Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола), страница 2

{ f n  x n1; n   }5) {sin2x, cos2x, 1} − линейно зависимы.§5. Базис. Координаты. Размерность.Определение 1. Базисом векторного пространства L называется система элементов {e1,, en }  L ,удовлетворяющая двум условиям:1) система {e1,…,en} линейно независима.2) Любой вектор L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинациейnэлементов е1, е2, … , еn): a  L 1 , 2 ,, n   a  i ei .i 1Примеры.

Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3некомпланарных вектора), в пространстве многочленов степени ≤ n : (1,х,х2,…,хn).Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.nnni 1i 1i 1{Пусть a  i ei   i ei   (i  i )ei  0  i i  i }Определение 2. Координатами вектора в некотором базисе называются коэффициенты разложения 1  по этому базису: а = ( 1, 2 ,, n ) или a    .  nЗамечания. 1.

В силу Т.1 данное определение – корректно.2. В качестве стандарта можно рассматривать как векторы – строки , так и векторы – столбцы.3. Координаты базисных векторов е1,е2,е3 (в пространстве) в собственном базисе равны:е1 = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1).Определение 3. Размерностью векторного пространства L (обозначается dimL) называетсямаксимальное число линейно независимых векторов этого пространства.Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.Теорема 2. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов. {б/д}Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числавекторов.Примеры. V2 ; V3 ; Rn; C[a,b].Результаты линейных операций легко вычисляются в координатной форме.Теорема 3.

При сложении векторов их соответствующие координаты складываются:a  b  (1  1,, n  n ) .nnni 1i 1i 1{ a  b  i ei   i ei   (i  i )ei }Теорема 4. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:λа = (λα1,…,λαn).{д – во аналогично}В заключение рассмотрим пример базиса, который используется наиболее часто.Определение 4. Ортонормированным базисом в пространстве называется базис, состоящий из трехвзаимно ортогональных векторов единичной длины (на плоскости – из двух).4аa1 ia3kka2 jjЭти векторы обозначают буквами i, j и k и называютбазисными ортами. Таким образом, выполняются соотношенияi  j  k  1; i  j  k , а произвольный вектор аможет быть представлен в следующем виде (рис.10):a = a1 i + a2 j + a3 k = ( a1, a2, a3 ).iрис.10§6. Скалярное произведение.Определение 1.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равноепроизведению их модулей (длин) на косинус угла между ними: a  b  (a, b)  a  b cos  .Из §3 сразу следует, что скалярное произведение может быть записано в виде:a  b  a  Прa b  b  Прb aСвойства скалярного произведения.1. (a,b) = (b,a) {Следует из коммутативности произведения чисел и четности косинуса}2. (a, b)   (a, b) .3.

(а , b + c) = (a , b) + (a , c) .{Два последних свойства следуют из соответствующих свойств проекций (§3) }4. а  а  a2  a {Очевидно}Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом вектора. Последнеесвойство утверждает, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.Следующая теорема имеет принципиальное значение не только для векторного пространства, но идля любого его обобщения.Теорема (необходимое и достаточное условие ортогональности). Два вектора взаимно ортогональнытогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:a  b  ab  0{Н.( a  b )     / 2    3 / 2  cos   0  a  b  0.Д.( a  b  0 )  cos  0  a  0  b  0  a  b }Указанные свойства позволяют легко вычислять скалярные произведения по известнымхарактеристикам векторов.Пример. Вычислить   (2a  3b)  (a  4b) , если a  3, b  2, (a, b)   / 3.2{   2a2  12b2  5a  b  18  48  15  45 }В действительности, более существенным является обратное утверждение: зная скалярныепроизведения, можно находить как длины векторов, так и углы между векторами:aba  a2 ; cos(a, b) a bОднако, для того, чтобы пользоваться данными формулами, необходимо уметь вычислять скалярноепроизведение, зная только координаты векторов.§7.

Скалярное произведение в координатной форме.Пусть векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе { i, j, k }:a  (a1, a2 , a3 )  a1i  a2 j  a3k и b  (b1, b2 , b3 )  b1i  b2 j  b3k . Умножая скалярно a на b, получимa  b  a1b1i 2  a2b2 j 2  a3b3k 2  (a1b2  a2b1 ) i  j  (a1b3  a3b1 )i  k  (a2b3  a3b2 ) j  k.Для выбранного базиса выполняются соотношения: i 2  j 2  k 2  1, i  j  i  k  j  k  0.

Отсюдаполучаем: a  b  a1b1  a2b2  a3b3 − Скалярное произведение в ортонормированном базисеравно сумме попарных произведений координат.5Таким образом, имеем:a  a12  a22  a32 ; cos(a, b) a1b1  a2b2  a3b3a12  a22  a32 b12  b22  b32Пример. Вычислить длины векторов и косинус угла между ними: a  (2, 2,1) и b  (4,3,0).86 2{ a  9  3; b  25  5; cos   }3  5 15Замечание. В косоугольном базисе формула для выражения скалярного произведения черезкоординаты будет, естественно, отличаться.§8. Направляющие косинусы вектора.Рассмотрим еще одну важную характеристику вектора.Пусть задан ортонормированный базис { i, j, k } и произвольный вектор а .Определение 1. Направляющими косинусами вектора а в данном базисе называются косинусыуглов между вектором а и базисными ортами: cos  , cos  , cos  .

(  (a, i),) .Теорема 1. Направляющие косинусы единичного вектора равны его координатам.{Пусть e  1 e  i  e i cos   cos . В координатах: e  i  e1  1  e2  0  e3  0  e1  e1  cos . }Теорема 2. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице: cos2   cos2   cos2   1.a  i a1 ; Аналогично{Пусть а = (а1,а2,а3).

Обозначим d  a  a12  a22  a32 ; cos  dd222aaaaacos   2 ;cos   3  cos2   cos2   cos2   12  22  32  1. }dddddПример. Найти направляющие косинусы вектора а = (4, −2, 4).4 212{ d  16  4  16  6; cos    , cos    , cos   . }6 333§9. Ориентация базиса в пространстве.Рассмотрим произвольную тройку некомпланарных векторов.Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой , еслиа) кратчайший поворот от первого вектора ко второму, видимый из конца третьего происходит противчасовой стрелки (т.е.

в положительном направлении), или б) по правилу винта, илив) по правилу правой руки. В противном случае − левой. И в том и в другом случае тройка называетсяориентированной.Например, на рис.10 базис { i, j, k } − левый, а тройка {a, b, c} на рис.11 – правая.сОчевидно, что все одинаково ориентированные ортонормированные базисы могутbбыть совмещены друг с другом с помощью параллельного переноса и поворота,aа противоположно ориентированные − только с точностью до коллинеарности.Рис.11Легко проверить, что тройки a b c, c a b и b c a одинаково ориентированы, атройки a c b, b a c и c b a им противоположны. Т.е.

круговая перестановка векторов неменяет ориентацию, а не круговая – меняет.Изменение знака у одного из векторов меняет ориентацию всей тройки.§10. Векторное произведение.Определение. Векторным произведением векторов a и b : [a,b]  a  b называется вектор,удовлетворяющий трем условиям:1. Векторное произведение ортогонально своим составляющим: [a, b]  a и [a, b]  b.2. Длина векторного произведения равна произведению длин векторов на синус угла между ними:a, b  a  b  sin  .3. Тройка векторов a, b, a  b − правая.Свойства векторного произведения.Все свойства векторного произведения можно условно разбить на две группы.I.Алгебраические свойства.1) Антикоммутативность: a  b   b  a .{ Первые два условия определения не зависят6от порядка векторов, но тройки a, b, a  b и b, a, a  b ориентированы противоположно (§9)}2) [(a), b]  [a,(b)]  [a, b] {Доказать самим}3) [(a  b), c ]  [a, c ]  [b, c ]{б/д}II.Геометрические свойства.1) a  b  0  a b − равенство нулю векторного произведения является необходимым идостаточным условием коллинеарности.

{ Доказать самим }2) S  a, b − площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равна модулювекторного произведения этих векторов. {Очевидно}Для вывода координатной формы векторного произведения поступим так же, как и в случаескалярного: a  b  (a1i  a2 j  a3k )(b1i  b2 j  b3k )  (a1b2  a2b1 )k  (a1b3  a3b1 ) j  (a2b3  a3b2 )i .Здесь уже использованы соотношения: i  i  0, i  j   j  i  k и т.д.Легко заметить, что формула векторного произведения может быть записана в виде символическогоij kопределителя: a  b  a1 a2 a3 .b1 b2 b3Пример. Вычислить S∆ABC , если даны тт.

А(1,2,0), В(3,0,−3), С(5,2,6).ij k11{ AB  (2, 2, 3); AC  (3,0,6); S  mod 2 2 3  ( 12, 12,6)  9 }223 0 6§11. Смешанное произведение трех векторов.Определение. Смешанным произведением векторов a,b и c называется число, равное [a, b]  c.Свойства смешанного произведения.1. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этихвекторах: Vпар  [a, b]  c .{ [a, b]  c  [a, b]  Прa b c  S  h  V . Так как a  b  пл(a, b),то модуль проекции с на него равен h }2.