Лекция 5 Парабола, эллипс, гипербола (МГУ) (Лекции на тему Парабола, эллипс, гипербола), страница 3

(Н. и д. условие компланарности) Три вектора компланарны т. и т.т., когда их смешанноепроизведение равно нулю. {доказательство следует из св – ва 1.}3. [a, b] c  a  [b, c ]. (В правой части равенства сначала, естественно, выполняется векторноепроизведение) { доказательство так же следует из св – ва 1}Из последнего свойства следует, что знаки " " и "  " можно ставить в любом порядке. Поэтомусмешанное произведение обозначают символом abc.Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму a  [b, c ].Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменитьпервую строку на строку координат вектора а , то при разложении определителяпо первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведениевторого на третий.

Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеемследующую формулу:a1 a2 a3abс  b1 b2 b3c1 c2 c3Пример. Исследовать векторы a = (3,1,−2), b = (2,−1,4) и c = (7,−1,6) на линейную зависимость.{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,3 1 2вычислим их смешанное произведение: abс  2 17 1линейно зависимы}4  18  28  4  14  12  12  0  векторы67Глава II.

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.§1. Декартова система координат.Определение 1. Три взаимно перпендикулярные числовые оси, имеющие общее начало отсчета иодинаковые масштабы, называются декартовой системой координат данного пространства.Координатные оси обычно обозначают буквами x, y и z или символами OX, OY и OZ . Любаяточка М пространства находится во взаимно однозначном соответствии с множествомупорядоченных троек действительных чисел – координатами своих ортогональных проекцийна осях х, у и z, называемых координатами самой точки М: М(Мх,Му,Мz).В качестве базиса векторного пространства выбираются орты i, j и k, сонаправленныекоординатным осям x, y и z соответственно (рис.12).

Рассмотрим вектор r  OM .Вектор с началом в точке О и концом в точке М называется радиус −вектором точки М.Пусть его координаты в данном базисе равны rx,ry и rz , т.е. r  OM  rx i  ry j  rz k  (rx , ry , rz ).zMzМkОirjMyyИз определения суммы векторов (§2) сразу следует, что   вектор OM  OM x  OM y  OM z . В свою очередь, каждоеиз слагаемых правой части равно проекции вектора r накоординатную ось (§3), умноженную на соответствующийбазисный орт: OM x  Пр x OM  i, OM y = Пр y OM  j иOM z  Пр z OM  k . В силу единственности разложениявектора по базису (§4, Т1) имеем следующий результат:Мхxрис.1В декартовой системе координат координаты вектора в ортонормированном базисе равныего проекциям на координатные оси.§2.

Простейшие задачи аналитической геометрии.В этом параграфе будут рассмотрены три задачи: вычисление координат вектора AB покоординатам точек А и В, вычисление длины отрезка и деление отрезка в данном отношении.1. Вычисление координат вектора AB .ВПусть AB − произвольный вектор пространства (рис.2). Точки А'Ми В' с координатами Ах и Вх − проекции точек А и В на ось ОХ.АКоординаты вектора равны его проекциям на координатные оси (§1).Следовательно, его первая координата равна Вх − Ах (гл.I ,§3,св.3).А'М' В'ОХ Аналогичный результат получается для остальных координатныхРис.2осей. Таким образом: AB  ( Bx  Ax , By  Ay , Bz  Az ) .2.

Вычисление длины отрезка.Так как длина отрезка АВ (|AB|) равна AB , то |AB| = ( Bx  Ax )2  ( By  Ay ) 2  ( Bz  Az ) 2(гл.1, §7).3. Деление отрезка в данном отношении.AM, где АМ и МВ − величиныMBнаправленных отрезков AM и MB , называемое отношением, в котором т. М делитРассмотрим т. M  [ AB) (рис.2).

Требуется определить число  направленный отрезок AB . Из курса элементарной геометрии и полученных результатов имеем:AM AM  M x  Ax. Отсюда легко получаем координаты точки М:MB M B Bx  M xA   ByA   BxA   Bz.Mx  x, My  y, Mz  z1 1 1 8Замечания.1. Наиболее важным частным случаем является деление отрезка пополам:A  ByA  BxA  Bz 1  Mx  x, My  y, Mz  z2222. Полученный результат сохраняется для любого расположения точек, лежащихна одной прямой.

В случае, когда т. M  [ AB] величина λ будет отрицательной.§2. Аналитическая геометрия на плоскости.В этом и нескольких последующих параграфах будут рассмотрены основные задачи аналитическойгеометрии на плоскости.Пусть дана некоторая фиксированная координатная плоскость, т.е. плоскость, на которойзадана декартова система координат XOY и ортонормированный базис {i, j}, орты которогосонаправлены координатным осям х и у соответственно.Любая точка плоскости определяется двумя координатами – координатами своих ортогональныхпроекций на эти оси: М(х, у).Любой вектор плоскости так же определяется двумя координатами – коэффициентами разложенияпо базису или, что то же самое, своими проекциями на координатные оси: а = (ах , ау).Линия на плоскости определяется как геометрическое место точек плоскости (гмт),удовлетворяющих некоторому геометрическому или аналитическому условию. Геометрическоеусловие необходимо перевести в аналитическое (геометрия – аналитическая!), а у аналитического− выяснить геометрический смысл (аналитическая геометрия).

Аналитическим заданием линииявляется уравнение с двумя переменными: F(x, y) = 0, т.е. линия на плоскости определяется какгеометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. x  x (t );   t  .Иногда линия задается в параметрической форме:  y  y (t )Замечание.

В математическом анализе уравнение F(x, y) = 0 называют неявным заданием функции(частный случай y = f (x) называется явным заданием), т.е. используются понятия функции иаргумента. В аналитической геометрии, вообще говоря, переменные х и у считают равноправными.§3. Прямая на плоскости.Определим прямую l на плоскости следующим образом:Пусть заданы произвольная фиксированная т. М0(х0,у0) l и произвольный фиксированныйненулевой вектор N  ( A, B) ( A2  B2  0) , перпендикулярный данной прямой, который называетсянормальным вектором прямой или просто нормалью.Прямой, проходящей через т.

М0 , с данным нормальным вектором N называется геометрическоеместо концов векторов на плоскости, имеющих начало в т. М0 и ортогональных вектору N (рис.3).Используя данное определение, легко написать аналитическое задание или уравнение этой прямой.уПусть т. М(х,у) − произвольная точка прямой.Из условия сразу следует:NМ0M 0 M  N  M 0 M  N  0  A( x  x0 )  B( y  y0 )  0МхИтак, A( x  x0 )  B( y  y0 )  0 − уравнение прямой, проходящейРис.3через точку (х0,у0) и перпендикулярной вектору N  ( A, B).Если обозначить выражение − Ах0 − Ву0 через С , то получимобщее уравнение прямой на плоскости: Ax  By  C  0§4.

Специальные виды уравнения прямой.I.Уравнение с угловым коэффициентом.Хорошо известное уравнение y = k x + b, где k = tgφ − тангенс угла наклона прямой к оси ОХ ,а b − величина отрезка от начала координат до точки пересечения прямой с осью OY .9II. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.Так как прямая полностью определяется двумя точками, естественно написать соответствующееуравнение. Пусть даны две различные точки, принадлежащие прямой l:M1 ( x1, y1 ), M 2 ( x2 , y2 )  l . В этом случае M ( x, y )  l : M1M M1M 2 .

Отсюда :x  x1y  y1− уравнение прямой через две точки.x2  x1 y2  y1III. Каноническое и параметрические уравнения прямой.Любой вектор, коллинеарный прямой l называется направляющим вектором прямой.(В частности, вектор M1M 2 (пункт II) − направляющий) Если дана точка напрямой и направляющий вектор l  ( p, q) , то последнее уравнение можно переписать в виде:x  x1 y  y1− каноническое уравнения прямой. Если полученную пропорцию приравнятьpq x  x1  pt,   t  .к параметру t , то получим параметрические уравнения прямой:  y  y1  qtIV.

Уравнение прямой в отрезках.x0 y bПусть известны точки пересечения прямой с осями координат: M1 (0, b), M 2 (a,0) .a 0 0bx yОтсюда :  1  уравнение прямой в отрезках.a b§5. Основные задачи, связанные с прямой.I.Угол между прямыми.Рассмотрим две прямые l1 и l2 . Если эти прямые заданы своими общими уравнениями, токосинус угла между ними может быть найден как косинус угла между их нормалями илиN 1  N 2 l1  l2направляющими векторами с помощью скалярного произведения: cos  .l1 l2N1 N 2Замечание. Направляющий вектор из нормального (и наоборот) легко получить следующим образом:N  ( A, B)  l  (  B, A).В случае задания прямых уравнениями с угловым коэффициентом, имеем соотношение:k ktg  2 11  k1k2II.Условия параллельности и ортогональности двух прямых.A B Cl1  l2  1  1  1  (k1  k2  b1  b2 )A2 B2 C2l1  l2  A1B1  A2 B2  0  k1k2  1.III.Расстояние от точки до прямой.Вычислим расстояние от произвольной точки плоскости M*(x*, y*) до прямой l: Ax+By+C = 0.Пусть М(х,у) − произвольная точка прямой, N − нормаль (рис.4).NРасстояние от т.M* до прямой, очевидно, равно модулю проекции•М*вектора MM * на вектор нормали:Мd( M , l )  Пр N MM **N  MM *NA( x*  x )  B( y *  y )A2  B 2Т.к.

точка M  l , то Ах + Ву = − С и окончательно получаем:Ax*  By *  C*d( M , l ) Рис.4A2  B 2**Замечание. Знак выражения Ах +Ву +С меняется при переходе точки через прямую.10§6. Алгебраические линии на плоскости.Линии, описываемые алгебраическим уравнением n −го порядка от двух переменных, называютлиниями или кривыми n −го порядка на плоскости.Линии 1 – го порядка описываются уравнением Ах + Ву + С = 0 ( A2  B2  0 ) представляют собойпрямые.Уравнения 2 – го порядка : Ax 2  2 Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 ,( A2  B2  C 2  0 ) называюткривыми 2 – го порядка и представляют собой целое семейство плоских кривых.§7. Окружность.Определение. Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных отзаданной фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности.