Курс лекций по Физике наноразмерных систем, страница 15

Òîê èäåò îò èñòî÷íèêà (Source) ê ñòîêó(Drain) çàðÿäà.(Gate)Vg > 0Ñ ïîìîùüþ íàïðÿæåíèÿ çàòâîðàÐèñ. 12.5.ðåãóëèðóåòñÿ ïîòåíöèàë êâàíòîâîéòî÷êè.Ìåæäó ýëåêòðîäàìè è êâàíòîâîé òî÷êîé èìåþòñÿ ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû. Ïðîõîæäåíèå ýëåêòðîíîâ ÷åðåç êâàíòîâóþ òî÷êó ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå òóííåëèðîâàíèÿ.Äëÿ ðåàëüíûõ êâàíòîâûõ òî÷åê êîýôôèöèåíò ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðîâ ìàë,ïîýòîìó êâàíòîâûå òî÷êè ñëàáî ñâÿçàíû ñ îêðóæåíèåì è èõ õàðàêòåðèñòèêè ìîæíîâû÷èñëÿòü êàê äëÿ èçîëèðîâàííîé ñèñòåìû.Ïðåäïîëîæèì, ÷òîT = 0.1Áóäåì îïèñûâàòü ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â êâàíòîâîéòî÷êå ìîäåëüþ îáîëî÷åê , ââîäÿ îäíîýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå çàïîëíÿþòñÿýëåêòðîíàìè ñ ó÷åòîì ïðèíöèïà Ïàóëè.

Ñèòóàöèÿ ñõåìàòè÷íî ïîêàçàíà íà Ðèñ. 12.6.ßñíî, ÷òî ïðè ìàëîì íàïðÿæåíèèVsd ýëåê-òðîí ìîæåò òóííåëèðîâàòü ëèøü ïðè óñëîâèè, ÷òî óðîâåíü Ôåðìè â ýëåêòðîäàõ áëèçîê ê ýíåðãèè ñâîáîäíîãî îäíîýëåêòðîííîãî ñîñòîÿíèÿ â êâàíòîâîé òî÷êå (ðåçî-íàíñíîå òóííåëèðîâàíèå).Ïîñêîëüêóïîëîæåíèå îäíîýëåêòðîííûõ óðîâíåé çà-Vg , ýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîâîäèìîñòü êâàíòîâîé òî÷êè çàâèñèò îò ïîòåíöèàëà çàòâîðàìåòíî îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ íå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ íàïðÿæåíèÿ çàòâîðà.Ïðèâåäåí-íûå âûøå ñîîáðàæåíèÿ ñîõðàíÿþò ñèëó èT ≪∆ε ðàññòîÿíèå ìåæäó îäíîýëåê-ïðè êîíå÷íûõ òåìïåðàòóðàõ, åñëè∆ε,Ðèñ.

12.6.ãäåòðîííûìè óðîâíÿìè.Ýôôåêò ðåçîíàíñíîãî òóííåëèðîâàíèÿ î÷åíü âàæåí, íî, êðîìå íåãî, íóæíî ó÷èòûâàòü êóëîíîâñêóþ ýíåðãèþ ýëåêòðîíîâ, ëîêàëèçîâàííûõ â êâàíòîâîé òî÷êå ïðè2óñòàíîâëåíèè ðàâíîâåñèÿ ñ îêðóæåíèåì .Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òîT =0è â êâàíòîâîé òî÷êå ëîêàëèçîâàíîíîâ. Êâàíòîâàÿ òî÷êà ïðèîáðåòàåò äîïîëíèòåëüíûé çàðÿäòåëüíóþ ýíåðãèþ êâàíòîâîé òî÷êèU (N ) ïðè çàäàííîì VgNQ(N ) = −eN .ýëåêòðîÄîïîëíè-ìîæíî îöåíèòü ïî ôîðìóëåýëåêòðîñòàòèêè:Q2 (N )e2 N 2U (N ) = −Q(N )Vg += −eN Vg +,2C2C(12.1)1 Ýôôåêòèâíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â êâàíòîâîé òî÷êå íåïëîõî îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.2 Ïðè óñòàíîâëåíèè ðàâíîâåñèÿ (åñëè ïîòåíöèàë V ôèêñèðîâàí) íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ýëåêòðîgíîâ ëîêàëèçóåòñÿ â êâàíòîâîé òî÷êå, òàê êàê äîëæåí âûðîâíÿòüñÿ ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàëâî âñåé ñèñòåìå.4ãäåC• ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü êâàíòîâîé òî÷êè.Ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ (12.1) ìîæíî îöåíèòü ÷èñëî ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðî-N0 â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè ïðè çàäàííîì ïîòåíöèàëå çàòâîðà Vg .

Òàê êàêâ ðàâíîâåñèè ïðè T = 0 ýíåðãèÿ U (N ) êàê ôóíêöèÿ N äîëæíà èìåòü ìèíèìóìíîâïðèN = N0 ,òî èç óñëîâèÿdU (N )/dN = 0íàõîäèì, ÷òîîäíàêî, ÷òî ýòà îöåíêà èìååò ñìûñë ëèøü ïðèN0 ≫ 1.N0 ≈ CVg /e.Çàìåòèì, óïðîùåííîé îáîëî÷å÷íîé ìîäåëè êâàíòîâîé òî÷êè ýíåðãèÿ ëîêàëèçîâàííûõýëåêòðîíîâ èìååò âèäE(N ) =N∑εi + U (N ),N(12.2)i=1ãäåU (N )äàåòñÿ ôîðìóëîé (12.1), à ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ñîñòîÿíèÿì, êîòîðûåçàíèìàþò ëîêàëèçîâàííûå ýëåêòðîíû.•Ïîëó÷èì óñëîâèå ðåçîíàíñíîãî òóííåëèðîâàíèÿ äîïîëíèòåëüíîãîN -ãî ýëåêòðî-íà c óðîâíÿ Ôåðìè ýëåêòðîäà â êâàíòîâóþ òî÷êó, åñëè â íåé óæå ëîêàëèçîâàíîN − 1 ýëåêòðîíîâ.Òàê êàê äî è ïîñëå òóííåëèðîâàíèÿ ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ âñåéñèñòåìû èìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå, òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâîEF + E(N − 1) = E(N ).(12.3)Çàìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (12.3) ýëåêòðîí çàòåì ìîæåò ðåçîíàíñíûìîáðàçîì òóííåëèðîâàòü èç êâàíòîâîé òî÷êè íà óðîâåíü Ôåðìè äðóãîãî ýëåêòðîäà.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (12.1) è (12.2), íàõîäèì, ÷òî óñëîâèå (12.3) âûïîëíÿåòñÿ ïðèVg = Vg (N ),ãäåe2eVg (N ) + EF = εN +C()1N−.2(12.4)Vg äîëæíû íàáëþäàòüñÿ ïèìåæäó êîòîðûìè ïðîâîäèìîñòü ïðàêòè÷åñêèÎòñþäà âèäíî, ÷òî ïðè èçìåíåíèè íàïðÿæåíèÿ çàòâîðàêè ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîé òî÷êè,ðàâíà íóëþ.Ýòîò ýôôåêò ïîëó÷èë íàçâàíèå∆Vg = Vg (N + 1) − Vg (N )e ∆Vg = ∆ε +ãäåêóëîíîâñêîé áëîêàäû.Èíòåðâàëìåæäó ñîñåäíèìè ïèêàìè óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþe2,C∆ε = εN +1 − εN(12.5)(12.6) ðàññòîÿíèå ìåæäó îäíîýëåêòðîííûìè óðîâíÿìè â êâàíòîâîé òî÷êå.12.4.Êóëîíîâñêàÿ áëîêàäà: êëàññè÷åñêèéè êâàíòîâûé ðåæèìûÏðè âûâîäå ôîðìóëû (12.5) íå ó÷èòûâàëîñü òåïëîâîå äâèæåíèå ïðè êîíå÷íîé òåìïåðàòóðå, êîòîðîå ñìàçûâàåò ýôôåêò êóëîíîâñêîé áëîêàäû, òàê êàê òóííåëèðîâàíèåìîæåò ïðîèñõîäèòü â áîëüøîå ÷èñëî îäíîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé.

Ìû ðàññìîòðèìäâà òèïè÷íûõ ðåæèìà, õàðàêòåðíûõ äëÿ îòíîñèòåëüíî áîëüøèõ (ìåçîñêîïè÷åñêèõ)ñòðóêòóð (N≫ 1) è êâàíòîâûõ òî÷åê ñ íåáîëüøèì ÷èñëîì ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðî-íîâ.5Êëàññè÷åñêèé ðåæèì êóëîíîâñêîé áëîêàäû. ìåçîñêîïè÷åñêîé òî÷êå ðàññòîÿíèå ìåæäó îäíîýëåêòðîííûìè óðîâíÿìè ∆ε çíàe2 /C , ïîýòîìó â ôîðìóëå (12.5) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ∆ε.÷èòåëüíî ìåíüøå âåëè÷èíûÈíà÷å ãîâîðÿ, êâàíòîâàíèåì ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è ñ÷èòàòü ýëåêòðîííûé ñïåêòð íåïðåðûâíûì.

Õîòÿ äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ â ñàìîé ìåçîñêîïè÷åñêîé2òî÷êå ÿâëÿåòñÿ êâàçèêëàññè÷åñêèì, â îáëàñòè òåìïåðàòóð T ≪ e /C äîëæíû íà-áëþäàòüñÿ ýêâèäèñòàíòíûå ïèêè ïðîâîäèìîñòè ñ èíòåðâàëàìè íàïðÿæåíèÿ çàòâîðà∆Vg = e/C . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, êîíå÷íî, ÷òî ñâÿçü òî÷êè ñ îêðóæåíèåì îñóùåñòâëÿåòñÿòóííåëèðîâàíèåì ýëåêòðîíîâ ÷åðåç ïîãðàíè÷íûå áàðüåðû. Ýòîò âûâîä èëëþñòðèðóåò Ðèñ.

12.7., ãäå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.Ðèñ.12.7. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ïðîâîäèìîñòè ìåçîñêîïè÷åñêîé ñòðóêòóðû,èçîáðàæåííîé íà Ðèñ.íû â åäèíèöàõe2 /h.12.1., ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ.Çíà÷åíèÿ ïðîâîäèìîñòè äà-Âñÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ øêàëà ñîñòàâëÿåò 10 ìB. Íà ðèñóíêå: a) è ñ) îáëàñòè êóëîíîâñêîé áëîêàäû; b) îáëàñòü êîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòè. Âèäíî, ÷òî ïèêèïðîâîäèìîñòè ýêâèäèñòàíòíû.Êâàíòîâûé ðåæèì êóëîíîâñêîé áëîêàäû. ïîëóïðîâîäíèêîâûõ âåðòèêàëüíûõ êâàíòîâûõ òî÷êàõ ìîæíî íàáëþäàòü ÿâëåíèå êóëîíîâñêîé áëîêàäû ñ íåáîëüøèì ÷èñëîì ëîêàëèçîâàííûõ â òî÷êå ýëåêòðîíîâ. òàêèõ òî÷êàõ ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåêòðîííûìè óðîâíÿìèíî ïðåâûøàòü∆εìîæåò çíà÷èòåëü-T.Êâàíòîâûé ðåæèì êóëîíîâñêîé áëîêàäû íàáëþäàåòñÿ â óñëîâèÿõ,2êîãäà âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà T ≪ ∆ε è e /C ≪ ∆ε.•Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî íåðàâåíñòâîe2 /C ≪ ∆εìîæåò âûïîëíÿòüñÿ òîëüêî äëÿ äîñòà-òî÷íî ìàëûõ êâàíòîâûõ òî÷åê. Îáîçíà÷èì ÷åðåçLõàðàêòåðíûé ðàçìåð êâàíòîâîéòî÷êè.

Êàê èçâåñòíî èç ýëåêòðîñòàòèêè, ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà åãî ðàçìåðó.  äàííîì ñëó÷àå ýòî îçíà÷àåò, ÷òîC ∼ L,ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîð-öèîíàëüíîñòè çàâèñèò îò ôîðìû êâàíòîâîé òî÷êè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýíåðãåòè÷åñêèåóðîâíè ýëåêòðîíîâ â êâàíòîâîé òî÷êå (ïîòåíöèàëüíîé ÿìå) îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûLL2 .Î÷åâèäíî, ÷òî è∆ε ∼ L−2 .Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ðàçìåðåïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (12.5) ìîæåò ñòàòü çíà÷èòåëüíî áîëüøåâòîðîãî ñëàãàåìîãî.Íà Ðèñ. 12.8. ïîêàçàíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû äëÿ âåðòèêàëüíûõ êâàíòîâûõ òî÷åê â ãåòåðîñòðóêòóðå íà îñíîâå àðñåíèäà ãàëëèÿ.

 ýêñïåðèìåíòå øèðèíà6Ðèñ. 12.8. Îñöèëëÿöèè òîêà ÷åðåç âåðòèêàëüíóþ êâàíòîâóþ òî÷êó â ãåòåðîñòðóêòóðå, èçîá−3ðàæåííîé íà Ðèñ.êâàíòîâîé òî÷êèN12.3.Èçìåðåíèÿ ïðîâîäèëèñü ïðè òåìïåðàòóðåD ≈ 0, 5 ìêì.T = 10Ê.ÄèàìåòðÍà ðèñóíêå óêàçàíû ÷èñëà ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîíîââ îáëàñòÿõ êóëîíîâñêîé áëîêàäû.

Çíà÷åíèÿN = 2, 6, 12, . . .ñîîòâåòñòâóþò çàïîëíåííûìýëåêòðîííûì îáîëî÷êàì â äâóìåðíîì ïàðàáîëè÷åñêîì ïîòåíöèàëå âíóòðè êâàíòîâîé òî÷êè.ïîòåíöèàëüíîé ÿìû âäîëü âåðòèêàëüíîé îñèz(ñëîé InGaAs íà Ðèñ. 12.3.) ïðèìåðíîâ äåñÿòü ðàç ìåíüøå äèàìåòðà êâàíòîâîé òî÷êè, ïîýòîìó ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ ìîæíîñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ âäîëü îñèzçàìîðîæåíî, ò.å. ýëåêòðîíû çàïîë-íÿþò ñîîòâåòñòâóþùèé îñíîâíîé óðîâåíü.  ïëîñêîñòè(x, y)äâèæåíèå ýëåêòðîíîâïðîèñõîäèò â ñèììåòðè÷íîì ñàìîñîãëàñîâàííîì ïîòåíöèàëå, äëÿ êîòîðîãî õîðîøîðàáîòàåò ìîäåëü èçîòðîïíîãî äâóìåðíîãî îñöèëëÿòîðà. ìàëûõ âåðòèêàëüíûõ òî÷êàõ ÿñíî âûðàæåíû ýëåêòðîííûå îáîëî÷êè.

Ïðè èõçàïîëíåíèè èíòåðâàëû ìåæäó îáëàñòÿìè ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîé òî÷êè óâåëè÷èâàþòñÿ (ñì. Ðèñ. 12.8.).Çàäà÷à 12.1.Âûâåñòè ôîðìóëó äëÿ èíòåðâàëà íàïðÿæåíèÿ íà çàòâîðåäó ñîñåäíèìè ïèêàìè ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîé òî÷êè.7∆Vgìåæ-13.Òðàíñïîðò â íèçêîðàçìåðíûõ ñòðóêòóðàõ.Ýôôåêò Ààðîíîâà-ÁîìàÊàê èçâåñòíî, â äîñòàòî÷íî ñèëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà êâàíòóåòñÿ(óðîâíè Ëàíäàó).

 ýëåêòðîíèêå ïðåäñòàâëÿåò ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ è âëèÿíèå íàäâèæåíèå íîñèòåëåé çàðÿäà ñëàáîãî (íå êâàíòóþùåãî) ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðè íèçêèõòåìïåðàòóðàõ, êîãäà äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ íîñèòåëåé çàðÿäà äîñòàòî÷íî âåëèêà,÷òîáû ïðîÿâëÿëñÿ êâàíòîâûé õàðàêòåð èõ äâèæåíèÿ.

Ïîêàæåì, êàê ó÷åñòü âëèÿíèåñëàáîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ ýëåêòðîíà.13.1.Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà â ñëàáîì ìàãíèòíîì ïîëåÃàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå èìååò âèä1Ĥ =)21 (ˆ⃗ r ) + U (⃗r ) − ⃗µˆ · B(⃗⃗ r ).p⃗ + eA(⃗2me(13.1)Çäåñü U (⃗r ) ïðîèçâîëüíîå ïîòåíöèàëüíîå ïîëå2. Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (13.1) âëèÿåò òîëüêî íà ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà, êîòîðîå íàñ â äàííîì ñëó÷àå íå èíòåðåñóåò. Ïîýòîìó ýòî ñëàãàåìîå ìû îïóñòèì è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿýëåêòðîíà çàâèñèò òîëüêî îò åãî êîîðäèíàò.Çàïèøåì ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà â âèäå ñóììûĤ = Ĥ0 + Ŵãäå îïåðàòîð Ŵ âêëþ÷àåò ÷ëåíû ñ âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì:Ŵ =Âîîáùå ãîâîðÿ,e ( ˆ ⃗ ⃗ ˆ)e2 2p⃗ · A + A · p⃗ +A.2me2me(13.2)⃗ ̸= A⃗ · p⃗ˆ,p⃗ˆ · A⃗ A⃗ ).

Âñïîìèíàÿ,òàê êàê A⃗ çàâèñèò îò êîîðäèíàò äàæå äëÿ îäíîðîäíîãî ïîëÿ (B⃗ = ∇׈⃗÷òî p⃗ = −i~∇, íàõîäèì⃗−A⃗ · p⃗ˆ = −i~ ∇⃗ · A.⃗p⃗ˆ · AÎäíàêî, âåêòîðíûé ïîòåíöèàë íåîäíîçíà÷åí (êàëèáðîâî÷íàÿ ñèììåòðèÿ). Âñåãäàìîæíî âûáðàòü òàêóþ êàëèáðîâêó, ÷òîáû ∇⃗ · A⃗ = 0.⃗ A⃗ ′ ̸= 0.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà A⃗ ′ èìååì ∇·Êàê èçâåñòíî, ìàãíèòíîå ïîëå B⃗ íå èçìåíèòñÿ åñëè ïåðåéòè ê íîâîìó âåêòîðíîìó ïîòåíöèàëó⃗=A⃗ ′ + ∇f,⃗A(13.3)ãäå f (⃗r) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò. Âûáåðåì åå òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå ∇⃗ · A⃗ = 0.

Âû÷èñëÿÿ äèâåðãåíöèþ îò îáåèõ ÷àñòåé (13.3), ïîëó÷àåì äëÿ f (⃗r )óðàâíåíèå Ïóàññîíà⃗′ .∇2 f = − divA1 Äëÿ ïðîñòîòû ìàãíèòíîå ïîëå áóäåì ñ÷èòàòü ñòàöèîíàðíûì.2  ÷àñòíîñòè, U (⃗r ) ìîæåò âêëþ÷àòü êðèñòàëëè÷åñêîå ïîëå è ýíåðãèþ âî âíåøíèõ ýëåêòðè÷åñêèõïîëÿõ.1Îòìåòèì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ ñòîèò èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò.Òàêèì îáðàçîì, â âûáðàííîé íàìè êàëèáðîâêå p⃗ˆ è A⃗ êîììóòèðóþò.

Çàìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ ñëàáîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïîñëåäíèì ÷ëåíîì â (13.2) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü(îí êâàäðàòè÷åí ïî A⃗ ). Òîãäàe ⃗ ˆŴ ≈A · p⃗(13.4)meÐàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ýëåêòðîíài~•∂Ψ= ĤΨ.∂t ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ïî A⃗ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíàèìååò âèäΨ(⃗r, t) = Ψ0 (⃗r, t) eiθ(⃗r)(13.5)ãäå Ψ0(⃗r, t) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ ãàìèëüòîíèàíîì Ĥ0, à äîïîëíèòåëüíàÿ ôàçà äàåòñÿ ôîðìóëîéÓòâåðæäåíèå:eθ(⃗r) = −~∫⃗r⃗ R)⃗ · dR.⃗A((13.6)⃗r0Òî÷êà ⃗r0 ïðîèçâîëüíà, à èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ âäîëü ëþáîé êðèâîé L, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè ⃗r0 è ⃗r.Ïîäñòàâèì ôóíêöèþ (13.5) â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà:Äîêàçàòåëüñòâî:eiθ i~()()∂Ψ0= T̂ Ψ0 eiθ + eiθ U Ψ0 + Ŵ Ψ0 eiθ ,∂t(13.7)ãäå T̂ = p̂2/2me îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Òàê êàê p⃗ˆ = −i~∇⃗ , òî[()( )]()p̂2 Ψ0 eiθ = p⃗ˆ · p⃗ˆ Ψ0 eiθ + i Ψ0 eiθ p⃗ˆ θ =() ( )≈ eiθ p̂2 Ψ0 + 2i eiθ p⃗ˆ Ψ0 · p⃗ˆ θÇäåñü ìû ïðåíåáðåãëè ñëàãàåìûì, êóäà âõîäèò (p̂2θ), òàê êàê îíî ìàëî ïî ñðàâíåíèþñ îñòàâëåííûìè÷ëåíàìè, åñëè ôàçà θ ìàëî ìåíÿåòñÿ íà äëèíå âîëíû äå Áðîéëÿýëåêòðîíà3.