Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола), страница 6
Описание файла
Файл "Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ)" внутри архива находится в папке "Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола". PDF-файл из архива "Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "аналитическая геометрия" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 6 страницы из PDF
{1)1+1−1=1;2) l:x=pt+5,y=qt+4,z=rt+2 p 2 q2 r 2 2 2 p q t r t 0 приравняем коэффициенты нулюПодставим в уравнение: 5 2 25 16 4 и положим r = 1 r 1, p 0, q 2; x 5, y 2t 4, r t 2 и вторая образующаяr 1, p 5/ 2, q 0; x 5/ 2t 5, y 4, r t 2 }Пример. Доказать, что т. (5,4,2) принадлежит гиперболоиду18II. L > 0. В этом случае уравнение будет иметь вид:x2 y2 z2 1 .a 2 b2 c 2x2 y 2 h2 1 , откуда сразу следует ограничение на h и, тем самым, наa 2 b2 c 2величину z: z c .
В сечениях, как и в предыдущем случае будут эллипсы. При z = ±1 эллипсывырождаются в точки (0,0,±1).При x = h или y = h в сечениях опять получатся гиперболы, но в отличие от однополостногогиперболоида не меняющие ориентацию в зависимости от величины h (рис.12б).При a = b получим гиперболоид вращения.При z = h имеемx2 y2 z2 1 называется двуполостным гиперболоидом.a 2 b2 c 2Пусть теперь при тех же ограничениях на А, В и С L = 0. Уравнение примет вид:ПоверхностьII.x2 y2 z2 0a 2 b2 c 2Сечения плоскостями z = h опять будут эллипсами с увеличивающимися полуосями привозрастании модуля z, а в сечениях x = h или y = h − пересекающиеся прямые (рис.12в).Такие поверхности называются коническими или конусами.§24.
Параболоиды.Параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координатопределяется уравнением Ax 2 By 2 Kz 0 , где коэффициенты А, В и K не равны нулю.Возможны два случая: AB > 0 и AB < 0. Для определенности будем считать A > 0, K < 0.x2 y2I.A > 0, B > 0, K < 0. Уравнение приводится к виду z 2 2 .ab22xyВ сечениях z = h (h > 0) получаем эллипсы 2 2 1 , полуоси которых растут с ростом h.ah bh2xy2В сечениях x = h и y = h − параболы z 2 и z 2 (рис.13а).bax2 y2Поверхность z 2 2abназывается эллиптическим параболоидом.zzхyxрис.13аyрис.13бx2 y2II.A > 0, B < 0, K < 0. Уравнение имеет вид: z 2 2 − гиперболический параболоид.abВ сечениях z = h получаются гиперболы, ориентация которых меняется при изменении знака h.В сечениях x = h и y = h − параболы, имеющие противоположное направление ветвей (рис.13б).Позднее, при изучении общих свойств линейных пространств, будет доказано, что никакихдругих поверхностей второго порядка не существует.
Возможны только некоторые частные ивырожденные случаи. Любое уравнение второго порядка от трех переменных приводится к одномуиз рассмотренных типов.19.