Теория функций комплексной переменной (Лекции для ИУ), страница 4

PDF-файл Теория функций комплексной переменной (Лекции для ИУ), страница 4 Кратные интегралы и ряды (17674): Лекции - 3 семестрТеория функций комплексной переменной (Лекции для ИУ) - PDF, страница 4 (17674) - СтудИзба2018-01-102018-01-10zzyxelСтудИзба

Лекции для ИУ243

Описание файла

Файл "Теория функций комплексной переменной" внутри архива находится в папке "Лекции для ИУ". PDF-файл из архива "Лекции для ИУ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 4 страницы из PDF

eSLI z0 6= ∞ – POL@S DLQ f (z), TO SU]ESTWUET OKRESTNOSTX z0 , W KAVDOJ TO^KE4KOTOROJ |f (z)| > M , ∀ M > 0. w \TOJ OKRESTNOSTI F (z) = 1/f (z) ANALITI^NA ZA ISKL@^ENIEM BYTXMOVET TO^KI z0 , KAK OTNO[ENIE DWUH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ I ∃ lim F (z) = lim 1/f (z) = θ. t.O.z→z0z→z0DLQ F (z) TO^KA z0 QWLQETSQ PRAWILXNOJ – NULEM PORQDKA m ∈ {1, 2, . . .

N }, GDE N < ∞.4ÌÃÒÓz→z04ÌÃÒÓoBRATNO, ESLI F (z) = 1/f (z) – ODNOZNA^NAQ ANALITI^ESKAQ W OKRESTNOSTI z0 6= ∞ FUNKCIQ I z0– IZOLIROWANNYJ NULX PORQDKA m, TO SU]ESTWUET KOLXCO {z ∈ C : 0 < |z − z0 | < δ}, W KOTOROM NETDRUGIH NULEJ DLQ F (z). nO TOGDA f (z) = 1/F (z) ANALITI^NA W \TOM KOLXCE I ∃ lim f (z) = ∞.tAKIM OBRAZOM MEVDU POL@SAMI f (z) I NULQMI F (z) = 1/f (z) USTANOWLENO WZAIMNO ODNOZNA^NOESOOTWETSTWIE I z0 6= ∞ NAZYWA@T POL@SOM PORQDKA m DLQ f (z), ESLI z0 – NULX PORQDKA m DLQF (z) = 1/f (z).tEOREMA 2. iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA zÔÍ-12ÔÍ-126= ∞ ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z) QWLQETSQDLQ NEE POL@SOM PORQDKA m TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ∃ lim (z − z0 )m f (z) = b I 0 < |b| < ∞.0z→z0J nEOBHODIMOSTX.

pUSTX z0 6= ∞ – POL@S PORQDKA m DLQ f (z), T.E. NULX PORQDKA4m DLQ F (z) = 1/f (z). w \TOM SLU^AE SU]ESTWUET ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ ϕ(z) TAKAQ, ^TO4F (z) = 1/f (z) = (z − z0 )m · ϕ(z) I ϕ(z0 ) 6= θ I ϕ(z0 ) 6= ∞. nO TOGDA (z − z0 )m f (z) = 1/ϕ(z) I1/|ϕ(z0 )| = b, 0 < |b| < ∞.ÌÃÒÓÌÃÒÓ4dOSTATO^NOSTX. pUSTX ∃ lim (z −z0 )m f (z) = b I 0 < |b| < ∞. eSLI Ψ(z) = (z −z0 )m f (z), TO Ψ(z) –z−z0ANALITI^NA W KOLXCE {z : 0 < |z −z0 | < δ} KAK PROIZWEDENIE DWUH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ, A z0 6= ∞ –PRAWILXNAQ DLQ Ψ(z) W SILU SU]ESTWOWANIQ KONE^NOGO PREDELA.

nO TOGDA W KRUGE {z ∈ C : |z −z0 | < δ}FUNKCIQ 1/Ψ(z) – ANALITI^ESKAQ I 1/Ψ(z0 ) = 1/b, GDE 0 < 1/|b| < ∞, T.E. 1/f (z) = (z − z0 )m · 1/Ψ(z)I TO^KA z0 – NOLX PORQDKA m DLQ 1/f (z). Ish z1sh z· 5 I lim z 5 f (z) = lim= 1, T.E. z0 = θ – POL@S 5-GO PORQDKA.z→θz→θ zzziZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA z0 6= ∞ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z) QWLQETSQ POL@SOMPORQDKA m TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA f (z) =∞XCk (z − z0 )k I C−m 6= θ.k=−mJ nEOBHODIMOSTX. pUSTX z0 6= ∞ – POL@S PORQDKA m DLQ f (z), T.E. 1/f (z) = (z − z0 )m ϕ(z), GDEÔÍ-1215ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12pRIMERtEOREMA 3.sh z5. f (z) = 6 ≡zÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12n=−m∞XdOSTATO^NOSTX.

pUSTX f (z) =ÔÍ-12ϕ(z) – ANALITI^NA I ϕ(z0 ) 6= θ. nO TOGDA 1/ϕ(z) – ANALITI^NA I 1/ϕ(z0 ) ∈/ {θ; ∞}, T.E.∞∞XXn=k−mkk−m−m−mf (z) = (z − z0 ) · 1/ϕ(z) = (z − z0 )ak · (z − z0 ) =ak · (z − z0 )==Cn ≡ an+mk=0k=0∞X=Cn (z − z0 )n I C−m = a0 6= θCn (z − z0 )n I C−m 6= 0, T.E.n=−mÌÃÒÓÌÃÒÓ∞1 4X=f (z) = (z − z0 ) {C−m + C−m+1 (z − z0 ) + . . .} = (z − z0 ) · 1/ϕ(z), GDEC−m+k · (z − z0 )k –ϕ(z) k=0ANALITI^NA I 1/ϕ(z0 ) = C−m 6= 0. nO TOGDA 1/f (z) = (z − z0 )m · ϕ(z), GDE ϕ(z) – ANALITI^ESKAQ Iϕ(z0 ) = 1/C−m , T.E.

z0 – NULX PORQDKA m DLQ 1/f (z) I POL@S PORQDKA m DLQ f (z). I∞∞XXz 2k−51z 2k+111sh z−6== 5++ . . ., T.E. z0 = θ –+6. f (z) = 6 = z ·3z(2k + 1)!(2k + 1)!z3! z5! zk=0k=0POL@c 5-GO PORQDKA.−m−mÔÍ-12ÔÍ-12pRIMERIV. eSLI W OKRESTNOSTI IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 6= ∞ ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z) ONA NE OGRANI^ENA I 6 ∃ lim f (z), TO TAKU@ TO^KU NAZYWA@T SU]ESTWENNO OSOBOJ.z→z0tEOREMA 4. (sOHOCKOGO-wEJER[TRASSA).eSLI z0 6= ∞ – SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA DLQ ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z), TO ∀ A ∈ C SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX {zk }, SHODQ]AQSQK z0 TAKAQ, ^TO lim f (zk ) = A. (bEZ DOK-WA).ÌÃÒÓpRIMER 7.

f (z) = e1/zI z0 = θ – SU]ESTWENNO OSOBAQ, T.K.6 ∃ lim f (z) : (z = x → +0) =⇒ e1/z → e+∞ = ∞ I (z = x → −∞) =⇒ e1/z → e−∞ = 0.z→θzAME^ANIEÌÃÒÓk→∞. lORANOWSKOE RAZLOVENIE ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z) W OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI z0 6= ∞ SODERVIT BESKONE^NOE MNOVESTWO ^LENOW S OTRICATELXNYMI STEPENQMI(z − z0 ) S NENULEWYMI KO\FFICIENTAMI I NAOBOROT.ÌÃÒÓ8.∞X1; 0 < |z| < ∞ I z0 = θ – SU]ESTWENNO OSOBAQ, T.K.exp{1/z} =k! z kk=0ÌÃÒÓpRIMERÔÍ-12ÔÍ-12dOKAZATELXSTWO.(α). eSLI z0 6= ∞ – SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA DLQ f (z), TO EE LORANOWSKOE RAZLOVENIE W OKRESTNOSTIz0 MOVET SODERVATX LI[X BESKONE^NOE ^ISLO OTLI^NYH OT NULQ KO\FFICIENTOW S OTRICATELXNYMIINDEKSAMI, T.K.

W PROTIWNOM SLU^AE z0 – LIBO POL@S, LIBO PRAWILXNAQ TO^KA.(β). eSLI W OKRESTNOSTI TO^KI z0 6= ∞ RQD lORANA DLQ f (z) SODERVIT BES^ISLENNOE MNOVESTWO NENULEWYH KO\FFICIENTOW S OTRICATELXNYMI INDEKSAMI, TO z0 NE MOVET BYTX PRAWILXNOJ (SM. SLEDSTWIEIZ TEOREMY 1) ILI POL@SOM (SM. TEOREMU 3), T.E. z0 – SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA.1, ∀ n > 0.n!V. tO^KU z0 = ∞ NAZYWA@T IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCIIf (z), ESLI SU]ESTWUET EE OKRESTNOSTX BN = {z ∈ C : |z| > N }, KOTORAQ NE SODERVIT DRUGIH OSOBYHTO^EK.9.

fUNKCIQ f (z) = 1 (z 2 + 1) IMEET TRI IZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI z01 = i, z02 = −i,z03 = ∞.10. dLQ FUNKCII f (z) = 1 (ez + 1) TO^KA z0 = ∞ NE QWLQETSQ IZOLIROWANNOJ, T.K.ez + 1 = 0 ⇐⇒ z = zk = i (π + 2πk) ≡ i π(2k + 1), T.E. W L@BOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 = ∞ ESTX DRUGIEÔÍ-12ÔÍ-12C−n =pRIMERÔÍ-1216ÌÃÒÓpRIMERÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12OSOBYE TO^KI, TAK KAK |zk | = π(2k + 1) → ∞ PRI k → ∞.VI.lORANOWSKOE RAZLOVENIE ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z), SHODQ]EESQ WS@DU W BN , ZA ISKL@^ENIEM BYTX MOVET SAMOJ TO^KI z0 = ∞, NAZYWA@T RAZLOVENIEM f (z) W OKRESTNOSTI z0 = ∞.1(z + 1) − (z − 2)pRIMER 11. f (z) = (z + 1)(z==− 2)3 (z + 1)(z − 2)4pRIMER0=∞ÔÍ-12kLASSIFIKACIQ HARAKTERA IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI zÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ 1111 11112|z| < 1=−=·− ·=⇐⇒ |z| > 2 =1 |z| < 13 (z−2 z+13 )z 1 − 2/z z 1 + 1/z∞∞∞X1 X 2k X2k − (−1)kk 1=· z −k−1 – RAZLOVENIE FUNKCII f (z) W OKRESTNOSTI−(−1) k =k3z k=0 zz3k=0k=0IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI z0 = ∞.∞X1112.

f (z) = sh =z −(2k+1) ; 0 < |z| < ∞ – MOVNO RASSMATRIWATX KAKz(2k+1)!k=0LORANOWSKOE RAZLOVENIE KAK W OKRESTNOSTI TO^KI z01 = θ, TAK I W OKRESTNOSTI TO^KI z02 = ∞.pUSTX f (z) – ODNOZNA^NAQ FUNKCIQ, ANALITI^NAQ W KOLXCE K = {z ∈ C : ρ < |z| < ∞}. pOLAGAQz = 1/ξ, POLU^AEM WZAIMNOODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI KOLXCA K I TO^KMI KOLXCAk = {ξ : 0 < |ξ| < 1/ρ}.

pRI \TOM,TO^KA ξ = θ BUDET SLUVITX OBRAZOM TO^KI z = ∞ I KAVDOJPOSLEDOWATELXNOSTI {zk } → ∞ BUDET SOOTWETSTWOWATX POSLEDOWATELXNOSTX {ξk } → θ, GDE ξk ≡ 1/zk INAOBOROT.4ÌÃÒÓα)PRAWILXNOJ ILI USTRANIMOJ, ESLI∃ lim f (z) = A 6= ∞ ⇐⇒ f (z) =z→∞Ck z k ;k=−∞POL@SOM PORQDKA m, ESLI∃ lim z−mz→∞γ)0Xf (z) ∈/ {θ, ∞} ⇐⇒ f (z) =mXÔÍ-12ÔÍ-12β)ÌÃÒÓpUSTX ϕ(ξ) = f (1/ξ), GDE z = 1/ξ. w ZAWISIMOSTI OT HARAKTERA IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI ξ = θDLQ ϕ(ξ) ≡ f (1/ξ) ≡ f (z) IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU z = ∞ NAZYWA@TCk z k , Cm 6= 0 ;k=−∞SU]ESTWENNO OSOBOJ, ESLI6 ∃ lim f (z) ⇐⇒ f (z) =z→∞∞XCk z k I SU]ESTWUET S^<TNOE MNOVESTWO NENULEWYH KO\FFICIENTOW Sk=−∞pRIMERÌÃÒÓÌÃÒÓPOLOVITELXNYMI INDEKSAMI.13.

dLQ FUNKCII f (z) = e1/z TO^KA z0 = ∞ QWLQETSQ PRAWILXNOJ ILI USTRANIMOJ, TAKKAK(1) ∃ lim exp(1/z) = 1 ;(2)z→∞exp(1/z) =∞Xk=00k = −nX1znk=0⇐⇒n=0≡=k! z k (|n|)!n=−∞k = ∞ ⇐⇒ n = −∞pRIMER 14. dLQ FUNKCII f (z) = (z + 1/z )≡ z 2 + 1/z + 1/z 4 TO^KA z01 = θ – POL@S 4 PORQDKA,= ∞ – POL@S 2 PORQDKA. pRI \TOM ∃ lim z 4 f (z) = 1 I ∃ lim f (z)/z 2 ≡ 1.k=0zk;k!(2)limz=−x2 →−∞ez = 0 IÔÍ-12∞XTO^KA z0 = ∞ QWLQETSQ SU]ESTWENNO OSOBOJ, T.K.limz=x2 →∞ez = ∞, T.E.

6 ∃ lim ezz→∞17ÌÃÒÓ(1) ez =zÔÍ-12pRIMER 15. dLQ FUNKCII f (z) = ez→∞z→θÌÃÒÓA TO^KA z02ÔÍ-12ÔÍ-122 2ÌÃÒÓÌÃÒÓpRIMER 16.ÔÍ-12z+ z1dLQ FUNKCII f (z) = eÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12TO^KI z01 = θ, z02 = ∞ QWLQ@TSQ SU]ESTWENNO OSOBYMIÔÍ-12∞∞Xzk X!z m , TAK KAKÌÃÒÓÌÃÒÓ∞∞XX11z+1/zz1/z≡e= e · e = {0 < |z| < ∞} =nk! n=0 n! zN ! (N + |m|)N =0k=0 m=−∞∞X1111++ ... ++ ... ≡,zm :0! m! 1! (m + 1)!N ! (m + N )!N!(N+m)!N =0 X∞1111−mz:++ ...

++ ... ≡.0! m! 1! (m + 1)!N ! (m + N )!N ! (N + m)!N =0)( ∞∞XX14 z+1/zz k ; 0 < |z| < ∞.tAKIM OBRAZOM f (z) = e≡N!(N+|m|)!m=−∞ N =0ÔÍ-12TO^KAMI.oPREDELENIEÔÍ-12ÔÍ-12|LEMENTY TEORII WY^ETOW1. eSLI z0 6= ∞ – TO^KA ANALITI^NOSTI ILI IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA ODNOZNA^NOJANALITI^NOJ FUNKCII f (z) I L – ZAMKNUTYJ KONTUR, OHWATYWA@]IJ TO^KU z0 TAK, ^TO NA SAMOMKONTURE L I WS@DU WNUTRI NEGO, ZA ISKL@^ENIEM BYTX MOVET SAMOJ TO^KI z0 , FUNKCIQ f (z)ZQWLQETSQzAME^ANIQ K OPREDELENI@ 3.12π iANALITI^ESKOJ, TO WY^ETOM f (z) OTNOSITELXNO TO^KI z0 NAZYWAETSQ ^ISLO Res f (z0 ) =f (z)dz.LÌÃÒÓÌÃÒÓ1).

iZ T. kO[I SLEDUET, ^TO Res f (z0 ) NE ZAWISIT OT FORMY I RAZMEROW KONTURA L, ESLI ONUDOWLETWORQET USLOWIQM, SFORMULIROWANNYM W OPREDELENII 1.2). eSLI z0 – IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z), TORes f (z0 ) ≡ C−1 , GDE C−1 – KO\FFICIENT PRI (z − z0 )−1 W LORANOWSKOM RAZLOVENII FUNKCII f (z)W OKRESTNOSTI TO^KI z0 6= ∞.3). eSLI z0 6= ∞ – PRAWILXNAQ TO^KA ILI TO^KA ANALITI^NOSTI ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJFUNKCII f (z), TO Res f (z0 ) ≡ θ.ÔÍ-12I z02ÔÍ-12pRIMER 1.

f (z) = z+ z + 5/z − 7/z 5 . iZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI z01 = θ – POL@S 5-GO PORQDKA= ∞ – POL@S 3-GO PORQDKA. Res f (θ) = 5.3ÌÃÒÓk=0∞Xm−1ÔÍ-12z→z0pRIMER 2.ÔÍ-12d(z − z0 )m f (z) = (m − 1)! C−1 +(m − k)(m − k − 1) . . . (k + 1)Ck (z − z0 )k+1 =⇒d z m−1k=01dm−1 lim(z − z0 )m f (z)=⇒ Res f (z0 ) =m−1(m − 1)! z→z0 d zP.S. eSLI m = 1, T.E. z0 – POL@S 1-GO PORQDKA, TORes f (z0 ) = lim (z − z0 ) f (z)=⇒ÌÃÒÓ4). eSLI z0 6= ∞ – POL@S m-GO PORQDKA ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z), TO∞XC−1C−m+ ... ++Ck (z − z0 )k ∧ C−m 6= θ. tAKIM OBRAZOMf (z) =(z − z0 )m(z − z0 ) k=0∞Xmm−1(z − z0 ) f (z) = C−m + C−m+1 (z − z0 ) + . . .

+ C−1 (z − z0 )+Ck (z − z0 )k+m =⇒f (z) = (5z − 1) (z − 1)(z + 2) ≡ 4/3 (z − 1) − 11/3 (z + 2). iZOLIROWANNYE OSOBYETO^KI z01 = 1 I z02 = −2 – POL@SY 1-GO PORQDKA; z03 = ∞ – PRAWILXNAQ TO^KA – NULX 1-GO PORQDKA.Res f (1) = lim (z − 1)f (z) = 4/3 I Res f (−2) = lim (z + 2)f (z) = −11/3.z→−2ÔÍ-1218ÌÃÒÓÌÃÒÓz→1ÔÍ-12ÌÃÒÓpRIMER 3.ÌÃÒÓÔÍ-12.ÔÍ-12ÌÃÒÓpUSTX f (z) = 1 (z − 2) sin z.

Поделитесь ссылкой:

Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.

Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.

Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.

Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.

Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.

Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.

Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.

Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.

Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.

Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.

Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.

Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.