Книга - Теория вероятности и математическая статистика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМосковский государственный университетприборостроения и информатикикафедра высшей математикиТеория вероятностей и математическаястатистикаМетодические указания для студентов дневной формы обучения.Москва 2007Составители: д.ф.м.н., проф.

А.В. Манжиров, к.ф.м.н. М.Н. МихинУДК 517.Теория вероятностей и математическая статистика: методические длястудентов дневной формы обучения./МГУПИ.Сост. д.ф.м.н., проф. А.В.Манжиров, к.ф.м.н. М.Н. Михин.Излагаются основные методы решения задач по теории вероятностей иматематической статистике. Приведены примеры решения различных типовзадачПособие предназначено для студентов, обучающихся по дневнойформе обучения. Библиогр: .Рецензент: проф.

Головешкин В.А.ВведениеЦель данного пособия помочь студенту самостоятельно подготовиться к выполнению контрольных работ. При написании пособия авторы не ставили своей целью датьсистематическое изложение теоретического материала. Перед каждой рассматриваемойзадачей дается тот теоретический материал, который необходим для ее решения. Еслистудент ранее овладел необходимым теоретическим материалом, то вводную часть каждой задачи он может опустить и перейти непосредственно к решению задачи. Необходимоотметить, что приведенный теоретический материал достаточно полно охватывает курсуказанного предмета. Авторы надеются, что пособие будет полезно студентам в овладении методами решения основных задач курса теории вероятностей и математической статистики.3Глава 1.

Случайные события и их вероятности§1. События. Действия с событиямиОпределение. Элементарным событием называется простейший неделимый исход некоторого опыта.Элементарные исходы будем обозначать символом ω .Определение. Пространством элементарных исходов называется множество всехэлементарных исходов, которое будем обозначать символом Ω .Рассмотрим несколько примеров.Пример 1. Описать пространство элементарных исходов при подбрасывании монеты. Решение.

Очевидно, что при подбрасывании монеты возможны два элементарных исхода:ω1 — появление «герба»;ω 2 — появление «решки».Таким образом, пространство элементарных исходов содержит два элементаΩ = {ω1 , ω 2 } . zПример 2. Описать пространство элементарных исходов при подбрасывании игрального кубика. Решение. Очевидно, что при подбрасывании игрального кубика элементарнымиисходами является число, выпавших очков, т.е.ω i — выпало ровно i очков; i = 1, 2,3, 4,5, 6 .Таким образом, пространство элементарных исходов содержит шесть элементовΩ = {ω1 , ω 2 ,ω 3 ,ω 4 ,ω 5 ,ω 6 } или Ω = {1, 2 ,3,4 ,5,6}. zПример 3. На отрезке [0,1] случайным образом отмечается точка. Описать пространство элементарных исходов. Решение.

В этом случае результатом является координата x , удовлетворяющаяусловию 0 ≤ x ≤ 1 . Очевидно, что координата x меняется непрерывно, пространство элементарных исходов имеет видΩ = {x , 0 ≤ x ≤ 1}.Пространство элементарных исходов имеет бесконечно много элементов. zОпределение. Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти.Достоверное событие обозначают символом Ω , так как оно состоит из тех же элементарных исходов, что и пространство элементарных исходов. Событие, состоящее в появлении менее 7 очков при бросании игрального кубика, является достоверным.Определение.

Событие называется невозможным, если в результате опыта оно неможет произойти.Невозможное событие обозначают символом ∅ . Событие, состоящее в появлении7 очков при бросании игрального кубика, является невозможным.Определение. События H 1 , H 2 ,..., H n называют несовместными, если при наступлении одного из событий, остальные n − 1 события в данном испытании наступить уже немогут.Так, например, если при бросании игральной кости выпала грань «2», то это означает, что при том же бросании не могла появиться грань «4».4Определение. События H 1 , H 2 ,..., H n образуют полную группу событий, если врезультате опыта, одно из событий обязательно происходит.Например, при однократном бросании игральной кости полная группа попарно несовместимых событий состоит из событийH 1 , H 2 ,..., H 6 ,которые состоят соответственно в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков соответственно.Наряду с элементарными событиями будем рассматривать случайные события.Определение.

Случайным событием A (или просто событием A ) называетсялюбое подмножество множества Ω .Определение. Элементарные события, принадлежащие подмножеству A , называются благоприятствующими событию A .Рассмотрим основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.Определение. Суммой событий A и B называется событие С = A ∪ B = A + B , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B .Элементарными исходами суммы событий A + B являются элементарные исходы,принадлежащие хотя бы одному из событий A и B .Определение.

Произведением событий A и B называется событиеС = A ∩ B = AB , состоящее в совместном (одновременном) наступлении этих событий.Элементарными исходами произведения событий AB являются те элементарныеисходы, которые одновременно принадлежат событиям A и B .Определение. Разностью событий A и B называется событие С = A \ B = A − B ,состоящее в том, что событие A произошло, а событие B не произошло.Элементарными исходами разности событий A \ B являются те элементарные исходы события A , которые не принадлежат событию B .Определение. Событие, состоящее в том, что событие A не происходит, называется противоположным событию A и обозначается A .Элементарными исходами противоположного события A являются те элементарные исходы, которые не принадлежат событию A .Определение.

Событие A влечет событие B ( A является подмножеством множества B ), если из того, что происходит событие A , следует, что происходит событие B ;записывают A ⊆ B .Определение. Если одновременно A ⊆ B и B ⊆ A , то в этом случае события A иB называют равносильными, при этом пишут A = B .Пример 4.

Если A — событие, состоящее в том, что взятое наудачу изделие первого сорта, а B — изделие качественное (не брак), то в том событие A влечет событие B :A ⊆ B.Свойства операций над событиями:ƒ A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A (коммутативность);ƒ ( A ∪ B ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ (B ∩ C ) , ( A ∩ B ) ∪ C = ( A ∪ C ) ∩ (B ∪ C ) (дистрибутивность);ƒ ( A ∪ B ) ∪ С = A ∪ (B ∪ C ) , ( A ∩ B ) ∩ С = A ∩ (B ∩ C ) (ассоциативность);ƒ A∪ A = A, A∩ A = A;ƒ A∪ Ω = Ω, A∩ Ω = A;ƒA∪ A = Ω, A∩ A = ∅ ;ƒƒ∅ = Ω, Ω = ∅, A = A;A\ B = A ∩ B ;ƒA ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B (законы де Моргана).5§2. Общее определение и свойства вероятностиОпределение.

Вероятностью P ( A) события A называется функция, определеннаяна пространстве элементарных исходов и удовлетворяющая трем условиям:ƒ Для каждого события AP ( A) ≥ 0 (условие неотрицательности);ƒ Для достоверного события ΩP(Ω ) = 1 (условие нормировки);ƒ Если B ∩ C = ∅ , тоP(B ∪ C ) = P(B ) + P(C ) (теорема сложения для несовместных событий).Свойства вероятности:1. Вероятность события A , противоположного событию A , равнаP A = 1 − P ( A) .Доказательство. Используем очевидное свойство суммы противоположных событий A ∪ A = Ω . Тогда, используя условие нормировки и теорему сложения для несовместных событий, получим:1 = P(Ω ) = P A ∪ A = P( A) + P A ,Из двух последнего равенства следует, чтоP A = 1− P A .

„()(())()()2. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.P(∅ ) = 0 .Доказательство. Используем очевидное свойство Ω = Ω + ∅ и теорему сложениядля несовместных событий, получим:P (Ω ) = P(Ω + ∅ ) = P(Ω ) + P(∅ ) ,откуда и следует данное свойство. „3. Если событие A влечёт за собой событие B ( A ⊆ B ) , тоP ( A) ≤ P (B ) .Доказательство.

Представим событие B в виде суммы двух несовместных событий B = A + AB , A ∩ A ∩ B = ∅ .Используя теорему сложения для несовместных событий, получим:P(B ) = P A ∪ A ∩ B = P( A) + P AB ≥ P( A) . „()( ())( )4. Для каждого события A , справедливо неравенство0 ≤ P ( A) ≤ 1 .Доказательство.

Данное свойство следует из условий нормировки и теоремы сложения для несовместных событий. „6ГЛАВА 2. Классическая и геометрическая вероятности§1. Классическое определение вероятностиВернемся к монете. Пространство элементных исходов Ω содержит два элементарных исхода:ω1 — появление «герба»;ω 2 — появление «решки».В силу того, что монета симметрична, нельзя предпочесть «герб» «решке» (или наоборот). Следовательно, обоим элементарным исходам необходимо сопоставить одинаковую вероятность P (ω1 ) = P(ω 2 ) .

Далее очевидно, что1 = P (Ω) = P (ω1 + ω 2 ) = P (ω1 ) + P (ω 2 ) .Откуда получаем:1P(ω1 ) = P(ω2 ) = .2Рассмотрим общий случай. Пусть пространство Ω состоит из n всевозможныхравнозначных исходов ω1 ,…ω n . Теперь каждому элементарному исходу ω i (i = 1, n) поста1вим в соответствие вероятность P(ωi ) = .nДалее рассмотрим некоторое событие A , которому соответствует ровно m (благоприятных) элементарных исходов ω .Положимm(2.1.1)P ( A) = .nТаким образом, в классической схеме вероятность любого события A определяетсякак отношение числа m благоприятных для события A элементарных исходов к общемучислу элементарных исходов n .Пример 1.