Плужников Б.И., Люминарский С.Е. - Движение механизмов под действием приложенных сил, страница 4

Первый способ основан напреобразовании выражения для угловой скорости с учетом перехода от независимой переменной (времени t) к обобщенной угловой координате 1 :1 d 1dtd 1 d 1d 1 1 .d 1 dtd 1В соответствии со вторым способом используют уравнение движения, записанное в дифференциальной форме:1 M пр12 dI пр.I пр 2 I пр d 1В этом случае для определения углового ускорения должна быть известна не только зависимость частоты вращения от угла поворота звена приведения 1 (1 ), но зависимости суммарно-ОГЛАВЛЕНИЕБ. И. Плужников, С. Е. ЛюминарскийДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ23 отго приведенного момента инерции I пр  1  и суммарного момента внешних сил M ПР  1того же угла поворота.Выбор способа вычисления углового ускорения при решении задачи определяется режимом работы механизма (установившийся или неустановившийся).

Если в условиях задач режим явно не указан, то для поиска решения следует использовать косвенные признаки.Например, одним из признаков установившегося движения является то, что сумма работвсех сил за время работы механизма равна нулю: Aц  0.Если учесть, что работа сил тяжести для механизмов с циклическим движением также равна нулю, то работа движущих сил будет равна работе сил сопротивления за цикл работы:ццAд  Aс . Указанные признаки являются следствиями свойств установившегося режима дви-жения, для которого за цикл работы не происходит увеличения или уменьшения кинетическойэнергии механизма, поэтому скорости движения начального звена в начале и в конце циклаодинаковы.Для оценки неравномерности движения механизма за цикл работы в установившемся режиме используют величину, называемую коэффициентом неравномерности движения:1max  1min1ср,где 1ср — среднее значение частоты вращения; 1max и 1min —максимальное и минимальноезначения частоты вращения за цикл работы.

Обычно стремятся к тому, чтобы неравномерностьдвижения в установившемся режиме была достаточно малой, т. е. чтобы выполнялось неравенство  << 1. Этого достигают присоединением к начальному звену дополнительной массы,называемой маховиком. В расчетах массу маховика учитывают путем увеличения приведенного момента инерции первой группы звеньев I Iпр .Величина момента инерции первой группы звеньев, обеспечивающего необходимую неравномерность движения, определяется на основании уравнения движения, записанного вэнергетической форме T  Tнач  A .

Полная кинетическая энергия механизма складывается изкинетических энергий групп звеньев, обладающих постоянной и переменной во время движения величинами T  TI  TII , тогда TI  A  TII  Tнач . Поскольку неравномерность движенияопределяется изменением кинетической энергии первой группы звеньев TI  ( A  TII ) ,необходимо найти наибольшую величину этого изменения.TIнб  TImax  TIm in 2I IПРmaxI ПР 2122 I min  I IПР (max min)222ОГЛАВЛЕНИЕБ. И. Плужников, С. Е.

ЛюминарскийДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ24Преобразуем последний сомножитель следующим образом:22max min2Следовательно,  max  min2 (max  min )ср ср2срT1нб.2I Iпр срЭта формула позволяет провести оценку неравномерности установившегося движения при заданных параметрах динамической модели, а также может быть использована для подбора этих параметров при заданных значениях коэффициента неравномерности.Далее рассмотрим несколько типичных задач. Задачи составлены таким образом, чтобысодержащаяся в них информация была достаточной для получения однозначного ответа. Задачи носят в основном смысловой характер и требуют минимального объема простых вычислений.3.1.

Определение работы внешних силНа рис. 13 представлена зависимость приведенного движущего момента M дпр от угла поворота звена приведения 1 некоторого механизма. Необходимо определить работу Aд движущего момента при повороте звена приведения из позиции 2 впозицию 6.Известно, что работа момента движущих сил может бытьопределена по формулеконпрAд   М д d 1 ,начгде нач и кон — углы поворота звена приведения в начальномРис. 13. График приведенногодвижущего моментаи конечном положениях.Геометрическая интерпретация интеграла представляет собой площадь под кривой, а процедура интегрирования идентична процедуре суммирования. Следовательно, результат будет определяться суммой площадей под кривой М дпр  М дпр (1 ) от позиции 2 до позиции 6:1S  a  a  2a  a  2,5 a 2 .2С учетом масштабов графических построений получим значение работы движущего момента:ОГЛАВЛЕНИЕБ.

И. Плужников, С. Е. ЛюминарскийДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ25Aд S2,5  400 50 Дж.м  2 103.2. Определение скорости движенияНа рис. 14 приведены зависимости суммарной работы внешних сил A и суммарного приведенного момента инерции I пр от угла поворота звена приведения 1 некоторого механизма.Необходимо определить значение частоты вращения звена приведения 1 в позиции i, если вначальной позиции оно было неподвижно.абРис.

14. Графики суммарной работы (а) и приведенного суммарногомомента инерции (б)Для неустановившегося режима движения (его признаком является увеличение значениясуммарной работы A за цикл) частоту вращения находят по формуле1 2  A  Tнач пр.IПоскольку в начальном положении механизм неподвижен  1нач  0  и начальная кинетичепр21нач 0, тоская энергия механизма Tнач  1/ 2I ΣначA yI 50y A 100 0,1 кг  м 2 ; 20 Дж; I пр I 500A51 2 A  2  20  20 рад/c.I Σпр0,1ОГЛАВЛЕНИЕБ. И.

Плужников, С. Е. ЛюминарскийДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ263.3. Определение ускорения движения(первый способ)На рис. 15 представлена зависимость частоты вращения звена приведения 1 от угла поворота 1. Определить угловое ускорение звена приведения 1 i  в позициях 3 и 7.По определению 1  d 1 (dt ). Если выполнить замену переменной, то угловое ускорение может бытьнайдено следующим образом:1 Рис. 15. График частоты вращениязвена приведениияd 1 d 1d 1 1 .dt d 1d 1Соотношение d 1 / d 1 равно тангенсу угла наклонакасательной к кривой 1 1 в конкретной точке. Следовательно,i 1 iy  tg  i   2 y i tg  i  ;  1 3 1 71010 1  25 рад/c2 ;410 20   1  50 рад/с2 .43.4. Определение ускорения движения(второй способ)На рис.

16 приведены зависимости суммарной работы A и суммарного приведенного момента инерции I пр от угла поворота звена приведения 1 некоторого механизма при разгонеиз неподвижного состояния под действием постоянного приведенного суммарного моментаM пр  200 Н  м. Необходимо определить угловое ускорение 1 в i-й позиции.В основе решения лежит использование уравнения, которое справедливо и для неустановившегося режима разгона:1 прпрM   1  dI  .пр2 I прd 1I2ОГЛАВЛЕНИЕБ. И. Плужников, С. Е. ЛюминарскийДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ27Неизвестную частоту вращения 1 можно определить способом, изложенным в подразделе3.2:Рис.

16. Графики суммарной работы (а) и приведенного суммарногомомента инерции (б) второй группы звеньев1 2  A  Tнач пр.IПоскольку движение начинается из неподвижного состояния, то Tнач  0. Величины A ипрI  определим на основании графиков (см. рис. 14):A y A 100 20 Дж;A5прI yI 50 0,1 кг  м2 .I 500Тогда 1  2  20 / (0,1)  20 рад/с.прПроизводная dI пр / d 1 численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой I   1для заданной позиции механизма, т. е.dI пр 100кг  м2tg (45 )  (1)   0,2.d 1 I500радУчитывая, что значение приведенного суммарного момента известно, определим угловоеускорение:1 200400рад 0,2  2400.0,12  0,1с2Следовательно, звено приведения в i-й позиции будет двигаться с ускорением 2400 рад/с2 .3.5.

Оценка неравномерности движенияНа рис. 17 приведена зависимость частоты вращения звена приведения 1 от угла поворотаданного звена 1. Необходимо определить максимальное значение частоты вращения 1max заОГЛАВЛЕНИЕБ. И. Плужников, С. Е. ЛюминарскийДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРИЛОЖЕННЫХ СИЛ28цикл установившегося движения, если задан коэффициент неравномерности движения  =0,02.Коэффициент неравномерности движения определим по формуле1max  1min.1срУчитывая, что 1cp  1/ 2  1max  1min  , получим21max  1min.1max  1minПосле элементарных алгебраических преобразованийприходим к формуле для вычисления значения 1max призаданных условиях: 1cp  1cp 1   ; 2Рис. 17.