Mol_Phys (В.Г. Морозов, Ю.К. Фетисов - Молекулярная физика), страница 8

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåïëîèçîëèðîâàííàÿ ñèñòåìà ïåðåõîäèò èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ 1 â íåêîòîðîå äðóãîåñîñòîÿíèå 2. Òîãäà, ñóììèðóÿ âñå ýëåìåíòàðíûå ðàáîòû δA, èç (3.22) ïîëó÷àåì(àäèàáàò)(3.23)= U1 − U2 ,A1→2ãäå U1 è U2 íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå çíà÷åíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè. Âûðàæåíèå (3.23)äëÿ ðàáîòû â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ìàêðîñêîïè÷åñêîéñèñòåìû.

Åñëè ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà èäåàëüíûé ãàç, òî(3.24)U = U (T ) = Cv Tè, ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà (3.23) äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðèíèìàåò âèä(àäèàáàò)A1→2= Cv (T1 − T2 )äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà(3.25)(àäèàáàò)Åñëè ãàç ðàñøèðÿåòñÿ, òî A1→2> 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, T2 < T1 . Ïðè ñæàòèè ãàçà(àäèàáàò)A1→2< 0, ïîýòîìó T2 > T1 . Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ðàñøèðåíèè ãàçîõëàæäàåòñÿ, à ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ñæàòèè íàãðåâàåòñÿ.Ïîêàæåì, êàê ìîæíî èç ñîîòíîøåíèÿ (3.22) âûâåñòè çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðûãàçà îò îáúåìà â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå.

Âñïîìèíàÿ ôîðìóëó δA = p dV äëÿ ýëåìåíòàðíîé ðàáîòû è èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (3.24) äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè, çàïèøåì(3.22) â òàêîì âèäå:p dV + Cv dT = 0.(3.26)Äàâëåíèå p ìîæíî èñêëþ÷èòü ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Êëàïåéðîíà-Ìåíäåëååâà. Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî êîëè÷åñòâî ìîëåé ãàçà ν = M/µ ðàâíî åäèíèöå.Òîãäà p = RT /V . Ïîäñòàâèì ýòî âûðàæåíèå â (3.26), ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà Cv T è çàìåíèì îòíîøåíèå R/Cv íà γ − 1 [ýòî ìîæíî ñäåëàòü íà îñíîâàíèèôîðìóëû Ìàéåðà (3.17)].  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå(γ − 1)21 ÝòîòdTdV+= 0,VTòåðìèí îáðàçîâàí èç ãðå÷åñêèõ ñëîâ:bainein(ïðîõîäèòü).29(3.27)a(íå) + dia(ñêâîçü) +êîòîðîå ëåãêî ïðîèíòåãðèðîâàòü, åñëè γ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.

Èíòåãðèðîâàíèåäàåò(γ − 1) ln V + ln T = const,ãäå â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïåðåõîäÿ ê ñòåïåíÿì, íàõîäèì, ÷òî äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññåT V (γ−1) = const.(3.28)Ýòî ñîîòíîøåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì àäèàáàòû èäåàëüíîãî ãàçà â ïåðåìåííûõ T è V . Îíî îïðåäåëÿåò çàêîí, ïî êîòîðîìó èçìåíÿåòñÿ òåìïåðàòóðà òåïëîèçîëèðîâàííîãî ãàçà ïðè èçìåíåíèè åãî îáúåìà.

Íàïðèìåð, äëÿ îäíîàòîìíîãîãàçà γ = 5/3, ïîýòîìó T = Tíà÷ (Víà÷ /V )2/3 , ãäå Tíà÷ è Víà÷ çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðûè îáúåìà â íà÷àëå ïðîöåññà.Èñêëþ÷àÿ â (3.28) òåìïåðàòóðó èëè îáúåì ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ÊëàïåéðîíàÌåíäåëååâà, ëåãêî âûâåñòè óðàâíåíèÿ àäèàáàòû â äðóãèõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, ïîäñòàâëÿÿ T = pV /R, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå àäèàáàòû èäåàëüíîãî ãàçà â ïåðåìåííûõ p -V :p V γ = const.(3.29)Îíî íàçûâàåòñÿ òàêæå óðàâíåíèåì Ïóàññîíà.  ýêñïåðèìåíòå óðàâíåíèå (3.29)îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ γ = Cp /Cv ïî èçìåðåííûì çíà÷åíèÿìäàâëåíèÿ è îáúåìà ïðè àäèàáàòè÷åñêîì ñæàòèè èëè ðàñøèðåíèè ãàçîâ.Óïðàæíåíèÿ3.1.

Âû÷èñëèòü γ äëÿ ãàçîîáðàçíîãî ýòèëåíà (C2 H6 ), èñïîëüçóÿ òåîðåìó îðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû, è ñðàâíèòü ðåçóëüòàò ñýêñïåðèìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì (ñì. òàáëèöó íà ñòð. 26). Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü, ÷òîïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ êîëåáàíèÿ ìîëåêóë â ýòèëåíå íå âîçáóæäåíû?3.2. Âûâåñòè óðàâíåíèå àäèàáàòû èäåàëüíîãî ãàçà â ïåðåìåííûõ p -T .

Îòâåò:p(γ−1) /T γ = const.(3.30)3.3. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü èäåàëüíîãî ãàçà â íåêîòîðîì ïðîöåññå èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó C = α/T , ãäå α ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà. Èñïîëüçóÿ ïåðâûé çàêîíòåðìîäèíàìèêè (3.14), ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå ïàðàìåòðû T è V âýòîì ïðîöåññå èìååò âèäT V (γ−1) eα/Cv T = const.4.Âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêèÂòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè (èëè âòîðîå íà÷àëî òåðìîäèíàìèêè) îòêðûëôðàíöóçñêèé èíæåíåð Ñàäè Êàðíî â 1824 ãîäó22 .  ðàáîòå "Î äâèæóùåé ñèëå îãíÿ22 Èíòåðåñíî,÷òî ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè, ò.å. çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè,áûë îòêðûò Ìàéåðîì, Äæîóëåì è Ãåëüìãîëüöåì çíà÷èòåëüíî ïîçæå.30è î ìàøèíàõ, ñïîñîáíûõ ðàçâèâàòü ýòó ñèëó", àíàëèçèðóÿ ýôôåêòèâíîñòü ïðåâðàùåíèÿ òåïëîòû â ðàáîòó â òåïëîâûõ äâèãàòåëÿõ, Êàðíî äàë âåñüìà ðàñïëûâ÷àòóþôîðìóëèðîâêó âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè, ñóòü êîòîðîé (åñëè ïåðåâåñòè åå íàñîâðåìåííûé ÿçûê) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî èìååòñÿ ïðèíöèïèàëüíîå îãðàíè÷åíèåñâåðõó íà êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ òåïëîâîãî äâèãàòåëÿ, ïðè÷åì ýòî îãðàíè÷åíèå íå çàâèñèò îò óñòðîéñòâà äâèãàòåëÿ.

Òî÷íàÿ ôîðìóëèðîâêà âòîðîãî çàêîíàòåðìîäèíàìèêè áûëà äàíà â 1850 íåìåöêèì ôèçèêîì Ðóäîëüôîì Êëàóçèóñîì èíåçàâèñèìî â 1851 ãîäó øîòëàíäñêèì ôèçèêîì Óèëüÿìîì Òîìñîíîì23 .4.1.Ðàçëè÷íûå ôîðìóëèðîâêè âòîðîãî çàêîíàòåðìîäèíàìèêèÍåäîñòàòî÷íîñòü ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè äëÿ îïèñàíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèõïðîöåññîâ ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü íà ñëåäóþùåì ïðîñòîì ïðèìåðå. Ïðåäñòàâèìñåáå èçîëèðîâàííóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ÷àñòåé (ïîäñèñòåì) 1 è 2, ìåæäóêîòîðûìè åñòü òåïëîâîé êîíòàêò. Åñëè ïîäñèñòåìû íå íàõîäÿòñÿ â ðàâíîâåñèè äðóãñ äðóãîì, ò.å.

èìåþò ðàçëè÷íûå òåìïåðàòóðû T1 è T2 , òî ìåæäó íèìè áóäåò ïðîèñõîäèòü òåïëîîáìåí, ïîêà òåìïåðàòóðû íå ñðàâíÿþòñÿ è âñÿ èçîëèðîâàííàÿ ñèñòåìàíå ïðèäåò â ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè óòâåðæäàåò, ÷òîâ ïðîöåññå òåïëîîáìåíà Q1 = −Q2 , ãäå Q1 è Q2 êîëè÷åñòâà òåïëà, ïîëó÷åííûåïåðâîé è âòîðîé ïîäñèñòåìàìè. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî îïèðàÿñü òîëüêî íå ïåðâûéçàêîí, íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü, êàêàÿ èç âåëè÷èí, Q1 èëè Q2 , áóäåò ïîëîæèòåëüíîé. Äðóãèìè ñëîâàìè, íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü, áóäåò ëè òåïëîòà ïåðåäàâàòüñÿ îòáîëåå íàãðåòîãî òåëà ê ìåíåå íàãðåòîìó òåëó èëè íàîáîðîò.

Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïåðâîãî çàêîíà îáà ñëó÷àÿ âîçìîæíû, ëèøü áû âûïîëíÿëñÿ áàëàíñ ýíåðãèè. Ìåæäóòåì ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òî â îïèñàííîé âûøå ñèòóàöèè ïðîöåññ âñåãäà èäåòòîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè òåïëîòà ïåðåäàåòñÿ îò áîëåå íàãðåòîãî òåëà ê ìåíååíàãðåòîìó24 .Ïðèâåäåì åùå îäèí âàæíûé ïðèìåð ïðîöåññîâ, äëÿ àíàëèçà êîòîðûõ ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè ÿâíî íåäîñòàòî÷íî.

 ãëàâå 2 ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå (2.20)äëÿ êîýôôèöèåíòà ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ òåïëîâûõ äâèãàòåëåé, ðàáîòà êîòîðûõ îñíîâàíà íà öèêëè÷åñêîì ïðîöåññå, ñîâåðøàåìîì ãàçîì èëè êàêèì-ëèáî äðóãèì ðàáî÷èì òåëîì. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè íå çàïðåùàåò ñóùåñòâîâàíèÿ äâèãàòåëåéñ Qõîë = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ η = 1.

 òàêîì äâèãàòåëå, êîòîðûé ïîëó÷èë íàçâàíèåâå÷íîãî äâèãàòåëÿ âòîðîãî ðîäà25 , òåïëîòà, ïîëó÷åííàÿ ðàáî÷èì òåëîì, ïîë23 Âïîñëåäñòâèèçà íàó÷íûå çàñëóãè îí ïîëó÷èë òèòóë ëîðäà Êåëüâèíà.çíàåì, ÷òî åñëè T1 > T2 , òî òåïëîòà ïåðåäàåòñÿ îò ïåðâîé ïîäñèñòåìû êîâòîðîé, îäíàêî ýòî ñâÿçàíî ëèøü ñ ïðèíÿòûì îïðåäåëåíèåì øêàëû òåìïåðàòóð áîëåå íàãðåòîå òåëî èìååò áoëüøóþ òåìïåðàòóðó. Âàæíî, ÷òî ïðîöåññ âñåãäà èäåòòîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè. Çàìåòèì, êñòàòè, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî øêàëà Öåëüñèÿáûëà "ïåðåâåðíóòîé", ò.å. òðîéíîé òî÷êå âîäû ïðèïèñûâàëàñü òåìïåðàòóðà â 100 o ,à òî÷êå êèïåíèÿ 0 o .25 Íàïîìíèì, ÷òî â âå÷íîì äâèãàòåëå ïåðâîãî ðîäà, ó êîòîðîãî η > 1, ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ èç íè÷åãî.

Ñóùåñòâîâàíèå âå÷íîãî äâèãàòåëÿ ïåðâîãî ðîäà îòðèöàåòñÿïåðâûì çàêîíîì òåðìîäèíàìèêè.24 Ìû31íîñòüþ ïðåâðàùàåòñÿ â ðàáîòó èëè, êàê òîæå ãîâîðÿò, ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ çà ñ÷åòîõëàæäåíèÿ îäíîãî èñòî÷íèêà òåïëîòû. Áûëî áû î÷åíü çàìàí÷èâî èìåòü âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ âå÷íîãî äâèãàòåëÿ âòîðîãî ðîäà, òàê êàê â íàøåì ðàñïîðÿæåíèèáûë áû ïðàêòè÷åñêè íåèñ÷åðïàåìûé èñòî÷íèê òåïëîòû îêåàí. Âàæíûé âûâîä,ê êîòîðîìó ïðèøåë Êàðíî, ñîñòîÿë â òîì, ÷òî ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå òåïëîòó íåëüçÿ èçâëå÷ü èç åå èñòî÷íèêà è, ñëåäîâàòåëüíî, âå÷íûé äâèãàòåëü âòîðîãîðîäà íåâîçìîæåí. Çàìåòèì, ÷òî îáðàòíûé ïðîöåññ ïîëíîå ïðåâðàùåíèå ðàáîòû âòåïëîòó âïîëíå âîçìîæíî îñóùåñòâèòü, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ òðåíèÿ.Êàê óæå óïîìèíàëîñü, âòîðîé çàêîí òåðìîäèíàìèêè áûë íåçàâèñèìî ïîñòóëèðîâàí Êëàóçèóñîì è Òîìñîíîì.

Îíè äàëè ðàçëè÷íûå, íî, êàê ïîòîì âûÿñíèëîñü,ýêâèâàëåíòíûå ôîðìóëèðîâêè ýòîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî çàêîíà:íåâîçìîæåí ïðîöåññ, åäèíñòâåííûì ðåçóëüòàòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïåðåäà÷à òåïëîòû îò õîëîäíîãî òåëà ê ãîðÿ÷åìó.•Ôîðìóëèðîâêà Êëàóçèóñà:•Ôîðìóëèðîâêà Òîìñîíà:íåâîçìîæåí öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ, åäèíñòâåííûì ðåçóëüòàòîì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåíèå ðàáîòû çà ñ÷åò îõëàæäåíèÿ îäíîãî òåëà. îáåèõ ôîðìóëèðîâêàõ âàæíîå çíà÷åíèå èìåþò ñëîâà "åäèíñòâåííûì ðåçóëüòàòîì".

Íàïðèìåð, â õîëîäèëüíîé ìàøèíå (ñì. óïðàæíåíèå 2.2.) òåïëîòà ïåðåäàåòñÿîò õîëîäíîãî òåëà ê ãîðÿ÷åìó, íî ýòî íå åäèíñòâåííûé ðåçóëüòàò ïðîöåññà; âíåøíèìè ñèëàìè ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà.Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ïðèâåäåííûå âûøå ôîðìóëèðîâêè âòîðîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ ýòîãî ïîêàæåì, ÷òî èç îòðèöàíèÿ îäíîé ôîðìóëèðîâêèñëåäóåò îòðèöàíèå äðóãîé.Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ïðîöåññ Òîìñîíà âîçìîæåí. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ýòîòïðîöåññ, èçâëå÷åì èç õîëîäíîãî èñòî÷íèêà íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q è ïîëíîñòüþ ïðåâðàòèì åãî â ðàáîòó, íàïðèìåð, ïîäíèìåì ãðóç, íå ïðîèçâîäÿ áîëüøåíèêàêèõ èçìåíåíèé â ñîñòîÿíèè îêðóæàþùèõ òåë.