Mol_Phys (1083894), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïðèìåíÿþòñÿ òàêæå äèàãðàììû p Tè V T . Íà Ðèñ. 3.1 ðàâíîâåñíûé ïðîöåññ èçîáðàæåí â âèäå êðèâîé, ñîåäèíÿþùåéòî÷êè C1 (p1 , V1 ) è C2 (p2 , V2 ). Ýòè òî÷êè õàðàêòåðèçóþò íà÷àëüíîå (1) è êîíå÷íîå (2)ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â ïðîöåññå. Ïðè èñïîëüçîâàíèè äèàãðàììû p V ïðîöåññ äîëæåí áûòü çàäàí ìàòåìàòè÷åñêè óðàâíåíèåì p = p(V ). Ïîïóëÿðíîñòü äèàãðàììûp V îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îíà äàåò íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î ðàáîòå ñèñòåìû.Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñèñòåìû ðàâíàδA = p dV è ãðàôè÷åñêè èçîáðàæàåòñÿïëîùàäüþ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè (íàÐèñ.
3.1 îíà çàøòðèõîâàíà). ßñíî, ÷òîðàáîòà ñèñòåìû â ïðîöåññå 1 → 2 äàåòñÿôîðìóëîépC2p2p1C10V1ZV2dVV2A1→2 =Vp(V ) dV.(3.4)V1Ðèñ. 3.1Íà Ðèñ. 3.1 ðàáîòà ñèñòåìû â ïðîöåññå èçîáðàæàåòñÿ ïëîùàäüþ êðèâîëèíåéíîéòðàïåöèè V1 C1 C2 V2 . Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðàáîòà A1→2 çàâèñèò îò òîãî, êàê èçìåíÿëîñüäàâëåíèå p = p(V ) ïðè ïåðåõîäå ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ (1) â ñîñòîÿíèå (2), ò.å. îòôîðìû êðèâîé C1 C2 .Ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ íàèáîëåå èíòåðåñíû òàê íàçûâàåìûå èçîïðîöåññû, â êîòîðûõ îäèí èç òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ôèêñèðîâàí. Ïðîñòåéøèìè èçîïðîöåññàìè ÿâëÿþòñÿ èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ (V = const), èçîáàðè÷åñêèé ïðîöåññ (p = const), è èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ (T = const).
Èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ ïðîèñõîäèò â ñèñòåìå ñ àáñîëþòíî æåñòêèìè ñòåíêàìè, ôèêñèðóþùèìè îáúåì. ßñíî, ÷òî ðåàëüíûé ïðîöåññ ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èçîõîðè÷åñêèé ëèøü ïðèáëèæåííî, òàê êàê àáñîëþòíî æåñòêèõ ñòåíîê íå áûâàåò. Äëÿðåàëèçàöèè èçîáàðè÷åñêîãî ïðîöåññà ñòåíêè ñèñòåìû (íàïðèìåð, îäíà èç íèõ) äîëæíû áûòü ïîäâèæíûìè; êðîìå òîãî, âíåøíåå äàâëåíèå íà ñòåíêè äîëæíî áûòü çàôèêñèðîâàíî16 . Íàêîíåö, äëÿ ïðîòåêàíèÿ èçîòåðìè÷åñêîãî ïðîöåññà èíòåðåñóþùàÿíàñ ñèñòåìà äîëæíà ïîñòîÿííî íàõîäèòüñÿ â òåïëîâîì êîíòàêòå ñ äðóãîé ñèñòåìîé,òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà çàäàííîìó çíà÷åíèþ T .
Ýòà âíåøíÿÿ ñèñòåìà ñ ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðîé îáû÷íî íàçûâàåòñÿ òåðìîñòàòîì.  ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ðîëüòåðìîñòàòà èãðàåò àòìîñôåðíûé âîçäóõ.16 Ïðèìåðèçîáàðè÷åñêîãî ïðîöåññà ðàñøèðåíèå è ñæàòèå ãàçà, çàêëþ÷åííîãî âñîñóä ñ ïîäâèæíîé ñòåíêîé â âèäå ïîðøíÿ ñ ôèêñèðîâàííîé íàãðóçêîé (ñì. Ðèñ. 1.1).21Ïðèìåíèì îáùóþ ôîðìóëó (3.4) ê âû÷èñëåíèþ ðàáîòû èäåàëüíîãî ãàçà â ðàçëè÷íûõ èçîïðîöåññàõ. Ïðîùå âñåãî îáñòîèò äåëî ñ ðàáîòîé â èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå.Òàê êàê îáúåì ãàçà â ýòîì ïðîöåññå íå èçìåíÿåòñÿ, òî(èçîõîð)A1→2(3.5)= 0.Äëÿ èçîáàðè÷åñêîãî ïðîöåññà p = p1 = p2 â òå÷åíèå âñåãî ïðîöåññà.
Ïîñêîëüêó âôîðìóëå (3.4) p(V ) = const, ïîëó÷àåì ïðîñòîé ðåçóëüòàò(èçîáàð)A1→2= p (V2 − V1 ) .(3.6)×óòü ñëîæíåå âû÷èñëÿåòñÿ ðàáîòà ãàçà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå, òàê â ýòîì ïðîöåññå ñ óâåëè÷åíèåì îáúåìà ãàçà åãî äàâëåíèå óìåíüøàåòñÿ. Çàâèñèìîñòü p(V ) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ (3.2), ãäå T = const. Ïîýòîìó(èçîòåðì)A1→2MRT=µZV2dV.VV1Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà íàõîäèì(èçîòåðì)A1→2=MVRT ln 2 .µV1(3.7)Êàê ñëåäóåò èç (3.2), äàâëåíèå è îáúåì èäåàëüíîãî ãàçà â èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññåóäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ pV = const (çàêîí Áîéëÿ-Ìàðèîòòà), ïîýòîìó (V2 /V1 ) =(p1 /p2 ).
Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî (3.7) ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ è òàêîé ôîðìóëîé äëÿðàáîòû:Mp(èçîòåðì)A1→2=RT ln 1 .(3.8)µp2Ïîñêîëüêó âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà çàâèñèò òîëüêî îò òåìïåðàòóðû, òîâ èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññå U = const. Òîãäà èç ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêèñëåäóåò, ÷òîVM(èçîòåðì)(èçîòåðì)RT ln 2 ,(3.9)Q1→2= A1→2=µV1ò.å. âñÿ ïåðåäàâàåìàÿ ãàçó òåïëîòà ðàñõîäóåòñÿ íà ñîâåðøåíèå èì ðàáîòû ïðîòèââíåøíèõ ñèë. ßñíî, ÷òî â èçîõîðè÷åñêîì è èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññàõ ÷àñòü òåïëîòû ïåðåõîäèò âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ãàçà, òàê êàê â ýòèõ ïðîöåññàõ òåìïåðàòóðàèçìåíÿåòñÿ.3.2.Ïîíÿòèå òåïëîåìêîñòèÊîëè÷åñòâî òåïëà, ïðè ïîëó÷åíèè êîòîðîãî òåìïåðàòóðà òåëà ïîâûøàåòñÿ íà åäèíèöó òåìïåðàòóðû, íàçûâàåòñÿ òåïëîåìêîñòüþ.
Îáîçíà÷àåòñÿ òåïëîåìêîñòü îáû÷íî22áóêâîé C . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåëî ïîëó÷èëî áåñêîíå÷íî ìàëîå êîëè÷åñòâî òåïëàδQ è ïðè ýòîì åãî òåìïåðàòóðà èçìåíèëàñü îò T äî T + dT . Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ,òåïëîåìêîñòü òåëà ðàâíàδQ(3.10)C=.dTÂàæíî èìåòü â âèäó, ÷òî òåïëîåìêîñòü òåëà çàâèñèò îò óñëîâèé, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò åãî íàãðåâàíèå. Èíà÷å ãîâîðÿ, òåïëîåìêîñòü çàâèñèò îò òèïà ïðîöåññà, âêîòîðîì òåëî ïîëó÷àåò òåïëîòó. Òåïëîåìêîñòü òåëà íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé,íî â ðàçëè÷íûõ ïðîöåññàõ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå îò 0 äî ∞.Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ (3.10), ëåãêî ñîîáðàçèòü, â êàêîì ïðîöåññå òåëî èìååòíóëåâóþ òåïëîåìêîñòü.
Ýòî àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ, ïðîèñõîäÿùèé â òåïëîèçîëèðîâàííîì òåëå, êîãäà δQ = 0. Çàìåòèì, ÷òî â àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññåòåìïåðàòóðà òåëà ìîæåò èçìåíÿòüñÿ çà ñ÷åò ñîâåðøåíèÿ ðàáîòû. Èòàê, äëÿ ëþáîé ñèñòåìû, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ, C = 0. Âîçìîæåí ëèïðîöåññ, â êîòîðîì òåïëîåìêîñòü òåëà áåñêîíå÷íà? Èç (3.10) âèäíî, ÷òî â òàêîì ïðîöåññå dT = 0, ò.å. T = const. Ìû ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî â èçîòåðìè÷åñêîìïðîöåññå òåïëîåìêîñòü ëþáîé ñèñòåìû áåñêîíå÷íà.Òåïëîåìêîñòü ìîæåò èçìåíÿòüñÿ â õîäå ïðîöåññà, ïîñêîëüêó ìåíÿþòñÿ ïàðàìåòðû ñîñòîÿíèÿ òåëà. Íàïðèìåð, êîëè÷åñòâî òåïëà δQ1 , íåîáõîäèìîå äëÿ íàãðåâàíèÿòåëà îò òåìïåðàòóðû T1 äî òåìïåðàòóðû T1 + dT , ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò êîëè÷åñòâàòåïëà δQ2 , íåîáõîäèìîãî äëÿ íàãðåâàíèÿ òåëà îò òåìïåðàòóðû T2 äî òåìïåðàòóðûT2 + dT .Íàèáîëåå ÷àñòî â òåðìîäèíàìèêå èñïîëüçóþòñÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîìîáúåìå Cv è òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè Cp , êîòîðûå çàïèñûâàþòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì: δQδQ,Cp =.(3.11)Cv =dT VdT pÈíäåêñû V è p â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïîêàçûâàþò, êàêîé èç òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïðè íàãðåâàíèè òåëà.Åñëè â ïðîöåññå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì îáúåì òåëà, òî δA = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,δQ = dU , ò.å.
êîëè÷åñòâî òåïëà, ïîëó÷àåìîå òåëîì, ðàâíî èçìåíåíèþ åãî âíóòðåííåéýíåðãèè. Ïîýòîìó òåïëîåìêîñòü òåëà â èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå ìîæíî çàïèñàòü ââèäå íàñòîÿùåé ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé âíóòðåííåé ýíåðãèè òåëà ïî òåìïåðàòóðå17 :∂UCv =.(3.12)∂T VÒàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäÿ èçìåðåíèÿ Cv ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ òåìïåðàòóðûè îáúåìà, ìîæíî, ñîãëàñíî (3.12), ïîëó÷èòü öåííóþ èíôîðìàöèþ î òîì, êàê èçìåíÿåòñÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ òåëà ñ èçìåíåíèåì òåìïåðàòóðû.
Ôèçè÷åñêèé ñìûñë17 Íàïîìíèì,÷òî â îáùåì ñëó÷àå âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ òåëà çàâèñèò îò åãî òåìïåðàòóðû è îáúåìà, ò.å. U = U (V, T ). Åñëè ôóíêöèÿ f (x, y) çàâèñèò îò äâóõ íåçàâèñèìûõïåðåìåííûõ x è y , òî ñèìâîëîì (∂f /∂x)y îáîçíà÷àåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî x, ïîëó÷àåìàÿ îáû÷íûì ñïîñîáîì, åñëè y ïîñòîÿííà. Àíàëîãè÷íî ñëåäóåò ïîíèìàòü ñèìâîë(∂f /∂y)x .23òåïëîåìêîñòè Cp áîëåå ñëîæíûé, òàê êàê â èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå íå òîëüêî èçìåíÿåòñÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, íî è ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ïðîòèâ âíåøíèõ ñèë ïðèèçìåíåíèè îáúåìà òåëà.Òåïëîåìêîñòü ïðîïîðöèîíàëüíà êîëè÷åñòâó âåùåñòâà â òåëå. Ïîýòîìó äëÿ ñðàâíåíèÿ òåïëîåìêîñòåé ðàçëè÷íûõ âåùåñòâ èñïîëüçóåòñÿ óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü,ò.å.
òåïëîåìêîñòü åäèíèöû ìàññû. Îáû÷íî óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü îáîçíà÷àåòñÿñòðî÷íîé áóêâîé c. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñèñòåìå åäèíèö ÑÈ óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòüèìååò ðàçìåðíîñòü Äæ/êã · ãðàä. Õèìèêè îáû÷íî ïðåäïî÷èòàþò èñïîëüçîâàòü ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü òåïëîåìêîñòü îäíîãî ìîëÿ âåùåñòâà. Ðàçìåðíîñòü ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè Äæ/ìîëü · ãðàä.3.3.Òåïëîåìêîñòü èäåàëüíîãî ãàçà ñëó÷àå èäåàëüíîãî ãàçà òåïëîåìêîñòè Cv è Cp ëåãêî íàõîäÿòñÿ. Äëÿ ïðîñòîòûáóäåì âåçäå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìû èìååì äåëî ñ îäíèì ìîëåì ãàçà18 . Òàê êàê âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà (3.3) íå çàâèñèò îò åãî îáúåìà V , òî èç ñîîòíîøåíèÿ (3.12) ñðàçó ïîëó÷àåì çíà÷åíèå òåïëîåìêîñòè Cv . Äëÿ îäíîãî ìîëÿ îíà ðàâíàCv =iR.2(3.13)Ìû âèäèì, ÷òî òåïëîåìêîñòü èäåàëüíîãî ãàçà â èçîõîðè÷åñêîì ïðîöåññå ïîñòîÿííàè çàâèñèò òîëüêî îò ýôôåêòèâíîãî ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû îäíîé ìîëåêóëû.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ òåïëîåìêîñòè Cp çàïèøåì ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè äëÿáåñêîíå÷íî ìàëîãî èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ãàçà, êîãäà îáúåì èçìåíèëñÿ íà dV è òåìïåðàòóðà èçìåíèëàñü íà dT :δQ = dU + p dV,(3.14)ãäå δQ òåïëîòà, ïîëó÷åííàÿ ãàçîì.
Ìû ñîáèðàåìñÿ ïðèìåíèòü óðàâíåíèå (3.14) êèçîáàðè÷åñêîìó ïðîöåññó, ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî dU è dV èçìåíåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè è îáúåìà ïðè p = const. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3.14) íà dT èó÷òåì, ÷òî (δQ/dT )p , ïî îïðåäåëåíèþ, åñòü òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè.Òîãäà ìû ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ∂V∂U+p.(3.15)Cp =∂T p∂T pÎíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû, òàê êàê âñåãî ëèøü âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Îäíàêî, ÷òîáû âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíûå â ïðàâîé÷àñòè, íóæíî èñïîëüçîâàòü êîíêðåòíûå óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ. Äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî òåìïåðàòóðû, ïîýòîìó â äàííîìñëó÷àå∂U∂U== Cv .(3.16)∂T p∂T V18 Åñëè÷èñëî ìîëåé ðàâíî ν = M/µ, òî òåïëîåìêîñòü ãàçà C ðàâíà C = νCìîëü ,ãäå Cìîëü ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü.24Ïîñëåäíèé ÷ëåí â (3.15) ïðåîáðàçóåì ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (3.2).
Äëÿîäíîãî ìîëÿ ãàçà V = RT /p, ñëåäîâàòåëüíî (∂V /∂T )p = R/p. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (3.15) è ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà (3.16), ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ ìåæäóìîëÿðíûìè òåïëîåìêîñòÿìè èäåàëüíîãî ãàçà(3.17)Cp = Cv + R ,êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìàéåðà. Âñïîìèíàÿ ðåçóëüòàò (3.13) äëÿ Cv , ìûìîæåì çàïèñàòü òåïëîåìêîñòü îäíîãî ìîëÿ èäåàëüíîãî ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè â âèäåi+2R.(3.18)Cp =2Ôîðìóëû (3.13) è (3.18) ïîçâîëÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíî ïðîâåðèòü êëàññè÷åñêóþòåîðèþ òåïëîåìêîñòè, îñíîâàííóþ íà òåîðåìå Áîëüöìàíà î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû îäíîé ìîëåêóëû.  ñëåäóþùåì ïàðàãðàôåáóäåò ïîêàçàíî, ÷òî íàèáîëåå ïðîñòî èçìåðÿåòñÿ îòíîøåíèå òåïëîåìêîñòåéγ=Cp.Cv(3.19)Èç (3.13) è (3.18) ñëåäóåò, ÷òîi+2.(3.20)iÈòàê, êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ òåïëîåìêîñòè ïðåäñêàçûâàåò, ÷òî äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà γíå äîëæíà çàâèñåòü îò òåìïåðàòóðû è îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ýôôåêòèâíûì ÷èñëîìñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóëû. Òàêèì îáðàçîì, èçìåðèâ γ äëÿ äàííîãî ãàçà, ìîæíîîïðåäåëèòü i.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
