Теория функций комплексной переменной (Лекции для ИУ), страница 3

iNTEGRALXNAQ FORMULA kO[I I FORMULA DLQ NAHOVDENIQ n-OJ PROIZWODNOJ OT ANALITI^ESKOJ FUNKCII MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY DLQ WY^ISLENIQ KONTURNYH INTEGRALOW.ypRIMER 2.Z|z−3i|=2rIS.43θf (z) = ez /z QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W KRUGE zeS CENTROM W TO^KE 3i I RADIUSOM z, A z0 = 2i −dz ==z(z − 2i)ZWNUTRENNQQ TO^KA \TOGO KRUGAezdze2i·= 2π i≡ π(cos 2 + i sin 2).z (z − 2i)2iÔÍ-12ÔÍ-12|z−3i|=2pRIMER 3.Zcos zdz =(z − i)3z0 = in+1=3=2π i d2· 2 cos z = −2π i cos i = −π i ch 1, T.K.2! dzz=i|z|=10OKRUVNOSTX |z| = 10 OHWATYWAET TO^KU z0 = i.tEOREMA tEJLORA.ÌÃÒÓf (z)”RAZLAGAETSQWRQD”POCELYMrξγρrIS.444(z − z0 ).pUSTX γρ = {ξ : |ξ − z0 | = ρ < r} – GRANICA KRUGA Kρ ⊂ G I10ÌÃÒÓÔÍ-12dOKAZATELXSTWO.STEPENQMÔÍ-12ÔÍ-12ρ z0zPOLOVITELXNYMÔÍ-12FUNKCIQz∈ΓGÌÃÒÓz0pUSTX FUNKCIQ f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI G ⊂ C.

eSLI– WNUTRENNQQ TO^KA G I r = min |z − z0 |, TO W KRUGE Kρ = {z : |z − z0 | 6 ρ < r} ⊂ CÌÃÒÓ=xÌÃÒÓÌÃÒÓ3i2iÌÃÒÓÌÃÒÓ ZÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓf (ξ)dξ, GDE z – WNUTRENNQQ TO^KA KRUGA Kρ , TO ESTX |z − z0 | < ρ, I ξ ∈ γρ . tAK KAKξ−zÔÍ-12ÔÍ-121f (z) =2π iγρ∞X1111(z − z0 )k≡≡·=.k+1ξ−z(ξ − z0 ) − (z − z0 )ξ − z0 1 − (z − z0 )/(ξ − z0 )(ξ−z0)k=0∞Xf (ξ)(z − z0 )k=tAKIM OBRAZOMf (ξ)I PRI FIKSIROWANNOM z RASSMATRIWAEMYJ FUNKCIONALXk+1ξ−z(ξ−z0)k=0(z − z0 )kSHODITSQ RAWNOMERNO OTNOSITELXNO ξ, TAK KAKNYJ RQD f (ξ)(ξ − z0 )k+1 k>0k kkf (ξ) (z − z0 ) 6 max |f (ξ)| · |z − z0 | = max |f (ξ)| · |z − z0 | I RQD {|z − z0 |k /ρk+1 }k>0 SHODITSQξ∈γρξ∈γρ(ξ − z0 )k+1 |ξ − z0 )k+1ρk+1KAK GEOMETRI^ESKAQ PROGRESSIQ, T.K. |z − z0 | < ρ.

pRI NALI^II RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI SUMMU FUNKCIONALXNOGO RQDA MOVNO PO^LENNO INTEGRIROWATX:ZZZ∞ kX1f (ξ)(z − z0 )1f (ξ) dξ 1dξ =f (ξ)dξ=(z − z0 )k .f (z) = 2π i2π i(ξ − z)2π i(ξ − z0 )k+1(ξ − z0 )k+1 k=0γργρtAKIM OBRAZOM,1ak =2π ikak · (z − z0 ) ;k=0Zf (z) =∞Xf (ξ) dξ1 (k)≡f (z0 ) , ∀ k > 0.(ξ − z0 )k+1k!γρÔÍ-12γρÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ|z − z0 | |ξ − z0 | < 1, TOpRIME^ANIE.

pUSTX max |f (ξ)| = M (ρ), TOGDAÌÃÒÓÌÃÒÓpRI \TOM {ak }k>0 NE ZAWISIT OT z.pRIMER. ln(1 + z) =∞X(−1)k−1 ·k=1f (z0 ) = ln 1 = 0 f 0 (z0 ) = (1 + z)−1 zk; |z| < 1, TAK KAK PRI z0 = 0 IMEEM:k=1z=θ −2 f 00 (z0 ) = (−1)(1 + z) z=θ= (−1)k−1 · (k − 1)!.z=θnULI ANALITI^ESKOJ FUNKCIIoPREDELENIEÌÃÒÓÌÃÒÓ= −1f 000 (z0 ) = (−1)(−2)(z − z0 )−3 = 2!z=θ-----------------------(k)−k f (z0 ) = (−1)(−2) . . . (−k + 1)(z − z0 ) ÔÍ-12ÔÍ-12 ξ∈γρZ 1f(ξ)dξ 6 1 max |f (ξ)| ·m(γρ ) = 1 M (ρ) 2πρ. tAKIM OBRAZOM MY PRIHODIM K|ak | = k+1(ξ − z0 ) 2π ξ∈γρ |ξ − z0 |k+12π ρk+1 2π iγρNERAWENSTWU kO[I, |ak | 6 M (ρ) ρk , KOTOROE POZWOLQET OCENIWATX SKOROSTX UBYWANIQ KO\FFICIENTOWRQDA tEJLORA.ÔÍ-12ÔÍ-121.

tO^KU z0 NAZYWA@T NULEM PORQDKA m ANALITI^ESKOJ FUNKCIII f (z), ESLIf (z0 ) = f 0 (z0 ) = . . . = f (m−1) (z0 ) = θ 6= f (m) (z0 ).oPREDELENIE 2.tO^KU z0 NAZYWA@T NULEM PORQDKA m ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z), ESLI SU]ESTWUET ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ ϕ(z) TAKAQ, ^TO ϕ(z0 ) 6= θ I f (z) = (z − z0 )m ϕ(z).tEOREMA. oPREDELENIE 1, 2 \KWIWALENTNY.dOKAZATELXSTWO. tAK KAK FUNKCIQ f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W TO^KE z0 , TO, SOGLASNO TEOREMEÌÃÒÓÔÍ-1211ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12tEJLORA W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI(z − z0 )m−10(m−1)+f (z) = f (z0 ) + f (z0 ) · (z − z0 ) 1! + .

. . + f(z0 ) ·(m − 1)!1(z − z0 )+(z − z0 )m · f (m) (z0 )+ f (m+1) (z0 )+ ...m!(m + 1)!(∗)α). eSLI SPRAWEDLIWO OPREDELENIE 1, TO PERWAQ FIGURNAQSKOBKA RAZLOVENIQ (*) TOVDESTWENNO RAWNAθ, A WTORAQ ZADAET FUNKCI@ ϕ(z) I ϕ(z0 ) ≡ f (m) (z0 ) m! 6= θ.ÌÃÒÓÌÃÒÓβ). eSLI IMEET MESTO OPREDELENIE 2, TO IZ RAZLOVENIQ (*) SLEDUET, ^TO ϕ(z) OPREDELQETSQ WYRAVENIEM, STOQ]IM WO WTOROJ FIGURNOJ SKOBKE I ϕ(z0 ) 6= θ, T.E. f (m) (z0 ) 6= θ, A PERWAQ FIGURNAQ SKOBKADOLVNA BYTX TOVDESTWENNO RAWNOJ θ, T.E. f (z0 ) = f 0 (z0 ) = .

. . = f (m−1) (z0 ) = θ.rQD lORANApUSTX FUNKCIQ f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W KOLXCE D = {ξ ∈ C : 0 < r < |ξ − z0 | < R < ∞} Iz – NEKOTORAQ FIKSIROWANNAQ WNUTRENNQQ TO^KA \TOGO KOLXCA.ÔÍ-12γρ Γr∗Γrzr∗R∗rRz0rIS.45∗oBRAZUEM NOWOE KOLXCO D = {ξ ∈ C : r < r < |ξ − z0 | < R∗ < R}, CELIKOM LEVA]EE WKOLXCE D I SODERVA]EE z KAK SWO@ WNUTRENN@@ TO^KU.

pOLAGAEM ΓR∗ = {ξ ∈ C : |ξ − z0 | = R∗ } IÌÃÒÓÌÃÒÓ∗ÔÍ-12ΓR ΓR∗ÔÍ-12ÔÍ-12ΓR∗Γr∗ = {ξ ∈ C : |ξ − z0 | = r∗ }.pUSTX γρ = {ξ ∈ C : |ξ − z| = ρ} ⊂ D ∗ ⊂ D – OKRUVNOSTX S CENTROM W TO^KE z, CELIKOM LEVA]AQW KOLXCE D ∗ .tAK KAK FUNKCIQ f (ξ) (ξ − z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D \ {z}, TO, PO INTEGRALXNOJTEOREME kO[I DLQ MNOGOSWQZNYH OBLASTEJ, IMEEM:ZZZ1f (ξ)1f (ξ)1f (ξ)dξ =dξ +dξ .2π iξ−z2π iξ−z2π iξ−zγρΓr∗nO POSLEDNIJ INTEGRAL W LEWOJ ^ASTI \TOGO NERAWENSTWA RAWEN f (z) SOGLASNO INTEGRALXNOJ FORMULEkO[I. tAKIM OBRAZOMZZf (ξ)1dξ −ξ−z2π if (ξ)dξ .ξ−zΓr∗rASSMOTRIM PERWYJ INTEGRAL, W KOTOROM ξ ∈ ΓR∗ , T.E.

|ξ − z0 | > |z − z0 |. w \TOM SLU^AEÌÃÒÓÌÃÒÓΓR∗1f (x) =2π iΓR∗ÔÍ-1212ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ΓR∗∞X1111(z − z0 )k==·=– SHODITSQ ABSOL@TNOk+1ξ−z(ξ − z0 ) − (z − z0 )(ξ − z0 ) 1 − (z − z0 ) (ξ − z0 )(ξ−z0)k=04 KAK GEOMETRI^ESKAQ PROGRESSIQ (q = (z − z0 ) (ξ − z0 ) < 1). wOSPOLXZOWAW[ISX TEOREMOJ wEJER[TRASSA O MAVORANTE, MY MOVEM UTWERVDATX, ^TO \TOT RQD SHODITSQ TAKVE I RAWNOMERNO. a TAKKAK FUNKCIQ f (ξ) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W TO^KAHOKRUVNOSTI ΓR∗ , TO ONA OGRANI^ENA NA \TOJOKRUVNOSTI I RQD S OB]IM ^LENOM f (ξ) · (z − z0 )k (ξ − z0 )k+1 SHODITSQ RAWNOMERNO NA ΓR∗ I DOPUSTIMOPO^LENNOE INTEGRIROWANIE EGO SUMMY:ZZ X∞∞X1f (ξ)1f (ξ)(z − z0 )kdξ =dξ=Ck · (z − z0 )k ,k+12π iξ−z2π i(ξ−z)0k=0k=0ÌÃÒÓÌÃÒÓf (ξ)dξ , ∀ k > 0.(ξ − z0 )k+1ÔÍ-12ÌÃÒÓΓR∗rASSMOTRIM WTOROJ INTEGRAL, W KOTOROM ξ ∈ Γr∗ , T.E.

|ξ − z0 | < |z − z0 |. w \TOM SLU^AEk=−∞ÌÃÒÓZn=−∞Γr∗ÔÍ-121GDE Ck =2π i4ÔÍ-12Γr∗f (ξ)dξ , ∀ k 6 −1.(ξ − z0 )k+1Γr∗tAKIM OBRAZOM W KOLXCE D: f (z) =+∞XÌÃÒÓ∞X1111(ξ − z0 )n==−·=−=ξ−z(ξ − z0 ) − (z − z0 )(z − z0 ) 1 − (ξ − z0 ) (z − z0 )(z − z0 )n+1n=0−1 −k = n + 1, n = −k − 1 X(z − z0 )kn = 0 ⇐⇒ k = −1=.=−(ξ − z0 )k+1k=−∞n = ∞ ⇐⇒ k = −∞pOWTORIW RASSUVDENIQ, PRIWEDENNYE WY[E, POLU^AEM:ZZ−1 −1XX1f (ξ) dξf (ξ)1k=dξ · (z − z0 ) =Ck · (z − z0 )k ,−k+1 2π i2π iξ−z(ξ − z0 )ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Z1GDE Ck =2π i4Ck (z − z0 )k .k=−∞ÌÃÒÓ12π iCk ≡f (ξ) dξ;(ξ − z0 )k+1ÌÃÒÓwZQW PROIZWOLXNU@ OKRUVNOSTX Γ= {ξ ∈ C:|ξ − z0 | = α ∈ (r; R)},I WOSPOLXZOWAW[ISXTEOREMOJ kO[I DLQ MNOGOSWQZNYH OBLASTEJ, UBEVDAEMSQ W TOM, ^TOZk = 0; ±1; ±2; .

. ..Γ111pRIMER 1. pREDPOLOVIM, ^TO FUNKCI@ f (z) = (z − 1)(z≡−NUVNO ”RAZLO− 2)(z − 2) (z − 1)VITX PO STEPENQM (z − 2).” iMEEM:ÔÍ-12ÔÍ-12∞X111(1) f (z) =(−1)k (z − 2)k ;−= |z − 2| < 1 =−(z − 2) 1 + (z − 2)(z − 2) k=0∞∞XX111(−1)k(−1)k+11(2) f (z) =−·−≡≡= |z − 2| > 1 =(z − 2) z − 2 1 + 1 (z − 2)z − 2 k=0 (z − 2)k+1(z − 2)k+1k=1∞X(−1)n≡.(z − 2)nn=22.pUSTXFUNKCIQf (z) OPREDELENA W PRIMERE 1,TOESTX111f (z) ==−.(z − 2)(z − 1)z−2 z−1tO^KI z01 = 1, z02 = 2 QWLQ@TSQ TO^KAMI, W KOTORYH RASSMATRIWAEMAQ FUNKCIQ TERQET SWOJSTWOANALITI^NOSTI. oBLASTI ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII PREDSTAWLENY NA SLEDU@]EM RIS.

46.ÌÃÒÓÔÍ-12G3 = {z ∈ C : |z| > 2} =⇒ÔÍ-1213ÔÍ-12G2 = {z :∈ C : 1 < |z| < 2} =⇒∞∞XX1111−1−1k=⇒ f (z) = − ·− ·=·z +;k+12 1 − z/2 z 1 − 1/z2z k+1k=0k=0ÌÃÒÓG1 = {z ∈ C : |z| < 1} =⇒∞∞∞111 X z k X k Xn11 o k=⇒ f (z) ≡ − ·+=−+z ≡1 − k+1 z ;2 1 − z/2 1 − z2 k=0 2k k=02k=0ÌÃÒÓpRIMERÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12∞∞∞ n∞XXXX 12k111111k2 − 1 · k+1 ≡(2k − 1) · k+1 =− ·==⇒ f (z) = ·−=k+1k+1z 1 − 2/z z 1 − 1/zzzzzk=0k=0k=0k=1−2X−n = k + 1==(2−n−1 − 1) z n .k = 1 ⇐⇒ n = −2n=−∞ÌÃÒÓ2G2G3rIS.46ÔÍ-12oSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCIIÔÍ-12I.1ÌÃÒÓG1pUSTX f (z) – ODNOZNA^NAQ ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 =6∞, ZAISKL@^ENIEM BYTX MOVET SAMOJ \TOJ TO^KI, T.E.f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W KOLXCEK = {z ∈ C : 0 < |z − z0 | < ρ}. oTNOSITELXNO z0 WOZMOVNY DWA PREDPOLOVENIQ:4ÌÃÒÓÌÃÒÓ(1) SU]ESTWUET KONE^NOE KOMPLEKSNOE ^ISLO a0 TAKOE, ^TO ESLI f (z0 ) = a0 , TO f (z) STANOWITSQANALITI^ESKOJ W KRUGE D = {z ∈ C ; |z − z0 | < ρ};(2) NE SU]ESTWUET KOMPLLEKSNOGO ^ISLA a0 , KAK W SLU^AE (1).eSLI REALIZUETSQ SLU^AJ (1), TO GOWORQT, ^TO z0 – PRAWILXNAQ DLQ f (z).

eSLI REALIZUETSQ SLU^AJ(2), TO GOWORQT, ^TO z0 – IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA DLQ f (z).1. eSLI f (z) = 1 (z − 1)(z − 2), TO z01 = 1 I z02 = 2 – IZOLIROWANNYE OSOBYE TO^KI DLQf (z0 ).2 −12. eSLI f (z) = 1 + e1/z, TO z0 = θ NE QWLQETSQ IZOLIROWANNOJ DLQ f (z), T.K.p2−2π(2k + 1)i I W L@BOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 = θ1 + exp(1/z ) = θ ⇐⇒ z = π(2k + 1)i ⇐⇒ zk = 1ESTX DRUGIE OSOBYE TO^KI.pRIMERII.ÔÍ-12ÔÍ-12pRIMERtEOREMA 1.ÌÃÒÓ∞XÔÍ-12γeSLI k < 0 I ρ1 → 0, TO Ck ≡ 0 I MY PRIHODIM K RAZLOVENI@ tEJLORA: f (z) =∞Xk=0f (z0 ) = C0 ≡ a0 IÔÍ-1214Ck (z − z0 )k , T.E.ÌÃÒÓγÔÍ-12Z1f (ξ) dξ; γ = {z ∈ C : |z − z0 | = ρ1 < ρ} ⊂ Df (z) =Ck · (z − z0 ) ; Ck =k+12πi(ξ−z0)k=−∞ZZγMM1|f (ξ)| · |dξ|M2π ρ1 = k|Ck | 6<|d ξ| =k+1k+1k+1|2π i||ξ − z0 |ρ12π ρ12π ρ1kÌÃÒÓpUSTX f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W KOLXCE K = {z : 0 < |z − z0 | < ρ}. tO^KAz0 6= ∞ – PRAWILXNAQ DLQ f (z) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET OKRESTNOSTX TO^KI z0 , WKOTOROJ |f (z)| < M < ∞.J nEOBHODIMOSTX.

eSLI z0 6= ∞ – PRAWILXNAQ, TO f (z) MOVNO DOOPREDELITX W TO^KE z0 KONE^NYM^ISLOM TAK, ^TO f (z) STANOWITSQ ANALITI^ESKOJ W KRUGE D = {z : |z − z0 | < ρ} I, KAK SLEDSTWIE,OGRANI^ENNOJ W D.dOSTATO^NOSTX. pUSTX TEPERX |f (z)| < M < ∞ W D = {z ∈ C : |z − z0 | < ρ}. tOGDA W KOLXCEK = {z ∈ C : 0 < |z − z0 | < ρ} IMEEM RAZLOVENIE W RQD lORANA:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12sLEDSTWIQ IZ TEOREMY 1.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(1) ∃ lim f (z) = a0 6= ∞ ;(2) f (z) =z→z0∞XÔÍ-121).

sLEDU@]IE DWA OPREDELENIQ PRAWILXNOJ (USTRANIMOJ) TO^KI ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJFUNKCII f (z) \KWIWALENTNY ISHODNOMU:Ck (z − z0 )k .k=0ÌÃÒÓÌÃÒÓ2). z0 6= ∞ – IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA ODNOZNA^NOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z) TOGDA ITOLXKO TOGDA, KOGDAILI ∃ lim f (z) = ∞, ILI 6 ∃ lim f (z).z→z0z→z0∞.sin z X=(−1)k z 2k (2k + 1)! ; |z| < ∞, T.E. z0 = θ – PRAWILXNAQ.3. f (z) =zk=0pRIMERpRIMER 4.

f (z) = e1/z=∞X1 k! z k ; 0 < |z| < ∞, T.E. z0 = θ – IZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA.k=0ÔÍ-12zAME^ANIEÔÍ-12III. pUSTX W OKRESTNOSTI TO^KI z0 6= ∞, QWLQ@]EJSQ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ ODNOZNA^NOJANALITI^ESKOJ FUNKCII f (z), FUNKCIQ f (z) NE OGRANI^ENA, NO ∃ lim f (z) = ∞. w \TOM SLU^AE TO^KUz→z0z0 NAZYWA@T POL@SOM..