Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола)

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ( AK3.R5S.RU )Глава I. Векторная алгебра.§1. Векторы в пространстве. Основные определения.Определение 1. Вектором в пространстве называется направленный отрезок.Таким образом, векторы в отличие от скалярных величин имеют две характеристики: длину инаправление. Будем обозначать векторы символами a , AB , или а.(Здесь А и В – начало и конец данного вектора (рис.1))аВДлина вектора обозначается символом модуля: a .Арис.1Различают три вида векторов, задаваемых отношением равенства между ними:1.

Закрепленные векторы называются равными, если у них совпадают начала и концысоответственно. Примером такого вектора является вектор силы.2. Скользящие векторы называются равными, если они расположены на одной прямой, имеютодинаковые длины и направления. Примером таких векторов является вектор скорости.3. Свободные или геометрические векторы считаются равными, если они могут быть совмещеныс помощью параллельного переноса.В курсе аналитической геометрии рассматриваются только свободные векторы.Определение 2. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором, или ноль –вектором.Очевидно, начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор не имеет определенногонаправления или имеет любое направление.Определение 3. Два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых называютсяколлинеарными (рис.2).

Обозначают: a b .abНулевой вектор можно считать коллинеарным любому.рис.2Определение 4. Два коллинеарных и одинаково направленных вектора называютсясонаправленными. Обозначают: a  b .Теперь можно дать строгое определение равенства свободных векторов:Определение 5. Два свободных вектора называются равными, если они сонаправлены и имеютодинаковую длину.Определение 6. Три вектора, лежащих в одной или параллельных плоскостях называютсякомпланарными.Два перпендикулярных вектора называют взаимно ортогональными: a  b .Нулевой вектор можно считать ортогональным любому.Определение 7.

Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.Орт, сонаправленный ненулевому вектору а называют ортом вектора а : ea .§2. Линейные операции над векторами.На множестве векторов определены линейные операции: сложение векторов и умножение вектора начисло.I. Сложение векторов.Суммой 2 – х векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец сконцом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого.Легко видеть, что сумма двух векторов, определеннаятаким образом (рис.3а), совпадает с суммой векторов,построенной по правилу параллелограмма (рис.6).bОднако, данное правило позволяет строитьaсумму любого числа векторов (рис.3б).a+bрис.3аaba+b+cрис.3бc1II.

Умножение вектора на число.Произведением вектора а на число   называется вектор,aдлина которого равна   a , сонаправленный вектору а при λ > 0-0.7aи противоположно направленный при λ < 0.рис.4Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению:Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор c = a − b, который при сложениис вектором b дает вектор a : b + c = a (рис.5).Из рис.5 следует, что строить вектор разности удобнее, поместивba−bначала векторов a и b в общую точку.Очевидно следующее равенство: a + (−1)a = a − a = 0.a(Строгое доказательство предоставляется читателям)рис.5Замечание. Ноль в правой части последнего равенства есть нулевой вектор, а не число.Равенство (−1)b = −b дает еще один способ построения разности векторов: а−b = a+(−b). Т.е.

привычислении разности можно у вычитаемого вектора изменить направление на противоположное ипостроить сумму полученных векторов.Свойства линейных операций.1. Переместительное свойство сложения (коммутативность).a + b = b + a. {рис.6}2. Сочетательное свойство сложения (ассоциативность).(a + b) + c = a + (b + c). {рис.7}3. Дистрибутивность умноженияа) (λ+μ)а = λа + μа. {Очевидно}б) λ(a+b) = λa + λb.

{Следует из подобия (рис.8)}4. λ(μа) = (λμ)а . {Очевидно }cbba+b = b+aa+baaрис.6λbb+cb(a+b)+c=a+(b+c)рис.7λ(a+b)a+baλaрис.8§3. Проекция вектора на ось.Определение 1. Осью называется прямая, на которой задано положительное направление.Числовой осью называют ось, на которой заданы начало отсчета и масштаб (единичный отрезок).Все точки числовой оси находятся во взаимно – однозначном соответствии с множествомдействительных чисел. Началу отсчета, естественно, ставится в соответствие число 0.Соответствующие точкам числа являются координатами точек относительно этой числовой оси.Рассматривая некоторую ось u (не числовую), будем предполагать (по умолчанию) наличие единогомасштаба во всем пространстве, содержащем эту ось.Определение 2.

Величиной отрезка [АВ]  u (обозначается АВ) называется число, равное длине этогоотрезка и взятое со знаком «+», если AB направлен по оси и со знаком «−», если − против, т.е.  AB , AB  uAB    .AB  AB , AB  uА'В'ирис.9Основные свойства величин отрезков (будем считать, что тт.

А, В и С лежат на оси и ):1. АВ = −ВА {Очевидно}2. A, B, C  u  AC  AB  BC.{При расположении точек в указанном порядке по направлению оси − равенство очевидно.2Пусть точки расположены иначе, например: В, С, А → ВА = ВС + СА →−АВ = ВС −АС → АС = АВ + ВС. Остальные случаи доказываются аналогично}3. Пусть и – числовая ось, а Аи и Ви − координаты точек А и В на этой оси. ТогдаАВ = Ви − Аи . {Очевидно}Рассмотрим теперь произвольный вектор AB и осьu (рис.9).Определение 3. Ортогональной проекцией вектора AB на ось и называется величина отрезка А'В',где А' и В' − ортогональные проекции точек А и В на эту ось (рис.9).При AB = А'В' .Из определения сразу следует, что проекция вектора на ось есть число.Если начало вектора поместить на ось и угол между вектором и осью обозначить через φ, то длявычисления проекции имеем очевидное соотношение: При AB = AB cos  .

При этом необходимоучитывать, что угол φ отсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против часовойстрелки. Если еи − орт, сонаправленный оси и, то в частном случае . AB u  AB  Прu AB  euаЗмечание. Можно рассматривать и не ортогональные проекции вектора на ось. Для этого следуетпровести из концов вектора параллельные прямые, не перпендикулярные оси до пересечения с ней.Все основные свойства ортогональных проекций будут выполняться.

Однако, в дальнейшем, поумолчанию, все проекции мы будем считать ортогональными.Линейные свойства проекций.I. Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этоговектора: Прu (a)   Прua.{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: λ > 0 и λ < 0}II. Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов: Прu (a  b)  Прu a  Прub.{Для доказательства следует использовать св.2 величин отрезков}Определение 3. Линейной комбинацией векторов а1,…,ап называется сумма следующего вида:n1a1  2a2    n an   i ai , где все i  коэффициенты линейной комбинации.i 1(В общем случае, аi − элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать надействительные числа)Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать однойnni 1i 1формулой: Прu  i ai   i Прu ai : проекция линейной комбинации векторов равна линейнойкомбинации проекций.§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.Определение 1.

Система векторов {a1,…,an} называется линейно зависимой, если найдутсякоэффициенты λ1,…,λn не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.n 1 ,, n   i ai  012 n2 0i 1Определение 2. Система векторов {a1,…,an} называется линейно независимой, если ее линейнаяnкомбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:  1 ,, n   i ai  0 .12 n2 0i 1Имеют место несколько простых утверждений.Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторы а1,…,an – линейнозависимы  когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.n{1.(необходимость: {ak} – л.з. ): ai 1i i 0.

Пусть, для определенности, 1  0 n  a1    i   ai , т.е. а1 − линейная комбинация остальных.i  2  1 32.(достаточность: am – л.к.): am ni 1,i mni ai   i ai  0, m  1  0  система лин. зав.}i 1Теорема 2. Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.{0a1 + … + 0an-1 + 1  0  0; 1  0 }Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.{ 1a1    mam  0am1    0an  0, 12    m2  0 }Примеры.1) a, b  лин.зав.  a  b  a  b  b  a . 2) a, b, c  лин.зав.  они компланарны.Отсюда следует, что три вектора на плоскости всегда линейно зависимы.3) Четыре вектора в пространстве всегда линейно зависимы.4) {f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 } – линейно независимы.