Теория функций комплексной переменной (Лекции для ИУ), страница 2

tAKIM OBRAZOM:+)00vyy≡ 0 ,∀xy∈ R2=⇒ u(x, y) = −2xy + C0 , GDEÌÃÒÓpRIMER 3. pUSTX v(x, y) = x4pRIMERÔÍ-12ÔÍ-12f (z) = u + iv = −2xy + C0 + i(x2 − y 2 + 1) ≡ i(x2 + 2ixy − y 2 ) + C0 + i ≡ z 2 + C0 + i x4 x00004. pUSTX u(x, y) = e sin y − x. tOGDA uxx + uyy ≡ 0 , ∀∈ R2y)R(vx0 = −u0y = −ex cos y) =⇒ v = (−u0y )dx = −ex cos y + C1 (y)R=⇒ C1 (y) ≡ −y+C10 , GDE C10 −const(vy0 = u0x = ex sin y − 1) =⇒ v = u0x dy = −ex cos y − y + C2 (x)I C2 (x) ≡ C10 . tAKIM OBRAZOM:f (z) = ex sin y − x + i(−ex cos y − y + C10 ) ≡ −i ex (cos y + i sin y) − (x + iy) − iC10 ≡ −iez − z + iC10ÌÃÒÓÌÃÒÓiNTEGRALY OT FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGOzkA = z0∆zkxrIS.38ÔÍ-12xdUGU L TO^KAMI {zk }nk=0 RAZBIWAEM NA n \LEMENTARNYH DUG {zk ; zk+1 }n−1k=0 PROIZWOLXNYM OBRAZOM,nA KAVDOJ \LEMENTARNOJ DUGE zk zk+1 PROIZWOLXNYM OBRAZOM WYBIRAEMÔÍ-125ÌÃÒÓÌÃÒÓGDE z0 = A I zn = B.xÔÍ-12pUSTX L ⊂ C – GLADKAQ ILI KUSO^NO-GLADKAQ ORIENTIROWANNAQ DUGA, SOEDINQ@]AQ DWE FIKSIROWANNYE TO^KI A I B KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI I f (z) = u(x, y) + iv(x, y), OPREDELENA I NEPRERYWNA WOWSEH TO^KAH L.B = znyξk+1zk+1ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12x4n−1Xf (ξk+1 ) · ∆zl+1 , GDEÔÍ-12OTME^ENNU@ TO^KU ξk+1 ∈ zk zk+1 I SOSTAWLQEM INTEGRALXNU@ SUMMU Sn (f ) =ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12k=04∆zk+1 = zk+1 − zk – WEKTOR S NA^ALOM W TO^KE zk I KONCOM W TO^KE zk+1 , A |∆zk+1 | – DLINA HORDY,SOEDINQ@]EJ TO^KI zk I zk+1 .

eSLI WNE ZAWISMOSTI OT WYBORA TO^EK {zk } I {ξk } ∈ L SU]ESTWUETlimSn (f ), TO EGO NAZYWA@T INTEGRALOM OT FUNKCII f (z) PO ORIENTIROWANNOJ DUGE L ⊂ C Imax |∆zk |→0Zf (z)dz.OBOZNA^A@T1.ZZudx − vdy + i{u(x, y) + iv(x, y)} · {dx + idy} =f (z)dz =vdx − udy. tAKIM OBRAZOMLLLLÌÃÒÓÌÃÒÓoB]IESWOJSTWAZ .ZLÔÍ-12SWOJSTWA 2-8.3.Zm=1L∗ÌÃÒÓmSZf (z)dz = −f (z)dz.L∗Lk I DUGI Lk , Lk+1 IME@T LI[X ODNU OB]U@ TO^KU ∀ k = 1 : m − 1, TOk=1m ZXf (z)dz.k=1 LkeSLI DUGA L ZADANA PARAMETRI^ESKI: L = z = x + iy ∈ C : x = x(t) ∧ y = y(t), t ∈ [tA ; tB ],ÔÍ-12dz = B − A, T.K.LZtBZtALZdz =limmax |∆k |→0Xf (z(t)) · z 0 (t)dt.f (z)dz =ÔÍ-12Z≡ zn − z0 ≡ B − A.7.ZLA = x(tA ) + iy(tA ) ∧ B = x(tB ) + iy(tB ) , TO6.fm (z)dz.λm∆zk ≡lim{(z1 − z0 ) + (z2 − z1 ) + .

. . + (zn − zn−1 )} ≡max |∆k |→0LZeSLI (∀ z ∈ L)(|f (z)| < N ) I DLINA DUGI L RAWNA m(L), TO f (z)dz 6 N · m(L), T.K.ÌÃÒÓÌÃÒÓLXXXf (ξk ) · ∆zk 6 ||f (ξk )| · |∆zk | 6 N|∆zk | → N · m(L) PRI max |∆zk | → +0.8.ÌÃÒÓ5.λm fm (z)dz =L m=1eSLI L =f (z)dz =L2.NXeSLI DUGI L I L OTLI^A@TSQ LI[X NAPRAWLENIEM OBHODA, TO4.ZZ XNÔÍ-12WE]ESTWENNAQ I MNIMAQ ^ASTI INTEGRALA FUNKCII f (z) PO ORIENTIROWANNOJ DUGE L PREDSTAWLQ@TSOBOJ OBY^NYE KRIWOLINEJNYE INTEGRALY. s U^ETOM \TOGO SWOJSTWA MY MOVEM UTWERVDATX, ^TORASSMATRIWAEMYJ INTEGRAL OBLADAET STANDARTNYMI SWOJSTWAMI KRIWOLINEJNYH INTEGRALOW –eSLI L – ORIENTIROWANNYJ ZAMKNUTYJ KONTUR, TO INTEGRAL FUNKCIIf (z) PO ORIENTIROWANNOMUZZAMKNUTOMU KONTURU L WWODQT STANDARTNYM SPOSOBOM I OBOZNA^A@Tf (z) dz.LÔÍ-12=Re zdz, GDE L1 I L2 PREDSTAWLENY NA RIS.LkL1 = z = x + iy : x = t ∧ y = t, t ∈ [0; 1] =⇒ z = (1 + i)t =⇒ dz = (1 + i)dtÔÍ-126ÌÃÒÓkÔÍ-12pRIMER 1.

wY^ISLITX JZÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12xdz =ÌÃÒÓÔÍ-12t2 1 11t · (1 + i)dt = (1 + i) = + i2 0 22ÔÍ-12=⇒ J1 =ÌÃÒÓÔÍ-12Z1Z0L1yL1L2xrIS.391wY^ISLIM J2 :L2L2L20L2ÌÃÒÓÌÃÒÓ)nA U^ASTKE (y = 0) ∧ (0 6 x 6 1) IMEEM (y = 0) ∧ (dy = 0) ∧ (x ∈ [0; 1]) u ≡ x=⇒nA U^ASTKE (x = 1) ∧ (0 6 y 6 1) IMEEM (x = 1) ∧ (dx = 0) ∧ (y ∈ [0; 1]) v ≡ 0ZZZZZ1Z11J2 = udx − vdy + i vdx + udy ≡ udx + i udy ≡ xdx + i 1dy = + i20ÔÍ-12GΓG – KUSO^NO-GLADKIJ ZAMKNUTYJ KONTUR, TOdOKAZATELXSTWO.IΓGIIudx − vdy + if (z)dz =ΓGf (z)dz = 0.ΓG⊂CIÔÍ-12tEOREMA kO[I. eSLI FUNKCIQ f (z) QWLQETSQI ANALITI^ESKOJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI G ∪ Γvdx + udy.

a TAK KAK f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJΓGW ZAMKNUTOJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI G ∪ ΓG , TO W KAVDOJI TO^KE \TOJ OBLASTII WYPOLNENY USLOWIQÌÃÒÓvd + udy, T.K. u I v –udx − vdy = 0 =ΓGÌÃÒÓkO[I-rIMANA: (u0x = vy0 ) ∧ (u0y = −vx0 ). tAKIM OBRAZOMΓGNEPRERYWNY WMESTE SO SWOIMI PROIZWODNYMI I WYPOLNENY USLOWIQ NEZAWISIMOSTI KRIWOLINEJNOGOINTEGRALA OT PUTI INTEGRIROWANIQ.sLEDSTWIQ.I.eSLIUSLOWIQHLI⊂GWNUTRENNIMDWUHSWQZNAQZ–CKONTUROMTOl,OBLASTX,f (z)dz−=LlBAlOGRANI^ENZf (z)dz.ÔÍ-12ÔÍ-12KONTUROMkO[IWNE[NIMTEOREMYNAQWLÌÃÒÓ+xBAlZ+≡ 0. oTKUDA I SLEDUET ISKOMOE, T.K.x+ZLZZZ≡−~ABAB.xZÌÃÒÓrIS.39AdEJSTWITELXNO, RAZREZOM AB PREWRA]AEM ISHODNU@ OBLASTX l W ODNOSWQZNU@ I PO TEOREME kO[IBAII.

eSLI W USLOWIQH TEORMY kO[I G ⊂ C – n-SWQZNAQ OBLASTX, OGRANI^ENNAQ WNE[NIM L I WNUTREN-eSLI FUNKCIQ f (z) = u(x, y) + iv(x, y) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTIÔÍ-127ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12k=1 Lf (z)dz.ÔÍ-12Lf (z)dz = −n−1 ZXtEOREMA 1.KUSO^NO-GLADKIMI ZAMKNUTYMI KONTURAMI, TOZNIMI{lk }n−1k=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12f (z)dz QWLQETSQÔÍ-124G I z0 ∈ G – FIKSIROWANNAQ, A Z ∈ G – PROIZWOLXNAQ TO^KA, TO FUNKCIQ F (Z) =ZZz0ANALITI^ESKOJ W G I F 0 (Z) = f (Z).dOKAZATELXSTWO.tAK KAK FUNKCIQf (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W G,Z TO DLQ L@BOGO KUSO^NO-GLADKOGO ZAMKNUTOGO KONTURA L1 ∪ L2 ⊂ G PO T.kO[If (z)dz ≡ θ.L1 ∪L2L2L1ZrIS.40z0Zxf (z)dz.

tAKIM OBRAZOM INTEGRAL PO DUGE z0 Z NE ZAWISIT OTf (z)dz =xxnO TOGDA (SM. RIS.)ÌÃÒÓÌÃÒÓZz0 αZz0 βZÔÍ-12Z (x,y)4ZZudx − vdy U (x, y) = Re F (Z) ≡4(x0 ,y0 )Z (x,y)F (Z) = f (z)dz =⇒4udy + vdxz0 V (x, y) = Im F (Z) ≡(x0 ,y0 ).ÔÍ-12FORMY DUGI, A ZAWISIT LI[X OT OGRANI^IWA@]IH EE TO^EK z0 I Z, T.E. OPREDELENA FUNKCIQÌÃÒÓÌÃÒÓtAK KAK W G DLQ FUNKCIJ u(x, y) I v(x, y) WYPOLNENY USLOWIQ kO[I-rIMANA, TO NA OSNOWANIITEOREMY O ^ETYREH \KWIWALENTNYH USLOWIQH NEZAWISIMOSTI KRIWOLINEJNOGO INTEGRALA OT PUTI INTEGRIROWANIQMY, ^TO W G ∃ dU) = udx − vdy I ∃ dV = udy + vdx. tAKIM OBRAZOM)() MOVEM( UTWERVDATX(Ux0 = Vy0Vx0 = vUx0 = u, T.E. FUNKCIQ F (Z) = U + iV QWLQETSQ ANALITI=⇒∧Uy0 = −Vx0Vy0 = uUy0 = −v^ESKOJ I F 0 (Z) = Ux0 + iVx0 = u + iv ≡ f (z), T.K.

WYPOLNENY USLOWIQ kO[I-rIMANA I ∃ dU ∧ ∃ dV .WGsLEDSTWIQ IZ TEOREMY 1.ÔÍ-12ÔÍ-12I.) eSLI F10 (z) = F20 (z), ∀ x ∈ G, TO F1 (z) − F2 (z) ≡ C − const W G.4dOKAZATELXSTWO. pUSTX ϕ(z) = α + iβ = F1 (z) − F2 (z). tOGDA FUNKCIQ ϕ(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W G I ϕ0 (z) = F10 (z) − F20 (z) ≡ θ, T.E. αx0 ≡ 0 ≡ βx0 , A IZ USLOWIJ kO[I-rIMANA αy0 ≡ 0 ≡ βy0 , T.E.α ≡ C1 ∧ β ≡ C2 I ϕ(z) ≡ C1 + iC2 − const.Z Z0II.) eSLI f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W G I Φ (z) = f (z), TOf (z)dz = Φ(Z) − Φ(z0 ).z0ÌÃÒÓddZZf (z)dzf (Z), TO SOGLAcNO SLEDSTWI@ 1 IMEEM:=z0f (z)dz = Φ(Z) + C I PRI Z = z0 NAHODIM C = −Φ(z0 ).z0dz=(z − z0 )n2πi ; n = 10 ; n>1, TAK KAK, ESLI z = z0 + ρ eiϕ ,|z−z0 |=ρGDE ϕ ∈ [0; 2π), TO dz = i ρ e dϕ Iiϕρz0 + ρ eiϕz0rIS.41ÔÍ-128ÔÍ-12ÔÍ-12pRIMER. pUSTX n ∈ {1, 2, .

. .} IIÌÃÒÓZtAK KAKZÌÃÒÓdOKAZATELXSTWO.ZÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12=ρ ieiϕ dϕ=iρ eiϕdϕ ≡ 2πi ;00Z2πρ i eiϕ dϕin > 1 =⇒=≡ n−1ninϕρ eρ0no1−i(n−1)2π≡−e−1≡ 0.(n − 1)ρn−1 | {z }IÔÍ-12Z2π≡1Z2πe−i(n−1)ϕ dϕ = −2πi−i(n−1)ϕ ·e ≡ρn−1 i(n − 1)00ÌÃÒÓÌÃÒÓiNTEGRALXNAQ FORMULA kO[IÌÃÒÓÔÍ-12n = 1 =⇒ÌÃÒÓÔÍ-12Z2πIpUSTX FUNKCIQ f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI G∪ΓG , OGRANI^ENNOJ KUSO^NOGLADKIM ZAMKNUTYM KONTUROM ΓG , I z0 QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ OBLASTI G.G4γΓGrIS.42ÔÍ-12ÔÍ-12z0tOGDA ∃ρ > 0 : γ = z : |z−z0 | = ρ ⊂ G. w \TOM SLU^AE FUNKCIQ f (z) (z−z0 ) QWLQETSQ ANALITI^EcKOJW DWUHSWQZNOJ OBLASTI, OGRANI^ENNOJ KONTURAMI ΓG I γ.

pO\TOMU, SOGLASNO SLEDSTWI@ I IZ TEOREMYkO[I, IMEEM:ZZZf (z)dzz − z0(∗)γÌÃÒÓÌÃÒÓf (z) WO WSEH TO^KAH G ∪ ΓG SLEDUET EE NEPRERYWNOSTXWO WSEH TO^KAH KRUGA Kρ= {z:|z − z0 | 6 ρ} ⊂ G.tAKIM OBRAZOM(∀ ε > 0)(∃ ρ > 0) : (|z − z0 | = ρ) =⇒ |f (z) − f (z0 )| < ε. pO\TOMU ZZZ f (z) − f (z0 ) f (z)dzf(z)dzε|f (z) − f (z0 )|0=· m(γ) < · 2πρ ≡ 2πε (∗∗)−dz 6 maxz∈γz − z0z − z0 z − z0|z − z0 |ρFUNKCII4γγγÔÍ-12ÔÍ-12ANALITI^NOSTIf (z)dz≡z − z0γΓGiZf (z)dz = −z − z0eSLI U^ESTX, ^TOZγZf (z0 ) dz≡ f (z0 )z − z0dz≡ 2π i f (z0 ) – NE ZAWISIT OT ε I, SOGLASNO RAWENSTWU (∗), NERAWENSTWOz − z0γÌÃÒÓΓGΓGNI OT ε > 0, NI OT ρ > 0.ÌÃÒÓ(∗∗) MOVET BYTX PREDSTAWLENO W SLEDU@]EM WIDE:ZZf (z)1f (z)dz, T.K. WSE WHODQ]IE WELI^INY NE ZAWISQT z − z0 dz − 2π i f (z0 ) < ε, TO f (z0 ) = 2π iz − z0pRIME^ANIE. iNTEGRALXNAQ FORMULA kO[I POZWOLQET NAHODITX ZNA^ENIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIIWO WNUTRENNIH TO^KAH ODNOSWQZNOJ OBLASTI G PO EE ZNA^ENIQM NA ΓG .sLEDSTWIE 1.

pROIZWODNAQ L@BOGO PORQDKA OT ANALITI^ESKOJ FUNKCII – ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ.ÌÃÒÓÔÍ-129ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ΓGÔÍ-12ΓGΓGdOKAZATELXSTWO. pUSTX f (z) ANALITI^NA W ODNOSWQZNOJ OBLASTI G ∪ ΓG I z0 ∈ G – WNUTRENNQQTO^KA. tOGDA ∀ ∆z : |∆z| < min |z − z0 |, T.E. z0 + ∆z ∈ G \ ΓG , IMEEM:z∈ΓGZZZf (z0 + ∆z) − f (z)1f (z) dzf (z)1f (z) dz=−dz =.∆z2π i ∆z  z − z0 − ∆zz − z0  2π i(z − z0 − ∆z)(z − z0 )ÌÃÒÓÌÃÒÓf (z) dz.(z − z0 )2ΓGsOWER[ENNO ANALOGI^NO NAHODIM :0ÔÍ-120f (z) dz−(z − z0 − ∆z)2ΓG2Zf (z0 + ∆z) − f (z0 )1=∆z2π i ∆z ZΓG2f (z) dz ≡(z − z0 )2 2(z − z0 ) − (z − z0 ) + 2∆z(z − z0 ) − ∆ zf (z)dz.(z − z0 − ∆z)2 (z − z0 )2ΓGZf (z) dz2!00tAKIM OBRAZOM f (z0 ) =I T.D.2π i(z − z0 )3ÌÃÒÓÌÃÒÓ1!2π i∆z≡ZÌÃÒÓÔÍ-121!tAKIM OBRAZOM f 0 (z0 ) =2π iÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ZΓGiSPOLXZUQ METOD POLNOJ MATEMATI^ESKOJ INDUKCII MOVNO DOKAZATX, ^TO ∀ n > 0 IMEET MESTO BYTXf (z) dz.(z − z0 )n+1ÔÍ-12ÔÍ-12Zn!(z) =2π iRAWENSTWO: f(n)ΓGsLEDSTWIE2.