Типовой расчет для студентов очного отделения, страница 8

4, 1958вар. 5, 20вар. 7, 22вар. 9, 24вар 11, 26вар. 6, 21вар. 8, 23вар. 10, 25вар. 12, 2759вар. 13, 28вар. 14, 29№ 15, 30ЧАСТЬ 2Математическая статистикаЗадача 2.1.Рассчитать и построить гистограмму относительных частот посгруппированным данным, где ni – частота попадания вариант впромежуток ( xi , xi 1 ]. Найти эмпирическую функцию распределения.Найти выборочную среднюю и несмещенную выборочнуюдисперсию, моду и медиану на основании данного распределения.Найти доверительный интервал для оценки, с надежностью  0.95 , неизвестного математического ожидания генеральнойсовокупности в предположении, что она распределена нормально.Вариант1I( xi , xi 1 ]ni18-102Вариантi( xi , xi 1 ]ni511-5310-121125-109312-1416310-1520414-1610415-2012516-188520-25686023456110-14412-88214-181028-1412318-2212314-2019422-269420-2611526-305526-32101(-6)-(-2)3114-1652(-2)-28216-181232-611318-203046-109420-2215510-144522-24813-571(-4)-2825-7822-81537-91538-142349-117414-2014511-133520-261014-7419-11327-106211-138310-1319313-1511413-167415-179516-194517-1941(-8)-(-6)513-732(-6)-(-4)1027-1173(-4)-(-2)17311-15159101112136171516174(-2)-011415-19852-27519-23712-691(-4)-0326-101220-416310-141834-826414-181348-1214518-228512-1611(-1)-1410-5721-31225-101033-517310-152045-711415-201257-96520-25610-4312-8624-8728-141238-1214314-2024412-167420-2611516-204526-327116-183114-1610218-209216-1817320-2218318-2030422-2410420-2215524-265522-24813-751(-4)-281423232462181920212227-11822-815311-151638-1424415-197414-2014519-234520-26914-7119-11627-107211-139310-1325313-1517413-166415-178516-191517-1951(-8)-(-6)513-752(-6)-(-4)1027-1183(-4)-(-2)17311-15164(-2)-011415-19850-27519-23312-821(-4)-0528-14920-416314-201534-829420-261048-1214526-324512-16612-691(-4)-0426-101220-413310-141834-825414-181348-1214262728293063518-228512-164Задача 2.2.С надежностью 0,95 найти доверительный интервал дляматематического ожидания, если объем выборкиоценкиn=10+N , среднеевыборочное x=10-N, среднее квадратическое отклонение Ϭ=N+1, где N –номер варианта.ЧАСТЬ 3Случайные процессыЗадача 3.1.

Система имеет три состояния. Построить графсостояний системы, написать уравнения Колмогорова и найтистационарное распределение. λij – плотности перехода.№вариантаλ12λ13λ21λ23λ31λ3211123002230101331022041020135001223601302172313008210302911023064103010211100223112012013133121001421020315320210161030231700132118023012193312002021030321320130221030232300123324023023251243002624030127130240281040232900421330031024Задача 3.2. Дана корреляционная функция и математическоеожидание случайного процесса ξ(t).

Найти корреляционнуюфункцию, математическое ожидание и дисперсию случайногопроцесса η(t).65№вариантаKξ(t1,t2)Мξ(t)η(t)1sin3t1 sin3t2e2ttd(ξ(t)+cost)/dt2cos2t1 cos2t2sin3ttt   ( )d  t 5032t13 t23tcostdξ/dt+ e2t4t1 t 2cos5tt3 sin3t ξ(t)+ cost5sin5t1 sin5t2t3tcos t  ( ( )   2 )d063cos5t1 cos5t27t1 t 2 +sint1 sint2t14 t248e3tt5td sin tdtt2 cos4t ξ(t)+ e3ttsin2t  ( )d  e5t095t 5t2 e 1e 2cos3t10t13 t23+ cos3t1 cos3t2etd sin 5tdt112cos3t1 cos3t2e5ttd(ξ(t)+cost)/dt12sin6t1 sin6t2tt 2   ( )d  t 3tsint (ξ(t)+t)t0sin4tcostdξ/dt+ e2tt1 t 2cos4tt2 sin3t ξ(t)+t5sin5t1 sin5t2+ t1 t2t3135t13 t23 +14315t1 t 2tt  ( ( )  cos )d0163cos5t1 cos5t2e2t175 sin7t1 sin7t2t5t2d sin 4tdtt cos2t ξ(t)+ et6618t14 t24+t1 t 2tsin2t ( ( )  e3t)d0195t 5t7 e 1e 2t2205 cos3t1 cos3t2e3t219t1 t2e2tt2d(ξ(t)+sint)/dt22cos2t1 cos2t2cos4tt   ( )d  t 5tsint ξ(t)+costd sin 5tdttt0232t13 t23+ sint1 sint2tcostdξ/dt+ e2t24t1 t 2sin5tt3 ξ(t)+t cost25sin5t1 sin5t2t2tcos t  ( ( )  sin  )d0264cos2t1 cos2t227t1 t 2 +28sint1 sint2t14 t24e3td cos 3tdttt cos4t ξ(t)+ e3tcos4ttsin3tt   ( )d  e 5t0295t 5t2 e 1e 2cos6t30t13 t23+ cos3t1 cos3t2e2ttsint (ξ(t)+t2)t2d sin 5tdtЗадача 3.3.

Найти корреляционную функцию и дисперсиюслучайного процесса ξ(t), если он задан каноническимразложением. Дисперсии случайных величин Dξi = Di.№вариантаξ(t)D1D2D31ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+i ξ3t33312ξ1 e3it + ξ2 e-3it + ξ3t2224673iξ1 sin2t+ ξ2 + ξ3t421543ξ1 t+ ξ2 cos5t+i ξ3t21235ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+2i ξ3t52256ξ1 e4it + ξ2 e-4it + ξ3 cosωt3327ξ1 e3t +5i ξ2 t + ξ32158ξ1 sin2t+ iξ2 cos3t+ ξ3t21239ξ1 e5it + ξ2 t3+ ξ3 sinωt24510ξ1 + ξ2 te2t + 3iξ3cost31211ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+2i ξ3t422312ξ1 e5it + ξ2 e-5it + ξ3t433513iξ1 cos2t+ ξ2 + ξ3t5123144ξ1 t2+ ξ2 sin5t+i ξ3t32115ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+2i ξ3t633716ξ1 e7it + ξ2 e-7it + ξ3 cos2t44117ξ1 e2t +5i ξ2 t5 + ξ323418ξ1 sint+ iξ2 cos4t+ ξ3t332219ξ1 e4it + ξ2 t7+ ξ3 cosωt44220ξ1 + ξ2 te2t + 3iξ3sint23121ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+ie2t44522ξ1 e3it + ξ2 e-3it + ξ3tcost773232iξ1 t+ ξ2 + ξ3t4sint231245ξ1 t3+ ξ2 cos2t+i ξ3t613425ξ1 sinωt+ ξ2 cosωt+3i ξ3t344326ξ1 e4it + ξ2 e-4it + ξ3 tcos8t5536827ξ1 te3t +5i ξ2 t + ξ332528ξ1 sint+ iξ2 cos4t+ ξ3t453129ξ1 e5it +i ξ2 t3+ ξ3 cos2t23430ξ1 + ξ2 te2t + 3iξ3sin2t422Задача 3.4.

Найти одностороннюю S(ω) и двустороннююS (ω) спектральную плотность стационарного случайного процесса*с корреляционной функциейK ( )  Ae t cos t№вариантаΑΒA№вариантаαΒA11111612226111721135141824543111924151322021464122125271422222281212324296212423210162252311142426224124212722113152283211432229312155223031169Задача 3.5.Работа динамической системы описываетсяdd a (t )  b (t ) . На вход системы поступаетуравнениемdtстационарныйK ( )  Ced dtпроцесс C 2eξ(t)2 d .скорреляционнойНайти дисперсию процесса на выходесистемы.№вариантафункциейabCD11411213113451244912531136641373413846129161110431211142112132113452314452215652316342317612370184622191621203122211431221531234332244932253233266233273533284532291631304632ПРИЛОЖЕНИЕТеоретические вопросыТеоретические вопросы по теории вероятностей1. Пространство элементарных событий.

Алгебра событий, свойства,геометрическая интерпретация. Аксиоматическое построение вероятностей.2. Классическая схема: вероятность, свойства. Теорема сложениявероятностей. Задача о выборке.3. Геометрическая схема: вероятность. Задача о встрече.4.Условнаявероятность.Независимостьумножения.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса.событий.Формула716.

Схема Бернулли повторных независимых испытаний. ФормулаБернулли.7. Случайная величина. Функция распределения. Свойства.8. Дискретные случайные величины, их распределения. Производящиефункции, их свойства. Примеры.9. Сумма и произведение дискретных случайных величин, ихраспределения.10. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Егосвойства. Связь с производящей функцией.11.

Дисперсия дискретной случайной величины. Ее свойства. Связь спроизводящей функцией.12.Биномиальноераспределение,егопроизводящаяфункция,математическое ожидание, дисперсия. Задачи, к нему приводящие.13. Геометрическое распределение, его производящая функция,математическое ожидание, дисперсия. Задачи, к нему приводящие.14. Распределение Пуассона, его производящая функция, математическоеожидание, дисперсия. Задачи, к нему приводящие.15. Функция дискретной случайной величины. Математическоеожидание и дисперсия функции дискретной случайной величины.16.

Дискретные случайные векторы. Таблица распределения. Свойствасовместного распределения.17. Функция дискретного случайного вектора. Примеры. Математическоеожидание функции дискретного случайного вектора.18. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения, еесвойства.19. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Еевыражение через характеристическую функцию. Свойства.20. Дисперсия, свойства.

Дисперсия непрерывной случайной величины.Ее выражение через характеристическую функцию.21. Равномерное распределение, его характеристическая функция,72математическое ожидание, дисперсия.22. Показательное распределение, его характеристическая функция,математическое ожидание, дисперсия.23. Нормальное распределение, его характеристическая функция (бездоказательства), математическое ожидание, дисперсия.24. Вероятность попадания в интервал непрерывной случайнойвеличины, ее выражение через функцию Лапласа в случае нормальногораспределенной непрерывной случайной величины.25. Гамма-распределение, его математическое ожидание, дисперсия.Распределение 2 (“хи-квадрат”).26.

Двумерные распределения. Функция совместного распределения.Ее свойства.27. Плотность двумерного распределения. Ее свойства. Связь содномернымираспределениями.Вероятностьпопаданиявобластьнепрерывного случайного вектора.28. Равномерное и нормальное двумерные распределения. Их свойства.29. Функция непрерывной случайной величины. Ее плотностьраспределения. Квадрат стандартной нормальной случайной величины.30. Математическое ожидание и дисперсия функции непрерывнойслучайной величины. Примеры.31. Сумма непрерывных случайных величин.

Свертка плотностей.32. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.33. Характеристические функции случайных величин, их свойства.Выражение числовых характеристик случайных величин с помощьюхарактеристических функций.34. Неравенство Чебышева. Сходимость по вероятности. Законбольших чисел.35. Теорема Чебышева. Устойчивость средних.36. Теорема Бернулли. Устойчивость частот событий.37.

Теорема Ляпунова. Асимптотическая устойчивость.7338. Теорема Муавра-Лапласа и ее следствия.Теоретические вопросы по математической статистике1. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. ТеоремаГливенко.2. Точечные оценки параметров распределения: несмещенность,состоятельность,эффективность.Точечныеоценкиматематическогоожидания и дисперсии. Проверка несмещенности.3. Метод максимального правдоподобия.