Лошкарев А.И., Облакова Т.В. - Интегральные преобразования и операционное исчисление, страница 4

Смещенная функция Хевисайда θ(t − t0 ), очевидно, является оригиналом при t0 ≥ 0 с показателем роста σ0 = 0.Следовательно, согласно теореме 2.1, в полуплоскости Re p > 0определено ее изображение (t0 играет роль параметра)p→0Θ(p, t0 ) =Z∞t0Значит, θ(t − t0 ) :1∙e−pt1 −pt ∞ 1 −pt0dt = − e = e.ppt0(2..9)1 −pt01eи, в частности, θ(t) : .ppПример 2.2. Показательная функция f (t) = ep0 t также является+∞+∞Z(p0 −p)t eоригиналом.

Ее изображение F (p) = ep0 t e−pt dt = =p0 − p 03201=определено в полуплоскости Re p > Re p0 . Таким обраp − p0зом,1e p0 t :.(2..10)p − p0В частности, при p0 = 0 получаем 1 :1.pПример 2.3. Преобразование Лапласа от смещенной δ-функцииДирака δ(t−t0 ) можно найти (см. разд. 1.4) как предел изображенияпрямоугольного импульсаПолучаем: 1, t ≤t≤t +τ ,00иf τи (t) =τ 0,и t ∈/ [t0 , t0 + τи ].Δ(p, t0 ) = limτи →0t0Z+τиt01 −pt1e−pt0 − e−p(t0 +τи )lime dt ==τиτиp τи →01 − e−pτиe−pt0= e−pt0 ,lim=p τи →0τит. е.δ(t − t0 ) : e−pt0 ,(2..11)откуда в частном случае t0 = 0 получаем δ(t) : 1.Заметим, что для этой пары «оригинал — изображение» теорема 2.1 неверна, поскольку дельта-функция не является оригиналомв смысле данного выше определения 1—3. Более корректные объяснения для этого примера содержатся в [5].2.3.

Основные свойства преобразования Лапласа1. Линейность. Пусть f (t) : F (p) и g(t) : G(p), тогда длялюбых, в том числе комплексных постоянных α и β, αf (t) ++ βg(t) : αF (p) + βG(p).Пример 2.4. Найдем изображение от f (t) = cos λt.33eiλt + eiλtПо формуле Эйлера cos λt =, а согласно свойству2линейности111peiλt + eiλt=+cos λt =.:22 p + iλ p − iλ2p + λ2Аналогично можно найти, чтоsin λt :p2λ,+ λ2sh λt :p2λ,− λ2ch λt :p2p.− λ2Теорема подобия.

Пусть f (t) : F (p), тогда для любого α > 01 p. Это соотношение легко доказывается заf (αt) :Fαα1λменой переменных. В частности, sin α (λt) := p 2α+ λ2ααλ=.p2 + (αλ)23. Теорема запаздывания. Пусть f (t) : F (p), тогда запаздыванию оригинала соответствует умножение изображения на e−pτ ,т. е. θ(t − τ)f (t − τ) : e−pτ F (p) (см. рис. 2.1).

В самом деле,+∞+∞ZZ−ptθ(t − τ)f (t − τ) :f (t − τ)e dt =f (x)e−p(x+τ) dx == e−pτ F (p).τ0Рис. 2.134Пример 2.5 Найдем изображение бесконечной ступенчатойфункции, изображенной на рис. 2.2.Рис. 2.2Представим функцию-оригинал в виде бесконечной суммыf (t) = A (θ(t) + θ(t − τ) + θ(t − 2τ) + . . .) . Тогда с учетом равенства (2.7) и формулы для суммы геометрической прогрессии(|e−pτ | < 1) получим:1 1 −pτ 1 −2pτ+ ef (t) : A+ e+ ... =p pppτ A1A 1+cth.==p 1 − e−pτ2p2Пример 2.6. Найдем изображение прямоугольного периодического импульса g(t) (см. рис. 2.3).

Для этого заметим, что этуфункцию можно представить в виде линейной комбинации тетафункций:g(t) = B [(θ(t) − θ(t − τ)) + (θ(t − 2τ) − θ(t − 3τ)) + . . .] .Отсюда, аналогично предыдущему примеру, получаем:1 1 −pτ 1 −2pτ− eg(t) : B+ e− ... =p pppτ B1B 1+th.==p 1 + e−pτ2p235Рис. 2.3Длялюбой периодической функции с периодом T∞Xf (t) =[θ(t − nT ) − θ(t − (n + 1)T )] f (t − nT ), что послеаналогичных преобразований позволяет установить следующеесвойство.4. Изображение периодической функции. Пусть функцияоригинал периодична с периодом T на положительной полуоси,т. е. f (t + nT ) = f (t), n = 0, 1, 2, .

. .. Тогдаn=01f (t) :1 − e−pTZTf (t)e−pt dt.05. Теорема смещения. Пусть f (t) : F (p), тогда для любогокомплексного p0f (t)etp0 : F (p − p0 ),т. е. смещение изображения на p0 равносильно умножению оригинала на etp0 .RTДействительно, ep0 t f (t) : f (t)e−(p−p0 )t dt = F (p − p0 ).Пример 2.7. Используя теорему смещения, сразу получаем:0e−αt sin λt :36λ;(p + α)2 + λ2e−αt cos λt :p+ α.(p + α)2 + λ26. Дифференцирование оригинала. Если f (t) : F (p), а f 0 (t),f 00 (t),. . .

,f (n) (t) являются оригиналами, тоf 0 (t) : pF (p) − f (0),f 00 (t) : p2 F (p) − pf (0) − f 0 (0),..................,f(n)(2..12)(t) : p F (p) − pnn−1f (0)−− pn−2 f 0 (0) − . . . − p0 f (n−1) (0),где под f (k) (t) понимается предельное значениеlim f (k) (t),t→+0k = 0, 1, . . . , n.Действительно, интегрируя по частям, будем иметьf (t) :0ZTf 0 (t)e−pt dt =0∞= f (t)e−pt 0 + pZ∞0f (t)e−pt dt = pF (p) − f (0).При подстановке верхнегопределаf (t)e−pt по в произведение−pt−(σ−σ)t10лучается нуль, поскольку f (t)e, а Re p = σ1 >≤ Me> σ0 . Применив операцию интегрирования по частям n раз, придемк соотношению (2.12).Пример 2.8.

Найдем изображение периодического треугольного импульса h(t) (рис. 2.4).Дифференцирование треугольного импульса приводит к прямоугольному периодическому импульсу g1 (t) = h0 (t), который на ри2A, замечаем,сунке показан толстым пунктиром. Обозначив B =τBчто g1 (t) = g(t) − θ(t), где функция g(t) взята из примера 2.6.2Тогда, согласно свойству линейности, получаем: h0 (t) = g1 (t) :pτ BpτB B1 + th−=th . Напротив, по свойству диффе:2p22p2p237Рис.

2.4ренцирования оригинала h0 (t) : pH(p) − h(0) = pH(p). Отсюдаh(t) : H(p) =BApτpτ= 2 th .th22p2τp27. Интегрирование оригинала. Если f (t) : F (p), тотакже является оригиналом, иZtf (τ)dτ :Ztf (τ)dτ01F (p).p0Первоеутверждениелегко следует из неравенства для интегра tZZtZtM σ0 tлов: f (τ)dτ ≤|f (τ)| dτ ≤ M e σ0 τ dτ =e −1 ≤σ0000Rt≤ M1 e σ0 t , т. е. q(t) = f (τ)dτ является оригиналом.

Далее, по-скольку q(0) = 0, согласно свойству (2.12), из q(t) : Q(p) следует,F (p)= Q(p).что f (t) = q 0 (t) : pQ(p). Тогда F (p) = pQ(p), илиp038Пример 2.9. Найдем изображение так называемой полигональной функции q(t) (рис. 2.5). Эта функция может быть представленакак сумма «сомкнутой» функции q1 (t), показанной на рис. 2.5, апунктиром, и нескольких θ-функций, умноженных на величинуnXскачка в точках разрыва: q(t) = q1 (t) +(ai+1 − bi )θ(t − τi ),причем τ0 = 0, b0 = 0, an+1 = 0.i=0Рис. 2.5Тогда ее производная (рис.

2.5, б) представима в виде0q (t) =q10 (t)+nXi=0=nXi=0где ki =(ai+1 − bi )δ(t − τi ) ={(ki+1 − ki ) θ(t − τi ) + (ai+1 − bi ) δ(t − τi )},bi − ai, i = 1, 2, . . . , n, причем a0 = b0 , k0 = kn+1 = 0.τi − τi−1Следовательно,n Xe−pτi0−pτiq (t) :(ki+1 − ki ),+ (ai+1 − bi ) epi=039а значит,nXe−pτi ki+1 − kiq(t) :+ (ai+1 − bi ) .pp(2.120 )i=0Таким образом, изображение полигональной функции q(t) определяется скачками производной (ki+1 − ki ) и скачками функции(ai+1 − bi ) в точках разрыва τ = τi .В частности, если функция q(t)непрерывна, то (ai+1 − bi ) = 0и формула (2.120 ) упрощаетсяq(t) :nXi=0(ki+1 − ki )e−pτi.p2(2.1200 )8. Дифференцирование изображения. Пусть F (p) : f (t),тогдаF (n) (p) : (−1)n tn f (t).(2..13)Действительно, поскольку F (p) является аналитической функцией в полуплоскости Re p > σ0 , то, дифференцируя (2.7) n раз подзнаком интеграла, получаем в итоге соотношение (2.13):dF (p) =dp0+∞+∞ZZ−ptf (t)e dt = −tf (t)e−pt dt;0F 00 (p) = −ddp+∞Ztf (t)e−pt dt =0+∞Zt2 f (t)e−pt dt и т.

д.Пример 2.10. Продифференцируем n раз изображение θ-функ1ции: : θ(t). Согласно (2.13),p (n)1: (−1)n tn θ(t),(2..14)p (n)1n!n!= (−1)n n+1 . Следовательно, n+1 : tn θ(t).и в то же времяpppn!Иногда θ-функцию опускают и пишут n+1 : tn , принимая воp4000внимание, что все оригиналы по определению равны нулю на отрицательной полуоси.Пример 2.11. Аналогично дифференцируя n раз изображениеe−p0 t (см. соотношение (2.10)), найдем изображение tn e−p0 t :−11p0 t: e p0 t ,,...2 : −tep − p0(p − p0 )Отсюда следует, чтоtn ep0 t :(−1)n n!n p0 t.n+1 : (−t) e(p − p0 )n!.(p − p0 )n+1Пример 2.12 (для самостоятельного решения). Показать, что2λpp2 − λ2t sin λt :,tcosλt:2 .2p2 + λ2p2 + λ2f (t)9.

Интегрирование изображения. Пусть F (p) : f (t), аtограничена в окрестности нуля, тогда+∞Zf (t).F (q)dq :t(2..15)pВ самом деле, перемена порядка интегрирования дает+∞+∞ Z+∞ZZF (p)dp =f (t)e−pt dtdp =pp0 +∞+∞+∞ZZZf (t) −ptf (t)−pt =e dt :.f (t)e dp dt =tt0p0sin tПример 2.13. Найдем изображение функции sinc t =.t1sin t, то по доказанному свойству:Поскольку sin t : 2p +1t+∞Z1π= − arctg p = arcctg p.dq = arctg q|+∞:pq2 + 12p41Пример 2.14. Найдем изображение f (t) =ebt − eat.tebt eatКаждая из функцийипо отдельности не является ориttгиналом, так как имеет в нуле разрыв второго рода.

Но их разность11оригиналом является, и поскольку ebt :, а eat :, то,p−bp−aсогласно (2.15),f (t) :+∞Zp11p−adp = ln−.p−b p−ap−b10. Дифференцирование и интегрирование по параметру.Zα2∂f (t, α)и f (t, α)dα являПусть f (t, α) : F (p, α) и функции∂αα1∂f (t, α)∂F (p, α)ются оригиналами, тои:∂α∂α:Zα2Zα2f (t, α)dα :α1f (p, α)dα.α1ebt − eatПример 2.15. Найдем изображение функции f (t) =tдругим способом.1Поскольку e αt :, то по свойству 10 для f (t) получаем тоp− αже изображение1 bte − eat =tZbaαte dα :Zba1dα =p− αbp−a= − ln (p − α) = ln.p−ba11.

Теорема умножения. Если функции f (t) и g(t) являютсяоригиналами, f (t) : F (p), g(t) : G(p), то их свертка f ∗ g также42является оригиналом и(f ∗ g) (t) : F (p)G(p).(2..16)Поскольку подразумевается, что f (t) = f (t)θ(t) и g(t) == g(t)θ(t), то свертка этих функций при положительных значениях переменной t совпадает с интегралом+∞ZZt(f ∗ g) (t) =f (t − τ)θ(t − τ)g(τ)θ(τ)dτ = f (t − τ)g(τ)dτ.−∞0При отрицательных значениях переменной t свертка из тех же соображений равна нулю.Следовательно, формула (2.16)может быть переписана и таким образом:Ztf (t − τ)g(τ)dτ : F (p)G(p).(2..17)0Формулу (2.17) легко проверитьзаменой порядка интегрирования.