AG-05_2009-2010 (1080573)
Текст из файла
Лекция 5Парабола, эллипс, гипербола1. ПАРАБОЛАПарабола — эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy координат имеет уравнение(1)y 2 = 2px.Указанная система координат называется канонической, уравнение (1) — каноническимуравнением параболы.Теорема.Парабола представляет собой множество точек, равноудаленных от данной прямой(директрисы параболы) и данной точки (фокуса параболы), не лежащей на директрисе.◭ Пусть парабола задана уравнением (1) Имеем: r2 2p 2ppp2x−− x−⇐⇒ x + =+ y2,y = 2px = x +2222т.е.
точка (x, y) параболы равноудалена от прямой x = −p/2 и точки (p/2, 0), котораяявляется фокусом параболы, поскольку при x = p/2 имеем y 2 = p2 .Обратно, рассмотрим прямую x = −p/2 и точку F (p/2, 0). Точка M (x, y) удалена отpуказанной прямой на расстояние |x+p/2|, а от точки F — на расстояние (x − p/2)2 + y 2 .Условие равенства этих расстоянийrp p 2+ y2x−x + =22после возведения в квадрат и несложных преобразований дает уравнение (1). ◮yMp− p2OFxОсновные термины, связанные с параболой:(1) ось Ox — ось параболы;(2) фокальная хорда — отрезок с концами на параболе, проведенный через фокус перпендикулярно оси;(3) p — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной хорды);(4) p/2 — фокусное расстояние(5) точка F (p/2, 0) — фокус;(6) прямая x = −p/2 — директриса.122.
ЭЛЛИПСЭллипс — это линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координатOxy координат имеет уравнениеx2 y 2+ 2 = 1.a2b(2)Указанная система координат называется канонической, уравнение (2) — каноническимуравнением эллипса.Основные термины, связанные с эллипсом:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)a — большая полуось;b — малая полуось;√c = a2 − b2 — линейный эксцентриситет;точки F1 (−c, 0), F2 (c, 0) — фокусы;2c — фокусное расстояние;ε = c/a < 1 — (числовой) эксцентриситет;прямые x = ±a/ε — директрисы;ось OX — большая (фокальная) ось;ось OY — малая ось;фокальная хорда — отрезок с концами на эллипсе, проведенный через фокус перпендикулярно фокальной оси;(11) p = b2 /a — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной хорды);(12) точки (±a, 0), (0, ±b) — вершины эллипса;(13) точка O(0, 0) — центр эллипса.yMd1F1− aεr2r1pd2xOF2aεПусть M (x, y) — произвольная точка эллипса.
Отрезки F1 M , F2 M называются фокальными радиусами точки M .Теорема.Фокальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, сумма расстояний от которых до фокусов постоянна: F1 M + F2 M = 2a.◭ Рассмотрим эллипсx2 y 2+ 2 = 1.a2bФокальные радиусы произвольной точки M (x, y) эллипса равныr1 =p(x + c)2 + y 2 ,r2 =p(x − c)2 + y 2 .3Имеемr12222= (x + c) + y = (x + c) + b2x21− 2a=b21− 2ax2 + 2xc + c2 + b2 =c2 2x + 2cx + a2 = ε2 x2 + 2ε2 ax + a2 = (εx + a)2 .a2Поскольку |x| 6 a, ε < 1, имеем |εx| < a, так что=r1 = a + εx.Аналогично находимСледовательно,r2 = a − εx.r1 + r2 = 2a.Обратно, пусть M (x, y) — точка плоскости, для которой сумма F1 M + F2 M постояннаи равна 2a, т.е.pp(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a.Уничтожив радикалы, придем к уравнениюy2x2+= 1.a2 a2 − c 2◮Теорема.Директориальное свойство эллипса: Эллипс является множеством точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно(и равно ε).◭ Расстояния от произвольной точки M (x, y) эллипса до левой и правой директрисравныa εx + a r1a εx − a r2= , d2 = x − = = .d1 = x + = εε εεε εОбратно, еслиpa (x ± c)2 + y 2 = ε x ± ,εто(x ± c)2 + y 2 = (εx ± a)2и поэтому(1 − ε2 )x2 + y 2 = a2 − c2 ⇐⇒x2 y 2+ 2 = 1.a2b◮3.
ГИПЕРБОЛАГипербола — эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy координат имеет уравнениеx2 y 2− 2 = 1.(3)a2bУказанная система координат называется канонической, уравнение (3) — каноническимуравнением гиперболы.Выразим из уравнения гиперболы y:rx2y = ±b− 1.a24Имеем:r a21xxa2b1 − 2 = ±by = ±b1− 2 +o= ± x + o(1).2axa2xxaТаким образом, прямыеby = ± x ⇐⇒ ay ± bx = 0aявляются асимптотами гиперболы.ybpF1OF2x2aОсновные термины, связанные с гиперболой:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)a — вещественная полуось;b — мнимая полуось;√c = a2 + b2 — линейный эксцентриситет;точки F1 (−c, 0), F2 (c, 0) — фокусы;2c — фокусное расстояние;ε = c/a > 1 — (числовой) эксцентриситет;прямые x = ±a/ε — директрисы;ось OX — вещественная (фокальная) ось;ось OY — мнимая ось;фокальная хорда — отрезок с концами на гиперболе, проведенный через фокусперпендикулярно фокальной оси;p = b2 /a — (фокальный) параметр (равен половине длины фокальной хорды);точки (±a, 0) — вершины гиперболы;точка O(0, 0) — центр гиперболы;прямые ay ± bx = 0 — асимптоты гиперболы.yMF1OF2xПусть M (x, y) — произвольная точка гиперболы.
Отрезки F1 M , F2 M называются фокальными радиусами точки M .5Теорема.Фокальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местом точек,разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине постоянна:|F1 M − F2 M | = 2a.◭ Рассмотрим гиперболуx2 y 2− 2 = 1.a2bДлины фокальных радиусов точки M (x, y) равныr1 =Имеемr122p(x + c)2 + y 2 ,22= (x + c) + y = (x + c) + b=2r2 =p(x − c)2 + y 2 . 2x2b−1 =+ 1 x2 + 2xc + c2 − b2 =22aac2 2x + 2cx + a2 = ε2 x2 + 2ε2 ax + a2 = (εa + x)2 .a2Поскольку |εx| > |x| > a, имеемАналогично получаемСледовательно, xε + a, x > 0,r1 =−xε − a, x < 0. xε − a, x > 0,r2 =−xε + a, x < 0. 2a, x > 0,|r1 − r2 | =−2a, x < 0.Обратно, пусть M (x, y) — точка плоскости, для которой |F1 M − F2 M | = 2a, т.е.pp2222 (x + c) + y − (x − c) + y = 2a.Уничтожив радикалы, придем к уравнениюy2x2−= 1.a2 c 2 − a2◮Теорема.Директориальное свойство гиперболы: Гипербола является геометрическим местомточек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно (и равно ε).6yd2Mr2OF1F2x◭ Расстояния от произвольной точки M (x, y) гиперболы до левой и правой директрисравныa εx − a r2a εx + a r1d1 = x + = = , d2 = x − = = .εε εεε εОбратно, еслиpa (x ± c)2 + y 2 = ε x ± ,εто(x ± c)2 + y 2 = (εx ± a)2и поэтомуx2 y 2− 2 = 1.a2bНаряду с гиперболой, заданной каноническим уравнением(1 − ε2 )x2 + y 2 = a2 − c2 ⇐⇒◮x2 y 2− 2 =1a2bчасто рассматривают гиперболуx2 y 2− 2 = −1,a2bназываемую сопряженной по отношению к исходной.Умножая уравнение сопряженной гиперболы на −1, получим каноническое уравнение,в котором роли координатных осей поменялись:y 2 x2− 2 = 1.b2ayF2∗F1OF2F1∗x74.
КАСАТЕЛЬНЫЕК ПАРАБОЛЕ, ЭЛЛИПСУ, ГИПЕРБОЛЕКасательная к параболе — это прямая, непараллельная оси параболы, имеющая с параболой одну общую точку.Пусть (x0 , y0 ) — точка касания параболы y 2 = 2px и прямойx = x0 + lt,y = y0 + mt,m 6= 0.Имеем:(y0 + mt)2 = 2p(x0 + lt) ⇐⇒ y02 + 2my0 t + m2 t2 = 2px0 + 2plt ⇐⇒⇐⇒ m2 t2 + 2t(my0 − pl) = 0.Это квадратное уравнение должно иметь один (двойной) корень, что возможно лишьпри выполнении условияy0my0 − pl = 0 ⇐⇒ l = m .pКаноническое уравнение касательной имеет видx − x0y − y0=⇐⇒ y0 (y − y0 ) = p(x − x0 ) ⇐⇒ y0 y − 2px0 = px − px0lmи окончательноyy0 = p(x + x0 ).Касательная к эллипсу (гиперболе) — это прямая, имеющая с эллипсом (гиперболой)одну общую точку.Пусть (x0 , y0 ) — точка касания эллипсаx2 y 2+ 2 =1a2bи прямойx = x0 + lt,Имеем:x20 y02+ 2 +2t2|a {z b }=1x0 l y0 m+ 2a2by = y0 + mt.2+tl2m2+ 2a2b= 1,m2x 0 l y0 ml2= 0.+ 2 + 2t+ 2ta2ba2bЭто квадратное уравнение должно иметь один (двойной) корень, что возможно привыполнении условияx0 l y0 m+ 2 = 0,a2bтак что можно положитьy0x0l = 2, m = − 2.baКаноническое уравнение касательной к эллипсу имеет видx − x0y − y0x0y0=⇐⇒ 2 (x − x0 ) + 2 (y − y0 ) = 0,22y0 /b−x0 /aab2откуда, учитывая соотношение x20 /a2 + y02 /b2 = 1, получаемxx0 yy0+ 2 = 1.a2b8Аналогично получаем уравнение касательной к гиперболеx2 y 2− 2 =1a2bв точке (x0 , y0 ):xx0 yy0− 2 = 1.a2b5.
ОПТИЧЕСКИЕСВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙТеорема.Оптическое свойство эллипса: фокальные радиусы произвольной точки M0 эллипсасоставляют равные углы с касательной к эллипсу в точке M0 .Физическая интерпретация: если в фокусе эллипса поместить точечный источник света,а эллипс считать зеркалом, то отраженный эллипсом луч попадет во второй фокус.yα1Mα2OF1F2x◭ Найдем синусы углов α1 и α2 , которые фокальные радиусы произвольной точкиM0 (x0 , y0 ) составляют с касательной к эллипсу в точке M0 .Расстояние F1 D1 от фокуса F1 (−c, 0) до касательной, имеющей уравнениеxx0 yy0+ 2 = 1,a2bравнотак что (−c) · x0 0 · y0+ 2 − 1 a2εx0 + ar1br= r= r,F1 D1 =x20 y02x20 y02x20 y02aa+ 4+ 4+ 4a4ba4ba4bsin α1 =Аналогично получаемsin α2 =1F1 D1= r.F1 M0x20 y02a+ 4a4b1F2 D2= r.F2 M0x20 y02a+ 4a4bТаким образом, α1 = α2 . ◮Теорема.Оптическое свойство гиперболы: фокальные радиусы произвольной точки M0 гиперболы составляют равные углы с касательной к эллипсу в точке M0 .9yMOF2F1xТеорема.Оптическое свойство параболы: касательная к параболе в каждой точке M0 составляет равные углы с фокальным радиусом точки M0 и с осью параболы.yMO6.
УРАВНЕНИЯFxПАРАБОЛЫ, ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ОТНЕСЕННЫЕ К ВЕРШИНЕРассмотрим две прямоугольные системы координат с попарно параллельными осями иразличными началами: Oxy и O′ x′ y ′ . Введем обозначения:r — радиус-вектор точки M в Oxy,r ′ — радиус-вектор точки M в O′ x′ y ′ ,r 0 — радиус-вектор точки O′ в Oxy.yxOrMr0y′r′O′x′Очевидно,r = r0 + r′ .В координатной форме(x = x0 + x′ ,y = y0 + y ′ .Пусть O′ x′ y ′ — каноническая система координат эллипсаx′2 y ′2+ 2 = 1,a2b10Oxy — система координат, начало которой совпадает с левой вершиной эллипса; тогдаx = x′ + a,y = y′и уравнение эллипса в системе Oxy имеет вид(x − a)2 y 2+ 2 = 1.a2bПреобразуем:y2(x − a)22ax − x2=1−=,b2a2a2y2 = 2b2b2x − 2 x2 ;aaпосколькуb2= p,ab2a2 − c 2== 1 − ε2 ,a2a2получаемy 2 = 2px − (1 − ε2 )x2 .Аналогично, уравнение гиперболы в системе координат, начало которой находится вправой вершине гиперболы, имеет видy 2 = 2px + (ε2 − 1)x2 .Таким образом, все три типа кривых задаются одним и тем же уравнениемy 2 = 2px − (1 − ε2 )x2 .При фиксированном p и изменяющемся ε ∈ [0, +∞) мы последовательно получаем:при ε = 0 окружность;при ε ∈ (0, 1) эллипс;при ε = 1 параболу;при ε ∈ (1, +∞) гиперболу.yxO117.
ПОЛЯРНЫЕУРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ, ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫПолучим уравнения конических сечений в полярной системе координат, ось которойсовпадает с главной осью кривой, а полюс находится в фокусе.Поместим полюс в фокус параболы. Имеем:px − = r cos ϕ2(связь декартовых и полярных координат) иpr =x+2(директориальное свойство параболы). Таким образом,p.r cos ϕ = r − p ⇐⇒ r =1 − cos ϕyMrϕO FxПоместим полюс в левый фокус эллипса. Имеем:x + c = r cos ϕ(связь декартовых и полярных координат) иr = εx + a(выражение для левого фокального радиуса). Таким образом,r = ε(r cos ϕ − c) + a ⇐⇒ r(1 − ε cos ϕ) = a − εc = p,так чтоr=p.1 − ε cos ϕyMrF1ϕOF2xВ случае гиперболы поместим полюс в правый фокус и ограничимся рассмотрениемправой ветви гиперболы.
Имеем:r = εx − a,x − c = r cos ϕ,12откуда получаемp.1 − ε cos ϕТаким образом, парабола, эллипс и гипербола (вернее, одна ее ветвь) задаются в полярных координатах одним и тем же уравнением.yMr=rϕF18. ПАРАБОЛА,OF2xЭЛЛИПС И ГИПЕРБОЛА КАК КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯКаждая из трех указанных линий является плоским сечением некоторого прямого кругового конуса.Если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, то в сечении получается парабола.На чертеже:π — секущая плоскость, параллельная одной из образующих конуса;S — вершина конуса;сфера касается конуса по окружности, лежащей в плоскости σ, и секущей плоскости вточке F ;l — линия пересечения плоскостей π и σ;X — произвольная точка сечения конуса плоскостью π;Y — точка пересечения образующей SX с плоскостью σ;Z — проекция точки X на прямую l.πX FσlYZSXF = XY как касательные к сфере. Точки Y и Z лежат в плоскости σ, угол междуXY и σ равен углу между образующей конуса и плоскостью, перпендикулярной его оси.Угол между XZ и σ равен углу между плоскостями π и σ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
