Теория функций комплексной переменной (Лекции для ИУ)

1.ÌÃÒÓÔÍ-12tfkpoB]IE ZAME^ANIQÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓlekciq 1.eSLI KAVDOJ TO^KE z MNOVESTWA G ⊂ C PO ZAKONU f STAWITSQ W SOOTWETSTWIE EDINSTWENNYJ\LEMENT w ∈ Q ⊂ C, TO GOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE G OPREDELENA KOMPLEKSNAQ FUNKCIQ w = f (z)KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO z I Q ⊂ C – EE OBLASTX ZNA^ENIJ.2.ÌÃÒÓ3.pUSTX ZADANA FUNKCIQ w = f (z), GDE z = x + iy ≡x. tAKIM OBRAZOM f (z) ≡ f (x, y). eSLIy4u(x, y) = Re f (z), v(x, y) = Im f (z),ÔÍ-12ÔÍ-124ÌÃÒÓtAK KAK C OTLI^AETSQ OT R2 NALI^IEM WTOROGO WNUTRENNEGO ZAKONA – OPERACIQ UMNOVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL, TO f (z) OBLADAET WSEMI STANDARTNYMI SWOJSTWAMI WEKTORNYH FUNKCIJ WEKTORNOGOARGUMENTA. pO\TOMU PREDMET ISSLEDOWANIJ tfkp – SPECIFI^ESKIE OSOBENNOSTI KOMPLEKSNYH FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO, OBUSLOWLENNYE NALI^IEM WTOROGO WNUTRENNOGO ZAKONA.TO IMEEM:f (z) = u(x, y) + iv(x, y),GDE u(x, y), v(x, y) – SKALQRNYE FUNKCII DWUH WE]ESTWENNYH PEREMENNYH x I y.pRIMER.f (z) = z 2 , T.E.f (z) = (x + iy)2 = (x2 − y 2 ) + i 2xy.u(x, y) ≡ Re f (z) = x2 − y 2 I v(x, y) ≡ Im f (z) = 2xy.tAKIM OBRAZOM,I.z 4e =∞Xzkk=0k!ÌÃÒÓÌÃÒÓtRANSCENDENTNYE FUNKCII|z| < ∞.;sWOJSTWA ez .eSLI ϕ – WE]ESTWENNOE ^ISLO, TO cos ϕ = (eiϕ + e−iϕ ) 2 I sin ϕ = (eiϕ − e−iϕ ) 2i.J pRI z ≡ iϕ IMEEM:∞Xϕ2kϕ2k+1(−1)(−1)k=+i= cos ϕ + i sin ϕ.e =k!(2k)!(2k + 1)!k=0k=0k=0pOLAGAQ z = i(−ϕ), POLU^IM e−iϕ = cos ϕ − i sin ϕ.

iZ POLU^ENNYH RAWENSTW I SLEDU@T ISKOMYEPREDSTAWLENIQ DLQ cos ϕ I sin ϕ. Iiϕ 4∞ k kXi ϕ∞XÔÍ-12ÔÍ-121.k12. ez1 +z2 = ez∞· ez2ÌÃÒÓÌÃÒÓ()∞∞ X∞nknX zk XXm=k+nm>0;06S6m,T.K.n>0,Iz2z1 · z21J ez1 · ez2 ==== n=m−Sk! n=0 n!k! n!S=kk=0k=0 n=0∞ Xm∞m∞ Xm−SSXXXz1 · z21m!(z1 + z2 )mSm−S=z1 · z2== ez1 +z2 I=S!(m−S)!m!S!(m−S)!m!m=0 S=0m=0{z} m=0 S=0 |3. ez – PERIODI^ESKAQ FUNKCIQ S PERIODOM 2πi.J ez+2πi = ez · e2πi = ez (cos 2π + i sin 2π) = ez .

I4.eSLI z = x + iy, TO |ez | = ex I arg ez = y; Re az = ex cos y I Im ez = ex sin y.J ez = ex+iy = ex · eiy = ex {cos y + i sin y}, OTKUDA I SLEDU@T ISKOMYE RAWENSTWA. I= cos 1 + i sin 1.1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12iÌÃÒÓpRIMER 1. eÔÍ-12ÔÍ-12SCmÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-121+i π4∞X√ e 2= e · cos π 4 + i sin π 4 =(1 + i)2z 2k;cos z =(−1)(2k)!k=0II.4k4sin z =∞X(−1)kk=0z 2k+1;(2k + 1)!ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12pRIMER 2. eÌÃÒÓÔÍ-12|z| < ∞sWOJSTWA cos z I sin z.1.

cos z = (eiz + e−iz ) 2; sin z = (eiz − e−iz ) 2i – FORMULY |JLERA.ÌÃÒÓÌÃÒÓJ oBOSNOWANIE IDENTI^NO OBOSNOWANI@ SWOJSTWA 1 FUNKCII ez . I2. cos zI sin z – PERIODI^ESKIE FUNKCII S PERIODOM 2π.J sLEDUET IZ FORMUL |JLERA I SWOJSTWA 3 FUNKCII ez . I3.dLQ cos z I sin z OSTA@TSQ KORREKTNYMI WSE FORMULY TRIGONOMETRII.J dLQ ILL@STRACII OGRANI^IMSQ DWUMQ RAWENSTWAMI:ÔÍ-12ÌÃÒÓ4.w C FUNKCII cos z I sin z NE QWLQ@TSQ OGRANI^ENNYMI.ÔÍ-12ÔÍ-12J pUSTX z = x + iy. w \TOM SLU^AE 1 −y ix 1 −y1 i (x+iy)e+ e−i(x+iy) =e · e + ey · e−ix =e (cos x + i sin x)+cos z =(1)222y+ e (cos x − i sin x)} = ch y cos x − i sh y sin x ,Re cos z = ch y cos x I Im cos z = − sh y sin x ;1 i (x+iy)1 −ysin z =e+ e−i(x+iy) =e (cos x + i sin x) − ey (cos x − i sin x) =(2)2i2i= ch y sin x + i sh y cos x ,ÌÃÒÓa TAK KAK ch y I sh y – NEOGRANI^ENNYE FUNKCII, TO | cos z| I | sin z| – NEOGRANI^ENY W C.

I,4sh z =∞Xk=0z 2k+1;(2k + 1)!|z| < ∞ÔÍ-121. ch z = {ez + e−z }/2 , sh z = {ez − e−z }/2 – FORMULY |JLERA.J fORMULY |JLERA NEPOSREDSTWENNO SLEDU@T IZ O^EWIDNYH RAWENSTW:−ze = ch z − sh z Iez = ch z + sh z ;I sh z – PERIODI^ESKIE FUNKCII S KOMPLEKSNYM PERIODOM, RAWNYM 2πi.2ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-122. ch zÔÍ-12sWOJSTWA ch z I sh z.ÌÃÒÓIII.∞Xz 2kch z =(2k)!k=0ÌÃÒÓRe sin z = ch y sin x ; Im sin z = sh y cos x.4ÌÃÒÓpRIMERÔÍ-121 iz1 iz21 i(z1 +z2 )1e− e−i(z1 +z2 ) =e · e − e−iz1 · e−iz2 = {(cos z1 + i sin z1 ) ×(1)2i2i2i× (cos z2 + i sin z2 ) − (cos z1 − i sin z1 )(cos z2 − i sin z2 )} = cos z1 sin z2 + sin z1 cos z2 ; 1 iz2 1 1 i(z1 +z2 )1 iz1−iz1−iz2cos z1 · cos z2 =e +ee +ee+ e−i(z1 +z2 ) +·=222 2(2)1 i(z1 −z2 )e+ e−i(z1 −z2 )= 0, 5 cos(z1 + z2 ) + cos(z1 − z2 )+2 1π 1 − ln 2 iπ/2+ i ln 2 =ei (π/2+i ln 2) + e−i (π/2+i ln 2) =e·e+ eln 2 · e−iπ/2 =3. cos2221 1ππππ3i=cos + i sin+ 2 cos − i sin=− .2 222224sin(z1 + z2 ) =ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓJ tAK KAK 2πi – PERIOD FUNKCII e , TO OSTALOSX WOSPOLXZOWATXSQ FORMULAMI |JLERA DLQ GIPERBOLI^ESKIH FUNKCIJ.

IÔÍ-12ÔÍ-12z3. ch zI sh z OBLADA@T STANDARTNYMI SWOJSTWAMI GIPERBOLI^ESKIH FUNKCIJ.J dLQ ILL@STRACII OGRANI^IMSQ DWUMQ RAWENSTWAMI:2 1 z21 ze + e−z −e − e−z ≡ 1 ;44 1 1 z1 +z21 z11 z2−z1−z2sh z1 · ch z2 =e −e·e +e=e− e−(z1 +z2 ) +222 2(2)1 z1 −z21+e− e−(z1 −z2 )= {sh(z1 + z2 ) − sh(z1 − z2 )} . I22ÌÃÒÓÌÃÒÓ(1) ch2 z − sh2 z =4. ch(iz) = cos z , sh(iz) = i sin zJ nEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ FORMUL |JLERA. IJ oBOSNOWANIE \TIH RAWENSTW ANALOGI^NO OBOSNOWANI@ SWOJSTWA 4 cos z I sin z. IIV.ÔÍ-12ÔÍ-125. ch z = ch x cos y + i sh x sin y ; sh z = sh x cos y + i ch x sin ylOGARIFMI^ESKAQ FUNKCIQ.

pUSTX W = ln z OPREDELQETSQ KAK FUNKCIQ, OBRATNAQ PO OTNO[ENI@ K POKAZATELXNOJ FUNCII z = exp(W ). eSLI W = u + iv I z = |z|exp(i arg z) 6= θ, TOz = exp(W ) ⇐⇒ |z| exp(i arg z) = exp(u + iv) = exp(u) · exp(iv) ⇐⇒ |z| = exp(u) ∧ (arg z = v).tAKIM OBRAZOM ln z = u + iv = ln |z| + i arg z PRI z 6= θ.pRIMER 4. (A) ln(−1) = ln | − 1| + i arg(−1) = iπ ;ÌÃÒÓÌÃÒÓ(B) ln(i) = ln |i| + i arg(i) = i π/2 ;(W) ln(3 + 4i) = ln |3 + 4i| + i arg(3 + 4i) = ln 5 + i arctg(4/3).zAME^ANIQ.41.

Ln z = ln |z| + i Arg z ≡ ln |z| + i{arg z + 2πk} = ln z + i 2πk.2. ln(z1 · z2 ) = ln z1 + ln z2 .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12J ln(z1 · z2 ) = ln |z1 · z2 | + i arg(z1 · z2 ) = ln{|z1 | · |z2 |} + i{arg z1 + arg z2 } = ln |z1 | + i arg z1 ++ ln |z2 | + i arg z2 = ln z1 + ln z2 I3. ln(z1 z2 ) = ln z1 − ln z2 .J ln(z1 z2 ) = ln |z1 z2 | + i arg(z1 z2 ) = ln{|z1 | |z2 |} + i{arg z1 − arg z2 } = ln |z1 | + i arg z1 −− ln |z2 | − i arg z2 = ln z1 − ln z2 I4.aNALOGI^NOFUNKCIIln zWWODQTOBRATNYETRIGONOMETRI^ESKIEIGIPERBOLI^ESKIEFUNKCII.dLQILL@STRACIIRASSMOTRIMFUNKCI@W = Arcsin z ⇐⇒ z = sin W ⇐⇒ z = {exp(iW ) − exp(−iW )} 2i ⇐⇒ (eiW )2 − 2iz eiW − 1 = 0 ⇐⇒√, GDE BERUTSQ OBA ZNA^ENIQ KWADRATNOGO KORNQ.tAKIM OBRAZOM,⇐⇒ eiW = iz + 1 − z 2√2Arcsin(z) = W = −i Ln(iz + 1 − z ).√√ √5.Arcsin2=−iLn(2i+1−4)=−iLn(2i±3i)=−iLn(2±3)i =nπo π√√= −i ln |2 ± 3| + i+ 2πk=+ 2πk − i ln(2 ± 3).22pRIMERÔÍ-12ÔÍ-12lekciq 2.oPREDELENIE 1. fUNKCI@ f (x) = u(x, y) + iv(x, y) NAZYWA@T DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE z = x + iyOBLASTI G ⊂ C EE OPREDELENIQ, ESLI DLQ L@BOGO ∆z = ∆z + i∆y TAKOGO, ^TO (z + ∆z) ∈ G SU]ESTWUET o(|∆z|) 4 = 0.

pRI \TOMA = α + iβ TAKOE, ^TO ∆f = f (z + ∆z) − f (z) = A∆z + o(|∆z|), GDE lim ∆z→0∆z WELI^INU A = α + iβ NAZYWA@T PROIZWODNOJ f W TO^KE z I OBOZNA^A@T f 0 (z).ÌÃÒÓÔÍ-123ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓzAME^ANIEÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-121. ∆f (z) = ∆u(x, y) + i∆v(x, y), GDE ∆u(x, y) = u(x + ∆x, y + ∆y) − u(x, y) I∆v(x, y) = v(x + ∆x, y + ∆y) − v(x, y)tEOREMA1. eSLI f (z) – DIFFERENCIRUEMA W TO^KE z ∈ G, TO W \TOJ TO^KE WYPOLNENY USLOWIQkO[I-rIMANA: {u0x (x, y) = vy0 (x, y)} ∧ {u0y (x, y) = −vx0 (x, y)}, GDE u(x, y) = Re f (z) I v(x, y) = Im f (z).dOKAZATELXSTWO.ÌÃÒÓÌÃÒÓsOGLASNO USLOWIQM TEOREMY ∆u + i∆v = (α + iβ)(∆x + i∆y) + o(|∆z|), ∀ ∆z : z + ∆z ∈ G.

tAKIMOBRAZOM, IMEEM ∆u+i∆v = (α∆x−β∆y)+i(α∆y+β∆x)+ou (|∆z|)+iov (|∆z|), GDE ou (|∆z|) = Re o(|∆z|)I ov (|∆z|) = Im o(|∆z|). wOSPOLXZOWAW[ISX OPREDELENIEM RAWENSTWA KOMPLEKSNYH ^ISEL, POLU^AEM:∆u = α∆x + β∆y + ou (|∆z|) =⇒ α = u0x I β = −u0y∆v = α∆y + β∆x + ov (|∆z|) =⇒ α = vy0 I β = vx0OTKUDA I SLEDUET ISKOMOE UTWERVDENIE.sLEDSTWIE. eSLI f (z) DIFFERENCIRUEMA W TO^KE z ∈ G, TOf 0 (z) = u0x − iu0y = vy0 + ivx0 = u0x + ivx0 = vy0 − iu0y .ÔÍ-12ÔÍ-12tEOREMA 2.

eSLI f (z) OPREDELENA W G, A W TO^KE z ∈ G DLQ NEE WYPOLNENY USLOWIQ kO[I-rIMANA ISU]ESTWUET POLNYE DIFFERENCIALY EE WE]ESTWENNOJ I MNIMOJ ^ASTEJ, T.E.∆u(x, y) = u0x ∆x + u0y ∆y + ou (|∆z|), ∆v(x, y) = vx0 ∆x + vy0 ∆y + ov (|∆z|),ou (|∆z|)ov (|∆z|)GDE lim= 0 = lim, TOGDA ∃ f 0 (z).∆z→0∆z→0|∆z||∆z|ÌÃÒÓ(u0x = vy0 ) ∧ (u0y = −vx0 )} = vy0 ∆x − vx0 ∆y + ou (|∆z|) + ivy0 ∆y + ivx0 ∆x + iov (|∆z|) = {o(|∆z|) == ou (|∆z|) + iov (|∆z|)} = vy0 (∆x + i∆y) + ivx0 (∆x + i∆y) + o(|∆z|) = {∆z = ∆x + i∆y} == {vy0 + ivx0 }∆z + o(|∆z|), T.E. ∃ f 0 (z) = vy0 (x, y) + ivx0 (x, y), ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.ÌÃÒÓdOKAZATELXSTWO.

sOGLASNO USLOWIQM TEOREMY W TO^KE z ∈ G IME@T MESTO SLEDU@]IE RAWENSTWA:∆f (z) = ∆u + i∆v = u0x ∆x + u0y ∆y + ou (|∆z|) + ivx0 ∆x + ivy0 ∆y + iov (|∆z|) = {USLOWIQ kO[I-rIMANA :oPREDELENIE 2. eSLI FUNKCIQ w = f (z) DIFFERENCIRUEMA NE TOLXKO W TO^KE z OBLASTI G EE OPREDE-ÔÍ-12ÔÍ-12LENIQ, NO W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI, TO \TU FUNKCI@ NAZYWA@T ANALITI^ESKOJ W \TOJ TO^KE. eSLIFUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W KAVDOJ TO^KE OBLASTI G1 ⊂ G, TO EE NAZYWA@T ANALITI^ESKOJ W\TOJ OBLASTI.zAME^ANIE 2. sOGLASNO OPREDELENI@ 1 OPERACIQ DIFFERENCIROWANIQ KOMPLEKSNYH FUNKCIJ KOM-PLEKSNOGO PEREMENNOGO OBLADAET STANDARTNYMI SWOJSTWAMI, A SPECIFIKA SWQZANA LI[X S NALI^IEMW C WTOROGO WNUTRENNEGO ZAKONA.pRIMER 1.

pUSTX f (z) = eAz= e(α+iβ)(x+iy) = e(αx−βy)+i (βx+αy) .w \TOM SLU^AE u = Re eAz = eαx−βy cos(βx + αy) ; v = Im eAz = eαx−βy sin(βx + αy).ÌÃÒÓÌÃÒÓ4fUNKCII u(x, y), v(x, y) QWLQ@TSQ GLADKIMI I SU]ESTWOWANIE DLQ NIH POLNYH DIFFERENCIALOW O^EWIDNO. pROWERIM WYPOLNENIE USLOWIJ kO[I-rIMANA. iMEEM:u0x = αeαx−βy cos(βx + αy) − βeαx−βy sin(βx + αy)vy0 = −βeαx−βy sin(βx + αy) + αeαx−βy cos(βx + αy))=⇒ u0x ≡ vy0 W R2ÔÍ-12ÔÍ-12)u0y = −βeαx−βy cos(βx + αy) − αeαx−βy sin(βx + αy)=⇒ u0y ≡ −vx0 W R20αx−βyαx−βyvx = αesin(βx + αy) + βecos(βx + αy)tAKIM OBRAZOM, W L@BOJ TO^KE z ∈ C SU]ESTWUETf 0 (z) = u0x + ivy0 = αeαx−βy cos(βx + αy) + i sin(βx + αy) + iβeαx−βy cos(βx + αy) + i sin(βx + αy) =ÔÍ-124ÌÃÒÓ= e(αx−βy)+i(βx+αy) · (α + iβ) = AeAz .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-124u = Re f (z) = x;4v = Im f (z) = −y. tAKIM OBRAZOMÌÃÒÓÔÍ-12pRIMER 2.

pUSTX f (z) = z̄ = x − iy, T.E.ÔÍ-124ÔÍ-12ÔÍ-12zAME^ANIEÌÃÒÓÌÃÒÓ)u0x ≡ 1 vx0 ≡ 0T.E. USLOWIQ kO[I-rIMANA NE WYPOLNENY NI W ODNOJ TO^KE C I 6 ∃ f 0 (z)vy0 ≡ 0 vy0 ≡ −1zAMETIM, ^TO ESLI ϕ - DIFFERENCIRUEMA I f (z) = ϕ(z̄), TOdf 0 (z) = ϕ0 (w) · z̄ I 6 ∃ f 0 (z).w=z̄ dz3. pUSTX f (z) = u(x, y) + iv(x, y) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI G1 ⊂ G ⊂ C,T.E. W KAVDOJ TO^KE G1 WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ kO[I-rIMANA: (u0x = vy0 ) ∧ (u0y = −vx0 ). dALEE MYPOKAVEM, ^TO ANALITI^ESKAQ W G1 FUNKCIQ – BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMA W G1 . iZ \TOGO SLEDUETSU]ESTWOWANIE I NEPRERYWNOSTX W G1 WTORYH SME[ANNYH PROIZWODNYH DLQ SKALQRNYH FUNKCIJ uI v I PO TEOREME O SME[ANNYH PROIZWODNYH W KAVDOJ TO^KE OBLASTI G1 IME@T MESTO RAWENSTWA:00000000(u00xy = u00yx ) ∧ (vxy= vyx). tAKIM OBRAZOM (u00xx = vxy) ∧ (u00yy = −vyx) W G1 , T.E. u00xx + u00yy = 0 W G1 .0000aNALOGI^NO vxx+vyy= 0 W G1 .

tAKIM OBRAZOM WE]ESTWENNAQ I MNIMAQ ^ASTI ANALITI^ESKOJ FUNKCII– GARMONI^ESKIE FUNKCII.zAME^ANIE4. aNALITI^ESKAQ FUNKCIQ f (z) = u(x, y) + iv(x, y) MOVET BYTX POSTROENA PUTEMZADANIQ ODNOJ IZ GARMONI^ESKIH FUNKCIJ: u(x, y) ILI v(x, y) I PODBORA WTOROJ GARMONI^ESKOJ FUNKCII, UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQM kO[I-rIMANA, ^TO \KWIWALENTNO ZADA^E NAHOVDENIQ FUNKCII PO EEPOLNOMU DIFFERENCIALU S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO. pO\TOMU WE]ESTWENNU@ I MNIMU@^ASTI ANALITI^ESKOJ FUNKCII NAZYWA@T SOPRQVENNYMI GARMONI^ESKIMI FUNKCIQMI.ÌÃÒÓ200vxx− y + 1. tOGDA2R(u0x = vy0 = −2y) =⇒ u = vy0 dx = −2xy + C1 (y)R(u0y = −vx0 = −2x) =⇒ u = (−vx0 )dy = −2xy + C2 (x)C1 (y) ≡ C2 (x) ≡ C0 − const.