AG-05_2009-2010 (1080573), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В силу выбора плоскости π эти13углы равны, так что XY = XZ как наклонные, образующие равные углы с плоскостью σ.Поэтому XF = XZ, и точка X лежит на параболе с фокусом F и директрисой l.Если секущая плоскость π пересекает все образующие конуса и не перпендикулярнаего оси, то в сечении получается эллипс.На чертеже:π — секущая плоскость, пересекающая все образующие конуса;S — вершина конуса;две сферы касаются конуса по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях σ1и σ2 (на чертеже не изображены), и секущей плоскости π в точках F1 и F2 ;X — произвольная точка сечения конуса плоскостью π;Y1 , Y2 — точки пересечения образующей SX с плоскостями σ1 и σ2 .Имеем XF1 = XY1 , XF2 = XY2 (равенство касательных к сфере), так чтоXF1 + XF2 = Y1 Y2 = const, т.е.

точка X лежит на эллипсе с фокусами F1 и F2 .Отметим, что прямые l1 и l2 , получающиеся при пересечении плоскостей σ1 и σ2 плоскостью π, являются директрисами эллипса [докажите самостоятельно].Если секущая плоскость π параллельна двум образующим конуса, то в сечении образуется гипербола.9. КРИВЫЕВТОРОГО ПОРЯДКАПарабола, эллипс и гипербола задаются уравнениями второй степени. Общий вид многочлена второй степени от двух переменныхf (x, y) = Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F.Кривые второго порядка — это линии на плоскости, задаваемые уравнениями видаf (x, y) = 0.Парабола, эллипс и гипербола — примеры кривых второго порядка.14Теорема.Уравнение кривой второго порядка может быть преобразовано посредством заменыкоординат, состоящей из сдвига начала координат и поворота координатных осей,к одной из следующих девяти канонических форм.I.

Эллиптический типI.1. Эллипсx2 y 2+ 2 = 1.a2bI.2. Точкаx2 y 2+ 2 = 0.a2bI.3. Пустое множествоx2 y 2+ 2 = −1.a2bII. Гиперболический типII.1. Гиперболаx2 y 2− 2 = 1.a2bII.2. Пара пересекающихся прямыхx2 y 2− 2 = 0.a2bIII. Параболический типIII.1. Параболаy 2 = 2px.III.2. Пара параллельных прямыхy 2 = a2 ,a 6= 0.III.3. Пустое множествоy 2 = −a2 ,a 6= 0.III.4.

Пара совпадающих прямыхy 2 = 0.10. ЗАДАЧИДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯЗадача 1. Пусть O — центр эллипса, a, b — его полуоси, A, B — такие точки эллипса, чтопрямые OA и OB взаимно перпендикулярны. Найти наибольшее и наименьшее значениядлины отрезка AB.√√Ответ. max AB = a2 + b2 , min AB = 2ab/ a2 + b2 .Задача 2.

Вычислить эксцентриситет равносторонней гиперболы (т.е. гиперболы, полуосикоторой равны).√Ответ. 2.Задача 3. Доказать, что для данной гиперболы произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная. Выразить эту величину черезполуоси гиперболы.15Ответ.a2 b 2.a2 + b 2Задача 4. Доказать, что для данной гиперболы площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах, есть величинапостоянная. Выразить эту величину через полуоси гиперболы.Ответ. ab/2.Задача 5.

Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис сасимптотами лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длинудействительной полуоси гиперболы.Ответ. a.Задача 6. Доказать, что отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам.Задача 7. Доказать, что все треугольники, образованные асимптотами гиперболы и произвольной касательной к ней, имеют одну и ту же площадь. Выразить эту площадь черезполуоси гиперболы.Ответ. ab.Задача 8. Доказать, что касательные в точках пересечения эллипса и гиперболы, имеющих общие фокусы, взаимно перпендикулярны.Задача 9.

Составить уравнение семейств эллипсов с общими директрисами x = ±d иобщим центром в начале координат.Ответ.x2y2+= 1, 0 < a < |d|.a2 a2 (d2 − a2 )/d2Задача 10. Составить уравнение семейства гипербол с общими фокусами (±c, 0).Ответ.y2x2−= 1, 0 < a < |c|.a2 c 2 − a2Задача 11. Составить уравнение семейства гипербол с общими асимптотами y = ±kx.Ответ.x2y2−= 1.a2 k 2 a2Задача 12. Составить уравнение семейства парабол, имеющих общий фокус (0, 0) и симметричных относительно оси Ox.Ответ.

y 2 = p2 + 2px, p 6= 0.Задача 13. Составить уравнение семейства парабол, имеющих общую директрису x = 0и симметричных относительно оси Ox.Ответ. y 2 = −p2 + 2px, p 6= 0..

Характеристики

Список файлов лекций