Теория функций комплексной переменной (Лекции для ИУ), страница 5
Описание файла
Файл "Теория функций комплексной переменной" внутри архива находится в папке "Лекции для ИУ". PDF-файл из архива "Лекции для ИУ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 5 страницы из PDF
nUVNO NAJTI Res f (2) I Res f (θ). w RASSMATRIWA-ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓEMOM SLU^AE IZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI z01 = θ I z02 = 2 QWLQ@TSQ POL@SAMI 1-GO PORQDKA IpRIMERpRIMER 5. pUSTX f (z) = ez+1/z4z+1/zf (z) = e=I NUVNO( NAJTI Res f (θ). )kAK MY UVE ZNAEM+∞Xm=−∞∞X1N ! (N + |m|)!N =0zm ;0 < |z| < ∞.ÔÍ-12oSNOWNAQ TEOREMA O WY^ETAHz01+∞X1.N!(N+1)!N =0L1ΓGrIS.47ÌÃÒÓz0n LkÔÍ-12tAKIM OBRAZOM z0 = θ – SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA I Res f (θ) = C−1 =ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓRes f (θ) = −1/2; Res f (2) = 1/ sin 2..4.
f (z) = 1 (z 2 + 1)3 ≡ (z + i)−3 · (z − i)−3 . tAKIM OBRAZOM, IZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KIz01 = i I z02 = −i – POL@SY 3-GO PORQDKA.d213·43i13Res f (i) = lim 2 (z + i)−3 = lim(−3)(−4)(z + i)−5 ==− ;=552! z→i d z2! z→i2·2 i16 i162d13·413iRes f (−i) =limlim (−3)(−4)(z − i)−5 =(z − i)−3 == .2552! z→−i d z2! z→−i2 · 2 (−i)16eSLI f (z) – ODNOZNA^NAQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W ZAMKNUTOJ OBLASTI G ∪ ΓG , ZA ISKL@^ENIEMKONE^NOGO ^ISLA IZOLIROWANNYH TO^EK {z0k }nk=1 , OHWA^ENNYH KUSO^NO-GLADKIM ZAMKNUTYM KONTUROMZ1ΓG , TO2π iÔÍ-12Res f (z0k ).k=1ÔÍ-12ΓGf (z)dz =nXpRIMER 6.
pUSTX NEOBHODIMO WY^ISLITX ZNA^ENIEIm z−π/4 π/4Re z2rIS.48ZÔÍ-1219ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12z dz√√. iMEEM:( 2/2 − sin z)( 2/2 + sin z)|z|=2|z|=2)√kk(sin z = 2/2) =⇒ (z01= π/4 + 2π k) ∧ (z02= 3π/4 + 2π k)√. kONTUR |z| = 2 OHWATYWAET DWEkk(sin z = − 2/2) =⇒ (z03= −π/4 + 2π k) ∧ (z04= −3π/4 + 2π k)4J=z12 dz ≡21 − 2 sin zZÔÍ-12ÔÍ-12LkÌÃÒÓÌÃÒÓΓGdOKAZATELXSTWO. tAK KAK DLQ L@BOGO NOMERA k ∈ {1, 2, . . . , n} TO^KA z0k QWLQETSQ WNUTRENNEJIZOLIROWANNOJ TO^KOJ, TO KAVDU@ IZ NIH MOVNO OHWATITX OKRUVNOSTX@ Lk STOLX MALOGO RADIUSA,^TOBY ONA CELIKOM LEVALA W {G\ΓG } I NE IMELA OB]IH TO^EK S DRUGIMI OKRUVNOSTQMI Lj , GDE j 6= k.tOGDA PO TEOREME kO[I DLQ MNOGOSWQZNYH OBLASTEJ IMEEM:ZZnnXX11f (z)dz =f (z)dz ≡Res f (z0k ).2π i2π ik=1k=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12πIZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI z01 =ÔÍ-12OBRAZOMÔÍ-12ÌÃÒÓI z02 = − , KOTORYE QWLQ@TSQ POL@SAMI 1-GO PORQDKA.
tAKIM4ÔÍ-124ÌÃÒÓπÌÃÒÓoPREDELENIE|z|=NÌÃÒÓz1zπ√Res f (z01 ) = lim (z − π/4) · √= lim· lim √=−z→π/44( 2/2 − sin z)( 2/2 + sin z) z→π/4 − cos z z→π/4 2/2 + sin zz1zπ√Res f (z02 ) = lim (z + π/4) · √= lim· lim √=−z→−π/44( 2/2 − sin z)( 2/2 + sin z) z→−π/4 cos z z→−π/4 2/2 − sin z2π ππ1≡− iJ = · 2π i Res f (z01 ) + Res f (z02 ) = π i − −24422. wY^ETOM ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCIIZ f (z) OTNOSITELXNO IZOLIROWANNOJ14TO^KI z0 = ∞ NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOE ^ISLO Res f (∞) =f (z) dz, GDE N > 0 STOLX WELIKO,2π i^TO W KOLXCE BN = {z ∈ C : N < |z| < ∞} FUNKCIQ f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ. pRI \TOM OBHODKONTURA INTEGRIROWANIQ – STANDARTNYJ, TO ESTX OBLASTX BN OSTAETSQ SLEWA.ÔÍ-12ÔÍ-12zAME^ANIQ K OPREDELENI@ 2.1). Res f (∞) = −C−1 , GDE C−1 – KO\FFICIENT W LORANOWSKOM RAZLOVENII FUNKCII f (z) W OKRESTNOSTITO^KI z0 = ∞.
zNAK ”–” – SLEDSTWIE NAPRAWLENIE OBHODA KONTURA (PO ^ASOWOJ STRELKE).2). eSLI ODNOZNA^NAQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ f (z) W RAS[IRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI C ∪ {∞}IMEET LI[X IZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI, TO SUMMA WY^ETOW W NIH RAWNA NUL@ (TEOREMA O SUMMEWY^ETOW W RAS[IRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI).1f (z)dz +2π i|z|=NZÌÃÒÓZ12π if (z)dz = θ ,ÌÃÒÓdLQ OBOSNOWANIQ \TOGO UTWERVDENIQ PREDPOLOVIM, ^TO FUNKCIQ f (z) W RAS[IRENNOJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI C ∪ {∞} IMEET LI[X IZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI {z0k }nk=1 , GDE n < ∞ I|z0k | < ∞ , ∀ k 1 : n. tOGDA ∃ N > 0 TAKOE, ^TO W KOLXCE BN = {z ∈ C : N < |z| < ∞}FUNKCIQ f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ.
tAKIM OBRAZOM|z|=NZf (z)dz =nXÔÍ-1212π iÔÍ-12GDE, SOGLASNO OSNOWNOJ TEOREME O WY^ETAH,Res f (zk0 ) ,k=1|z|=NI, SOGLASNO OPREDELENI@ 2Z12π if (z)dz = Res f (∞) .pRIMER 7. dLQ FUNKCII f (z) = (5z − 1)/(z − 1)(z + 2) ≡ 4/3(z − 1) + 11/3(z + 2)ÌÃÒÓÌÃÒÓ|z|=NÔÍ-12ÔÍ-12z01 = 1 – POL@S 1-GO PORQDKA I Res f (1) = 4/3z02 = −2 – POL@S 1-GO PORQDKA I Res f (−2) = 11/3z03 = ∞ – PRAWILXNAQ I Res f (∞) = − Res f (1) − Res f (−2) = −4/3 − 11/3 = −15/3 = −5. pROWERIM\TOT REZULXTAT:∞∞411114 X 111 X (−2)k1/|z| < 1f (z) =·+·==⇒ |z| > 2 =+=⇒2/|z| < 13z 1 − 1/z 3z 1 + 2/z3z k=0 z k 3z k=0 z k411+=⇒ Res f (∞) = −C−1 = −15/3 = −5, T.E.
ESLI z0 = ∞ – PRAWILXNAQ DLQ33ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII, TO WY^ET W NEJ NE OBQZATELXNO RAWEN NUL@.ÔÍ-1220ÌÃÒÓ=⇒ C−1 =ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Im zz02pRIMER 8. pUSTXz01−1Re zz03rIS.49Zdz. fUNKCIQ f (z) = 1/(z 3 + 1) IMEET TRI IZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI z01 = −1,+1|z|=3√√z02 = (1 + i 3)/2, z03 = (1 − i 3)/2, RASPOLOVENNYE NA OKRUVNOSTI |z| = 1 I QWLQ@]IESQ POL@SAMI 1-GO PORQDKA. tO^KA z04 = ∞ – PRAWILXNAQ.3XJ = 2π iRes f (z0k ) ≡ −2π i Res f (∞)4z3ÌÃÒÓÌÃÒÓJ =k=1ÔÍ-12pRIMER 9. pUSTXZ∞−Rdx.2(x + 1)2LRrIS.504rASSMOTRIM INTEGRAL JR=−∞Z(z 2dz, GDE (SM.+ 1)2LRRIS.
50) R> 1,ÌÃÒÓÌÃÒÓJ =i4CRÔÍ-12∞∞no1111 X (−1)k X (−1)k= 3·= |z| > 1 = 3≡.f (z) = 3z +1z 1 + 1/z 3z k=0 z 3kz 3k+3k=0tAKIM OBRAZOM C−1 = 0 I J = −2π i Res f (∞) = −2π i C−1 = 0.ÔÍ-12LR−RCRZ∞ZRÌÃÒÓ0CRZπ6R dϕ=+ 1|2Zπ|R2 ei2ϕ0iNTEGRAL fURXEÔÍ-12ÔÍ-120R dϕ→ 0(R2 cos 2ϕ + 1)2 + R4 sin2 2ϕ R→∞ÌÃÒÓZdxdxπdzπJ== lim= − lim≡ , T.K.222222R→∞(x + 1)(x + 1)2 R→∞ (z + 1)2−∞−RCRZ Zπd z R i eiϕ dϕ z = R eiϕ; 06ϕ6π ==6dz = R i eiϕ dϕ (R2 ei2ϕ + 1)2 (z 2 + 1)2 4ÔÍ-12LR = CR ∪[−R; +R] I PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ f (z) = (z 2 +1)−1 ≡ (z +i)−2 (z −i)−2 IMEET DWE KONE^NYE IZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI z01 = i I z02 = −i, KOTORYE QWLQ@TSQ POL@SAMI 2-GO PORQDKA.
nOKONTUR LR OHWATYWAET LI[X ODNU IZOLIROWANNU@ OSOBU@ TO^KU z01 = i. pO\TOMU JR = 2π i Res f (i).2i1 d1Res f (z01 ) = lim(z − i)2= lim(−2)(z + i)−3 = − 3 3 = −22z→i 1! d zz→i(z − i) (z + i)2 ·i4tAKIM OBRAZOM, DLQ L@BOGO R > 1 IMEEM: ZZZRdzdzdxiπ4JR ==+=2πi·−I≡(z 2 + 1)2(z 2 + 1)2(x2 + 1)242pUSTX y = f (x) ABSOL@TNO INTEGRIRUEMA W R1 I NA L@BOM KONE^NOM INTERWALE (−l; l) UDOWLETWORQET USLOWIQM TEOREMY dIRIHLE.
w \TOM SLU^AEÔÍ-1221ÌÃÒÓ∞ a0 Xπ kxπ kx1f (x − 0) + f (x + 0) =+ak cos+ bk sin=22llk=1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-1212l−lÌÃÒÓÔÍ-121π kt π kxf (t)dt +f (t) cosdt cos+lllk=1−l l1 Zπ kt π kxf (t) sindt sin=+lll∞ XZlÔÍ-12=Zl−lÌÃÒÓ1f (t)dt +l−l1=2l∞ ZlXk=1 −lπ kxπ ktπ kxπ ktcos+ sinsinf (t) cosllllZlf (t)dt +Z∞X1k=1−ldt =ÌÃÒÓ1=2lZlllf (t) cosπ k(t − x)dtl(∗)−lZ∞(1). sOGLASNO ISHODNOMU DOPU]ENI@ ∃ÔÍ-12ÔÍ-12rASSMOTRIM PRAWU@ ^ASTX POSLEDNEGO RAWENSTWA W CEPO^KE RAWENSTW (*) PRI l → +∞:|f (x)|dx = Q < ∞. pO\TOMU−∞ ZlZl11Qlim =0;f (t)dt 6 lim|f (t)| dt 6 liml→+∞ 2ll→+∞ 2ll→∞ 2l−l−lπk, ∀k = 1, 2, . . ., POLU^AQlPOSTOQNNOE PRIRA]ENIE ∆α = π/l, TOGDA∞ Zl∞ Z lXX11π k(t − x)dt ≡f (t) cosf (t) cos [αk (t − x)] dt ∆α,l k=1lπ k=1 −lÌÃÒÓÌÃÒÓ(2).
pUSTX PEREMENNOE α NA INTERWALE (0; +∞) PRINIMAET ZNA^ENIQ αk =−lÔÍ-12∞ ZXk=1l−lÔÍ-12GDE PEREMENNOE α IZMENQETSQ DISKRETNO OT π/l DO +∞. s ROSTOM l TO^KI {αk } SDWIGA@TSQ WLEWO,POKRYWAQ WS@ POLOVITELXNU@ POLUOSX, TAK KAK α1 = π/l → 0 I ∆α = π/l → 0 PRI l → ∞. tAKIMOBRAZOMZ∞Z∞Z∞ Z∞1dαf (t) cos[α(t−x)]dt,f (t) cos[αk (t − x)]dt ∆α →f (t) cos[α(t − x)]dt dα ≡l→∞2−∞−∞0−∞TAK KAK WNUTRENNIJ INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA – ^ETNAQ FUNKCIQ ARGUMENTA α.a TAK KAKZ∞Z∞dαÌÃÒÓ−∞ÌÃÒÓ−∞f (t) sin[α(t − x)]dt ≡ 0KAK INTEGRAL OT NE^ETNOJ FUNKCII ARGUMENTA α W SIMMETRI^NYH PREDELAH, TO PRI l → +∞ S U^ETOMRAWENSTW (∗) IMEEM:−∞−∞Z∞Z∞no1f (t) cos[α(t − x)] ± i sin[α(t − x)] dt =dαf (t) e±iα(t−x) dt.2π−∞−∞22ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12dα−∞−∞ÔÍ-12−∞Z∞ÌÃÒÓ1=2π−∞Z∞ÔÍ-12Z∞Z∞11f (x − 0) + f (x + 0) =dαf (t) cos [α(t − x)] dt =22π−∞−∞ ∞∞ZZZ∞Z∞1=dαf (t) cos[α(t − x)] dt ± idαf (t) sin[α(t − x)]dt =2π ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓo1nf (x) =f (x − 0) + f (x + 0) ,24PRIHODIM K DWUM RAZLI^NYM FORMAM PREDSTAWLENIQ INTEGRALA fURXE:e−∞Z∞dαe−iαt f (t) dt;−∞−iαxe−∞Z∞Z∞dαeiαt f (t) dt .−∞ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓiαxÌÃÒÓ1f (x) =2πZ∞ÔÍ-1223ÌÃÒÓ1f (x) =2πÔÍ-12ÔÍ-12pONIMAQ RAWENSTWO W SMYSLE SREDNEGO ZNA^ENIQ:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
