Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола), страница 5

Приравняемполученную пропорцию к новой переменной и выразим через нее переменные x, y и z: x  x0  ptx  x0 y  y0 z  z0 t   y  y0  qt ;    t   pqr z  z  rt0x 1 y z  2Пример. Найти точку пересечения прямойс плоскостью x – y +2z – 11 = 0.231{x = 1 + 2t, y = −3t, z = −2 + t → 7t − 14 = 0 → t = 2 → (5, −6, 0) }Уравнение прямой через две точки можно написать, взяв в качестве направляющего вектора векторx  x1y  y1z  z1M 1M 2 :x2  x1 y2  y1 z2  z1(#) В некоторых задачах удобно пользоваться векторным представлением прямой.

В этом случаепрямая задается радиус – вектором (§1) текущей точки прямой.{Положим z = 0. Тогда x =2, y = − 1; l  N 1  N 2  (5,5,15) . Отсюда:tlMM0r ( x(t ), y(t ), z(t ))  r0  t  l;(рис.9)Здесь :r0 − радиус – вектор т. М0l = (p, q, r) − направляющий вектор прямой.rr0рис.9§17. Основные задачи.Две задачи, связанные с прямой были уже рассмотрены на примерах в предыдущем параграфе.Задачи, связанные с вычислением углов между прямыми, прямой и плоскостью, включая условияортогональности и параллельности, решаются с использованием направляющих векторов прямых инормальных векторов плоскостей.

Так, например, синус угла между прямой и плоскостью будет равенмодулю косинусу угла между соответствующими направляющим и нормальным векторами:Ap  Bq  Crsin(l, P)  cos ( l , N ) A2  B 2  C 2 p 2  q 2  r 2Условия ортогональности и параллельности прямой и плоскости записываются следующим образом:A B Cl  P    ; l  P  Ap  Bq  Cr  0  P( M 0 )  0.p q rРассмотрим две прямые с направляющими векторами l1 и l2 и проходящие через точки М1 иМ2 соответственно. Прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. В двухпервых случаях смешанное произведение l1 l2 M1M 2  0. Если же прямые скрещиваются, тоl1 l2 M1M 2  0.

Оба условия являются необходимыми и достаточными. Так как расстояние междускрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых ониl1 l2 M 1M 2лежат, то оно может быть найдено по формуле d(l1 , l2 ) − объем параллелепипедаl1  l2деленный на площадь основания.x  5 y  5 z 1и x  6t  9, y  2t, z  t  2. ?322Если они пересекаются – найти общую точку. Если нет – расстояние между ними.Пример. Как расположены прямые15{ l1  (3,2, 2), l2  (6, 2, 1), M1M 2  (14,5,1); l1 l2 M1M 2  147  прямые скрещиваются.147 7.

}l1  l2  (6, 9, 18); l1  l2  3 4  9  36  21; d 21§18. Поверхности в пространстве.Общая постановка задач в пространстве была дана в §12. Рассмотрим сейчас несколькоспециальных задач.I.Цилиндрические поверхности.Рассмотрим уравнение с двумя переменными в пространстве : F(x,y) = 0. На плоскости XOYоно описывает некоторую кривую. В пространстве каждой точке (x*,y*) этой кривой будетсоответствовать прямая x  x* , y  y* , z  t , т.е. прямая, проходящая через точку (x*,y*,0) ипараллельная оси OZ. Поверхность, образованная множеством всех таких прямых, называетсяцилиндром с направляющей F(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ.Аналогично рассматриваются цилиндры, образующие которых параллельны другимкоординатным осям: F(x, z) = 0 и F(y, z) = 0.Замечание. Естественно, существуют наклонные цилиндры, в уравнения которых входят всепеременные в явном виде.

Однако, должен существовать такой поворот системы координат, послекоторого одна из переменных будет отсутствовать в записи уравнения.Примеры. 1) x 2  y 2  r 2 − прямой круговой цилиндр радиуса r и осью OZ.x2 z22)  1 − эллиптический цилиндр с образующей, параллельной оси OY.4 93) у2 = 8z − параболический цилиндр с образующей, параллельной оси OХ.§19. Поверхность вращения.В этом параграфе будут рассмотрены поверхности, образованные вращением плоской кривойвокруг одной из координатных осей.

Для определенности, возьмем кривую F(y, z) = 0 в плоскостиYOZ и ось вращения ОZ . Зафиксируем произвольное значение z* и выразим из уравнения F(y,z*) = 0 соответствующее значение у = f(z*). При вращении, в плоскости z = z* получитсяокружностьx2 + y2 = f 2(z*). Уравнение самой поверхности вращения будет иметь вид x2 + y2 = f 2(z) (рис.10).Необходимо отметить, что аналитическое решение уравненияF(y, z*) = 0 относительно у совсем не обязательно, тем более,что оно может быть достаточно трудоемким, либо невозможным.Поэтому, уравнение поверхности вращения в данном случаеzF(y, z) = 0записывается следующим образом: Fx 2  y 2 , z  0.yxрис.10Правило записи уравнения поверхности вращения плоской кривой вокруг координатной оси:Поверхность вращения плоской кривой вокруг координатной оси может быть получена заменойвторой переменной в уравнении кривой на квадратный корень из суммы квадратов этой иотсутствующей переменных (в рассмотренном случае y  y 2  x 2 ).Пример.

Написать уравнения поверхностей, полученных в результате вращения кривой у2 = 6хвокруг осей ОХ и OY.{ SOX : y  y 2  z 2  6 x  y 2  z 2 ;SOY : x  x 2  z 2  y 2  6 x 2  z 2  36 x 2  36z 2  y 4  0 }Замечание. Если в уравнении некоторой поверхности две переменные присутствуют тольков связке как сумма квадратов, то эта поверхность является поверхностью вращения вокругкоординатной оси третьей переменной.16§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.Одной из важнейших задач исследования взаимного расположения двух поверхностей являетсяопределение линии их пересечения.

Формально, линия пересечения записывается как система двух F1 ( x, y, z )  0уравнений с тремя переменными (см. §12 и §16): . Для анализа линии пересечения F2 ( x, y, z )  0исключим в данной системе одну из переменных, например z. В результате получится одноуравнение с двумя неизвестными: f(x,y) = 0, которое можно воспринимать как кривую на плоскостиXOY. Любой точке этой кривой (x*,y*) , будет соответствовать некотороезначение z*, при котором точка (x*,y*, z*) принадлежит линии пересечения поверхностей.Следовательно, прямая параллельная оси OZ, проходящая через точку линии пересеченияповерхностей, на плоскости XOY пересекает кривую f(x,y) = 0.

Множество таких прямыхобразуют цилиндр с направляющей f(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной осиOZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнениепроекции линии пересечения этих поверхностей на координатную плоскость двух оставшихсяпеременных.Пример. Найти проекцию линии пересечения поверхностей x 2  z 2  4 z и x 2  y 2  z 2  0 наy2 1  гипербола. Из уравнения2первой поверхности (круговой цилиндр) следует, что 0  z  4  верхняя ветвь, z  4 }плоскость YOZ. {Исключим х: 2 z 2  4 z  y 2  0  ( z  1)2 §21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.Общий вид алгебраической поверхности второго порядка представляет собой многочлен второйстепени относительно трех переменных:Ax 2  By 2  Cz 2  2Dxy  2Exz  2Fyz  Gx  Hy  Kz  L  0Одним из наиболее продуктивных методов изучения поверхностей в пространстве являетсяметод сечений.

Он заключается в исследовании кривых, получающихся в сечениях поверхностиплоскостями, параллельными координатным. Для этого достаточно зафиксировать одну изпеременных в уравнении поверхности и получить, тем самым, уравнение кривой в плоскости,параллельной двум другим координатным осям. Этот метод будет использован в последующихпараграфах при исследовании поверхностей второго порядка. При этом будут рассматриватьсятолько уравнения, непосредственно сводящиеся к каноническим.§22. Эллипсоид.Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координатопределяется уравнением Ax 2  By 2  Cz 2  L  0 , коэффициенты А, В и С − числа одного знака,а L имеет знак им противоположный.При этих условиях уравнение эллипсоида может быть написано в каноническом виде:x2 y2 z2LLL 2  2  1 где a 2   , b2   , c 2   .2abcABCДля определения формы эллипсоида применим метод сечений.

Пусть z = h фиксировано.x2y2 1 − эллипс сСечение эллипсоида плоскостью z = h будет иметь видh2 h2 22a 1  2  b 1  2  c  c данными полуосями. Отсюда следуют несколько выводов:1) h  c ; при h = c эллипс вырождается в точку.2) Наибольшие полуоси эллипс будет иметь при h = 0.3) Аналогичная картина будет иметь место в сеченияхx = h или y = h.

(рис.11)рис.1117Как и в случае эллипса, числа a, b и c называются полуосями эллипсоида. Если они все разные,то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то мы получимэллипсоид вращения (§19). В случае равенства всех полуосей – имеем сферу: x 2  y 2  z 2  R2 .§23.

Гиперболоиды и конус.Гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координатопределяется уравнением Ax 2  By 2  Cz 2  L  0 , где коэффициенты А, В и С − числа разныхзнаков, а L – отлично от нуля. Для определенности будем считать, что А и В больше нуля, аС – меньше нуля: A > 0, B > 0, C < 0. В зависимости от знака L имеем два типа гиперболоидов.x2 y 2 z2I. L < 0. После стандартных преобразований (§22) получим уравнение: 2  2  2  1 .abcСнова воспользуемся методом сечений.x2y2Плоскости z = h поверхность пересекает по эллипсам 1.h2 h2 22a 1  2  b 1  2 c  c С увеличением h ( или z) полуоси эллипса увеличиваются.

Минимальные полуоси будут приh = 0 , т.е. в плоскости ХОY.В плоскостях x = h (или y = h ) получаются гиперболыy2 h2 b 1  2  a 2z2 h2 c 1  2  a  1 . (рис.12а)2При h < a или h > a (для y − h < b или h > b ) гиперболы ориентированы противоположно.При h = a (h = b) сечениями являются прямые. Это свидетельствует о наличии у однополосногогиперболоида прямолинейных образующих.При a = b имеем гиперболоид вращения.Поверхность, описываемая уравнениемx2 y2 z2  1 называется однополосный гиперболоид.a 2 b2 c 2x2 y2 z2  1 и найти25 16 4прямолинейные образующие, проходящие через эту точку.