Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (1080577), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Расстояние отточек окружности до центра – радиус окружности.Если центр окружности находится в т. М0(х0,у0), а радиус равен r, то уравнение окружности можетбыть написано в следующем виде: ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  r 2 .§8. Эллипс.Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний откаждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, естьвеличина постоянная.Для вывода уравнения эллипса выберем фокусы в точках F1(-c,0) и F2(c,0) (c > 0) , а суммурасстояний обозначим через 2а (2a >2 c). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса.

Тогда:( x  c)2  y 2  ( x  c)2  y 2  2a yb−aF1cx  a 2  a ( x  c)2  y 2 МF2−bax(a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2  a 2 (a 2  c 2 )Обозначив a2 − c2 = b2 , окончательноx2 y2 1.получим:a 2 b2рис.5Числа a и b называются полуосями эллипса (точки пересечения эллипса с осями координатимеют своими координатами числа  а и  b (рис.5)).Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси называетсяca 2  b2; 0    1. Эксцентриситет характеризует формуэксцентриситетом эллипса:   aaэллипса. При ε = 0 эллипс превращается в окружность, при ε = 1 − вырождается в отрезок.Написанное выше уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

(Вообще, в геометриисловами каноническое уравнение, обычно, называют уравнение, содержащее в явном виде всеосновные геометрические характеристики объекта. См. например, каноническое уравнение прямой(§4))Это уравнение является частным случаем уравнения 2 – го порядка (§6). Нетрудно видеть,что любое уравнение Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 представляет собой эллипс при условииAC > 0.

(Более общие условия будут выведены позже)( x  1)2 ( y  2)22222 1 − эллипсПример. 4 x  y  8x  4 y  8  0  4( x  1)  ( y  2)  16 4163; F1(−1, 2  2 3 ) и F2(−1, 2  2 3 ).с центром в т.(−1,2) и полуосями 2 и 4. c  2 3;  2Замечания. 1) Фокусы эллипса всегда расположены на больших полуосях .2) Если правая часть = 0, то вырожденный эллипс (точка), если = −1 – мнимый эллипс.11§9. Гипербола.Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстоянийот каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами гиперболы,есть величина постоянная и не равная нулю.Снова выберем фокусы в точках F1(-c,0) и F2(c,0) (c > 0) , а модуль разности расстоянийобозначим через 2а (2a < 2 c).

Для произвольной точки гиперболы М(х,у) имеем:( x  c)2  y 2  ( x  c)2  y 2  2aПосле проведения элементарных преобразований, аналогичных предыдущим, получимx2 y2каноническое уравнение гиперболы: 1 , где b2  c 2  a 2 .a 2 b2yИз уравнения сразу следует, что x  a,   y   .bx.aЭксцентриситет гиперболы определяется так же, как иcу эллипса, и равен    1.aПри x  гипербола имеет асимптоты Y  bаF2 xрис.6Замечания. 1) При исследовании уравнения 2 – го порядка могут быть получены уравнения( x  x0 )2 ( y  y0 )2 1 Центр таких гипербол находится в точке (х0,у0), аследующего вида:a2b2−1 в правой части означает, что гипербола повернута вокруг начала координат на 900 .x2 y22) Уравнение 2  2  0 описывает две пересекающиеся прямые.abk3) «Школьное» уравнение гиперболы y представляет собой частный случай, когда осьxгиперболы повернута на 450, а асимптотами являются координатные оси.Пример.

Определить вид и характеристики кривой:( x  2)2x  2  4 y2  8 y. { ( y  1) 2  1; x  2.4§10. Парабола.Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние откаждой из которых до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равнорасстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой параболы.уПусть фокус имеет координаты (p/2,0): F(p/2,0), а директрисазаписывается уравнением х = −р/2. Расстояние между фокусоми директрисой равно р − параметру параболы (рис.7).Точки параболы удовлетворяют уравнению:•M(x,y)−р/2Fхx  p / 2  ( x  p / 2)2  y 2 .После простых преобразований получим каноническое уравнениепараболы: у2 = 2рх.Рис.7§11.

Кривые второго порядка – заключение.В предыдущих параграфах были рассмотрены три вида кривых второго порядка: эллипсы,гиперболы и параболы, а также их частные и вырожденные случаи. Два первых вида называютцентральными кривыми. Параболы – не центральные. Можно доказать (это будет сделанопозже), что этими тремя видами исчерпываются все кривые второго порядка.

Из примера §8видно, что слагаемые 1 – ой степени в уравнении кривой (§6) влияют только на параллельныйперенос кривых. В дальнейшем будет доказано, что слагаемое 2Вху определяет повороткривой вокруг начала координат.12§12. Аналитическая геометрия в пространстве.Поверхности в пространстве задаются либо уравнением с тремя переменными: F ( x, y, z )  0, x  x (u, v )либо в параметрической форме:  y  y (u, v ); (u, v )  . z  z (u, v )Линии в пространстве задаются пересечением двух поверхностей, или параметрически: x  x (t ) F1 ( x, y, z )  0или l :  y  y (t );   t   .т.е.

l :  F2 ( x, y, z )  0 z  z (t )При решении задач в пространстве особенно важно знать геометрический смысл параметров,входящих в уравнения.§13. Плоскость в пространстве.Определение. Плоскостью называется геометрическое место концов векторов, имеющих общееначало и ортогональных данному ненулевому вектору, называемому нормальным вектором плоскости.Для вывода уравнения плоскости Р зафиксируем т.

M 0 ( x0 , y0 , z0 )  P и нормальный векторN  ( A, B, C ), A2  B2  C 2  0. (рис.8).Тогда M ( x, y, z )  P  M 0 M  N  0 . Отсюда получаем:A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 − уравнение плоскости, проходящей черезт. M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и ортогональной вектору N  ( A, B, C ) .Если раскрыть скобки и обозначить D   Ax0  By0  Cz0 , то получим общее уравнение плоскости:Ax  By  Cz  D  0Замечание.

И в общем уравнение плоскости коэффициенты А, В и С являются координатамивектора нормали.§14. Специальные случаи уравнения плоскости.I.Уравнение плоскости, проходящей через три точки.Пусть тт. M 0 , M1, M 2 P. Необходимым и достаточным условием принадлежности т. М той жеплоскости является компланарность векторов M 0 M , M 0 M1 и M 0 M 2 . В свою очередь, условиекомпланарности (гл.I,§11,св.2) приводит к следующему уравнению:x  x0 y  y0 z  z0x1  x0 y1  y0 z1  z0  0x2  x0 y2  y0 z2  z0II.Уравнение плоскости в отрезках.Возьмем в качестве предыдущих точек точки пересечения с осями координат:zM 0 (a,0,0), M1 (0, b,0), M 2 (0,0, c).N  ( A, B, C )cУравнение плоскости примет вид:xa y zx y za b 0  0   1• М0a b ca 0 cb yaхрис.813§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.I.Условия параллельности, перпендикулярности, угол между плоскостями.Даны две плоскости: P1 : A1 x  B1 y  C1z  D1  0; P2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0.Все перечисленные условия следуют из геометрического смысла коэффициентов (§13).A B CDP1  P2  A1 A2  B1B2  C1C2  0;P1  P2  1  1  1  1 ;A2 B2 C2 D2A1 A2  B1B2  C1C2cos  A12  B12  C12  A22  B22  C22II.Расстояние от точки до плоскости.Вычисляется так же, как в случае прямой на плоскости (§5).

Пусть M 0  P, M *  произвольнаяточка пространства. Расстояние от точки до плоскости равно модулю проекции M 0 M * на N .После простых преобразований получим d( M * , P) Ax*  By *  Cz*  DA2  B 2  C 2.(#) III. Связка и пучок плоскостей.Определение1. Множество плоскостей, проходящих через единственную общую точку М0 ,называется связкой плоскостей с центром в т. М0 ( Обозначение − S(M0)).Рассмотрим три плоскости, принадлежащие S(M0):Pk  Ak x  Bk y  Ck z  Dk  0, k  1,2,3. ……………………..(*)Теорема. Уравнение Q   P1   P2   P3  0;  ,  ,  ,  2   2   2  0 описывает связкуплоскостей с центром в данной точке.{Нужно доказать 2 утверждения: 1)  ,  ,   Q  S ( M 0 ) 2) P*  S  * ,  * ,  *  Q  P* .1) Так как все слагаемые Q равны нулю в т.

М0 , то и Q = 0 в этой точке.2) Так как СЛАУ (*) имеет единственное решение (x0,y0,z0), то из правила Крамера следует,что определитель системы отличен от нуля, т.е. векторы N1 , N 2 , N 3 линейно независимы и*N   * N 1   * N 2   * N 3 . Значение D = D* , т.к. все плоскости проходят через т. М0 }Определение2.

. Множество плоскостей, проходящих через общую прямую – ось плоскостей,называется пучком плоскостей.Теорема. Уравнение пучка плоскостей имеет вид: ( A1 x  B1 y  C1z  D1 )   ( A2 x  B2 y  C2 z  D2 )  0 , при условии N1  N 2   2   2  0.§16. Прямая в пространстве.Наиболее простым заданием прямой в пространстве является ее задание, как линии пересечения A1 x  B1 y  C1 z  D1  0двух плоскостей: . A2 x  B2 y  C2 z  D2  0(Естественно предполагать, что плоскости не совпадают и не параллельны)Однако, такое задание имеет большой недостаток: оно не содержит в явном виде ни однойгеометрической характеристики прямой. Удобнее пользоваться каноническим уравнением прямой,в котором она определяется как геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало иколлинеарных данному ненулевому вектору − направляющему вектору прямой.Если обозначить любую фиксированную точку прямой через М0 , а направляющий векторl  ( p, q, r ) , то для произвольной точки прямой М получим соотношение:x  x0 y  y0 z  z0− каноническое уравнение прямой в пространстве.

(См. §4,п.III)pqrЗамечание. На самом деле, каноническое уравнение представляет собой систему двух линейныхуравнений с тремя переменными, т.е. линию пересечения двух плоскостей. Но, во – первых, этоособые плоскости (параллельные координатным осям) и, во – вторых, в записи системыгеометрические характеристики прямой фигурируют в явном виде.142 x  5 y  z  9  0Пример. Перейти к каноническому заданию: . x  5 y  2z  3  0x  2 y 1 z }113От канонического уравнения легко перейти к параметрическому заданию.

Характеристики

Список файлов лекций