22ln2δt(2ln2) 22 ∂Аi (∆τ )  , ∂y После соответствующей постановки Аi = xi , выражения (2.12) в(2.16) и взятие математического ожидания получим I ( ∆τ ) :2n 1  2 2πn++Z Z 2    2 2n 1  exp −+ 2 +⋅n +2ln2ZZ  1n22 π  n + Z + Z 2    ⋅ n 2 + n + 1  + + exp −  2 ln 2Z Z2    π2  Z 2  1ππ4 exp+−⋅+228 ln 2 2(ln 2)  2 ln 2  Zn 1 2 2nπ−+Z Z 2    2 n 1   ⋅  n − + 2  + + exp −Z Z 2 ln 2 2n 1  2 2π n − + 2 n21ZZ + exp −  ⋅ n2 −+ 2   Z Z 2 ln 2 I ( ∆τ ) ≅ ρ 2Сн1δt 2Получаемпотенциальнуюточностьошибки) определения разности хода τз:(среднеквадратическоеσ ( ∆τ )1≅.δtI ( ∆τ )значение73Рассмотрим конкретный пример и возьмём исходные данные (раздел 1.1.2).Когерентное накопление будем производить на интервале Tχ .