Лошкарев А.И., Облакова Т.В. - Интегральные преобразования и операционное исчисление, страница 3

Окончательно поπлучаем S(ω) =(θ (ω + ωm ) − θ (ω − ωm )), т. е. график спекωmтральной функции будет иметь вид прямоугольника.1.6. Спектры периодических сигналов и θ -функцииИспользование δ-функций позволяет применять преобразование Фурье к некоторым функциям, не являющимся абсолютно интегрируемыми.22Рассмотрим гармонический сигнал f (t) = A0 cos (ω0 t + ϕ0 ).Тогда с учетом формулы (1.12) для спектральной плотности этогосигнала получаемfˆ(ω) = Sгарм (ω) = A0=A02A0 iϕ0=e2=+∞Z−∞+∞Ze−∞+∞Zcos (ω0 t + ϕ0 )e−iωt dt =−∞ei(ω0 t+ϕ0 ) + e−i(ω0 t+ϕ0 ) e−iωt dt =−i(ω−ω0 )tA0 −iϕ0dt +e2+∞Ze−i(ω+ω0 )t dt =−∞A02πeiϕ0 δ(ω − ω0 ) + 2πe−iϕ0 δ(ω + ω0 ) =2= A0 π eiϕ0 δ(ω − ω0 ) + e−iϕ0 δ(ω + ω0 ) .ФункцияSгарм (ω) = A0 π eiϕ0 δ(ω − ω0 ) + e−iϕ0 δ(ω + ω0 )(1..17)равна нулю для всех частот, кроме ω = ω0 и ω = −ω0 , при которыхона, согласно (1.8) и (1.80 ), обращается в бесконечность.

Физическиформула (1.17) вполне объяснима, так как гармоническому колебанию с конечной амплитудой и, следовательно, конечной энергиейсоответствует бесконечно большая плотность на дискретных частотах.В частности, при ω0 = 0, ϕ0 = 0, f (t) = A0 = const получаемспектральную плотность постоянного сигнала:Sпост (ω) = A0 2πδ(ω).(1..18)Наконец, если рассмотреть периодический сигнал в форме (1.1)и вычислить его спектральную плотность с помощью (1.13), получим23Sпер (ω) ==+∞ ∞ZXck eik ω0 t e−iωt dt =−∞ k=−∞+∞Z∞Xckei(k ω0 −ω)t dtk=−∞ −∞= 2π∞Xk=−∞ck δ(ω − k ω0 ). (1..19)Представление (1.19) оказывается полезным при рассмотрениисмеси импульсного и периодического сигналов.Получим теперь спектральную плотность θ-функции.

Для этоговыделим вначале ее постоянную составляющую на всем бесконечном интервале, т. е. представим θ(t) в виде −1, t < 0,1 10, t = 0,θ(t) = + sign(t), где sign(t) =(1..20)2 2+1, t > 0.Рис. 1.11Далее введем в рассмотрение функцию (см. рис. 1.11)2 −e α t , t < 0,0,t = 0,f (t, α) = −α2 te, t > 0,причем заметим, что lim f (t, α) = sign(t).α→024(1..21)С учетом соотношений (1.18), (1.20) и (1.21) имеемθ̂(ω) = S θ (ω) =+∞Z−∞θ(t)e−iωt1dt =2+∞Ze−iωt dt+−∞Z∞ 1 Z0 212e α t e−iωt dt +e−α t e−iωt dt =+ lim −α→0  22−∞0+∞  1 e( α2 −iω)t 0−α2 −iω)t (1 e== πδ(ω) + lim −+α→0  2 α2 − iω 2 −α2 − iω −∞0111= πδ(ω) − lim=− 22 α→0 α2 − iωα + iωiωi1= πδ(ω) − = πδ(ω) += πδ(ω) − lim.42α→0α +ωωiωВ выражении для S θ (ω) присутствует слагаемое πδ(ω), соответствующее постоянной составляющей в θ-функции.Заметим, что постоянная составляющая будет отсутствоватьZ∞лишь у функций, которые удовлетворяют условиюf (t)dt = 0,причем интеграл здесь понимается в смысле главного значения.−∞1.7.

Некоторые приложения преобразования Фурье1. Использование преобразования Фурье позволяет решать широкий круг задач математической физики. К ним в первую очередь относятся краевые задачи для областей, имеющих формы полосы, полуполосы и т. п. Применение преобразования Фурье целесообразно в задачах, которые приводятся к интегрированию уравнений вида∂2u+ L(u) = f (x, y),∂x2где L(u) — линейный дифференциальный оператор, не содержащий переменной x; f (x, y) — заданная функция.25В качестве примера рассмотрим одну задачу теплопроводности.Требуется найти распределение температуры u(x, t) в бесконечномстержне постоянного поперечного сечения с теплоизолированнойбоковой поверхностью, если задано распределение температуры вначальный момент времениu(x, 0) = u0 (x),−∞ < x < ∞.(1..22)В указанном случае уравнение теплопроводности записываетсяв следующем виде [6, 7]:∂u∂2u= a2 2 ,∂t∂x(1..23)k— коэффициент температуропроводности (k — коэфcρфициент теплопроводности; c — удельная теплоемкость; ρ — плотность материала стержня).Обозначим через û(ω, t) — преобразование Фурье функцииu(x, t) по переменной x и применим к уравнению (1.23) преобразование Фурье.

Из физических соображений естественно предполо∂u→ 0 при |x| → ∞. Тогда, согласно свойствамжить, что u → 0 и∂xпреобразования Фурье, получимгде a2 =∂ û(ω, t)= −ω2 a2 û(ω, t).∂tЭто обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции û(ω, t), общее решение которого име2 2ет вид û(ω, t) = A(ω)e−ω a t . Функция A(ω) = û(ω, 0) являетсяпреобразованием Фурье начального условия (1.22), отсюда+∞ZA(ω) = û0 (ω) =u0 (x)e−iωx dx.−∞Следовательно, û(ω, t) = û0 (ω)e−ω2 a2 t1u(x, t) =2π26, но тогда+∞Z2 2uˆ0 (x)e−ω a t eiωx dω.−∞(1..24)Подставив в это выражение (1.24) и переменив порядок интегрирования, получим +∞+∞ZZ12 2u(x, t) =u0 (ξ)e−iωξ dξ e−ω a t+iωx dω =2π−∞−∞ +∞+∞ZZ12 2=u0 (ξ)dξ e−ω a t+iω(x−ξ) dω.2π−∞−∞Внутренний интеграл здесь вычисляется аналогично выкладке(1.7) в примере 1.2. Окончательно получаем для u(x, t) выражение,называемое формулой Пуассона:u(x, t) =1√2a πt+∞Z(x−ξ)2−u0 (ξ)e 4a2 t dξ.−∞2.

Решение интегральных уравнений.Рассмотрим, например, интегральное уравнение с разностнымядром вида+∞Zaϕ(t) −K(t − τ)ϕ(τ)dτ = f (t),(1..25)−∞где K(t) и f (t) — данные функции; a — постоянная; ϕ(t) — неизвестная функция.Применим к обеим частям уравнения преобразование Фурье.Допустив, что теорема о свертке применима (см. разд. 1.2), получимa ϕ̂(ω) − K̂(ω) ϕ̂(ω) = fˆ(ω).no−1Если функция a − K̂(ω)ограничена, то можно найти ϕ̂(ω):ϕ̂(ω) =fˆ(ω)a − K̂(ω).27Осталось применить обратное преобразование Фурье, откуда1ϕ(t) =2π+∞Z−∞eiωt fˆ(ω)a − K̂(ω)dω.В частности, при a = 0 уравнение (1.25) перейдет в так называемоеинтегральное уравнение первого рода типа свертки+∞ZK(t − τ)ϕ(τ)dτ = ψ(t),(1..26)−∞формальное решение которого имеет вид1ϕ(t) =2π+∞Z−∞eiωt ψ̂(ω)K̂(ω)dω.Использование термина «формальное решение» обусловленотем обстоятельством, что на практике правая часть уравнения (1.26)часто известна лишь приближенно (результат измерений). И хотяпо свойству преобразования Фурье функции K̂(ω) и ψ̂(ω) стремятся к нулю при ω → ∞, это стремление «несогласованное»,так как «ошибка» функции ψ(t), а следовательно, и ψ̂(ω), носитψ̂(ω)случайный характер.

Поэтому отношениеможет не иметьK̂(ω)обратного преобразования Фурье из-за влияния высоких частот ωслучайной функции «ошибки» — это отношение не будет абсолютно интегрируемой функцией. В указанном случае задача решенияуравнения (1.26) относится к так называемым некорректным задачам, для решения которых используют метод регуляризации [8].2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА2.1. Переход от преобразования Фурьек преобразованию ЛапласаДля использования преобразования Фурье существуют серьезные ограничения, связанные с требованием абсолютной интегрируемости функций, подвергающихся прямому и обратному преобразованиям.Представим функцию f (t), определенную на интервале(−∞; +∞), в виде суммы двух функций f (t) = f+ (t) + f− (t),где f+ (t) = f (t)θ(t), а f− (t) = f (t)θ(−t).Домножим f+ (t) на e−σ1 t , причем σ1 > 0 выберем таким образом, чтобы обеспечить абсолютную интегрируемость f+ (t)e−σ1 t наинтервале [0, +∞).

Тогда к f+ (t)e−σ1 t можно применить преобразование Фурье, и полученное изображение S+ (ω) будет связано соригиналом формулой обратного преобразования Фурье:−σ1 tf+ (t)e1=2π+∞ZS+ (ω)eiωt dω.−∞Переходя к комплексной переменной p = σ1 + iω, получаемf+ (t)e−σ1 t1=2πiσ1Z+i∞S+σ1 −i∞p − σ1ie(p−σ1 )t dp.Далее делим обе части на e−σ1 t и приходим к выражению1f+ (t) =2πiσ1Z+i∞S+σ1 −i∞p − σ1iept dp =1=2πiσ1Z+i∞Lf + (p) ept dp, (2..1)σ1 −i∞29где введено обозначение Lf + (p) ≡ S+=Z∞p − σ1i= S+ (ω) =e−σ1 τ f+ (τ)e−iωτ dτ.

Отсюда получаем одностороннее пре-образование Лапласа функции f+ (t):0Lf + (p) =Z∞f+ (τ)e−pτ dτ.(2..2)При этом соотношение (2.1) естественно считать обратным преобразованием Лапласа.Поступим аналогично с функцией f− (t), т. е. домножим ее наe−σ2 t , причем σ2 < 0 выберем таким образом, чтобы обеспечитьабсолютную интегрируемость f− (t)e−σ2 t на (−∞, 0]. Тогда аналогично получим0Lf − (p) =Z0−∞f− (t) =12πie−σ2 τf− (τ)e−iωτdτ =f− (τ)e−pτ dτ,(2..3)−∞σ2Z+i∞σ2 −i∞Z0Lf − (p) ept dp.(2..4)Объединив выражения (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4), запишем+∞ZLf (p) = Lf + (p) + Lf − (p) =f (τ)e−pτ dτ,f (t) =σ1 2πi1 +i∞Zσ1 −i∞−∞Lf + (p) ept dp +σ2Z+i∞σ2 −i∞(2..5)Lf − (p) ept dp .(2..6)Соотношение (2.5) называют двусторонним преобразованиемЛапласа, а соотношение (2.6) — соответствующим обратным двусторонним преобразованием Лапласа.

Это преобразование целесообразно использовать при решении таких задач, в которых функцияf (t) задана на всей оси.302.2. Одностороннее преобразование ЛапласаДальнейшее изложение будет посвящено одностороннему преобразованию, которое широко применяется при анализе переходных процессов, связанных с действием на динамическую системувнешней силы, когда начало отсчета времени совмещают с началомвоздействия. Перейдем к строгим определениям.Определение 2.1.

Функцией-оригиналом называют любую комплексную функцию f (t) действительного переменного t, удовлетворяющую следующим условиям.1. Функция f (t) непрерывна вместе со своими производными навсей действительной оси, кроме отдельных точек, в которых f (t)или ее производные терпят разрывы первого рода, причем на каждом конечном интервале имеется лишь конечное число таких точек.2. Функция f (t) = 0 для всех отрицательных значений t, т.

е.f (t) = f+ (t) = θ(t)f (t). Принято все оригиналы записывать безмножителя θ(t), но всегда помнить о его существовании.3. Функция f (t) возрастает не быстрее показательной функции,т. е. существуют такие постоянные M > 0, σ0 ≥ 0, что для всех t|f (t)| < M e σ0 t . При этом σ0 называют показателем роста f (t), адля ограниченных оригиналов принимают σ0 = 0.Определение 2.2. Изображением по Лапласу оригинала f (t)называют функцию комплексного переменного p = σ + iω, определяемую соотношением+∞ZF (p) =f (t)e−pt dt,(2..7)0где интеграл берется по положительной полуоси.Соответствие между оригиналом и изображением обозначаюттак:f (t) : F (p) или F (p) : f (t).Связь между оригиналами и изображениями устанавливаютследующие теоремы, доказательство которых можно найти в [1, 9].31Теорема 2.1. Для всякого оригинала f (t) изображение F (p)определено в полуплоскости Re p > σ0 , где σ0 — показатель ростаоригинала, и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

При этом если точка p стремится к бесконечности так, чтоRe p = σ неограниченно возрастает, то F (p) стремится к нулю:lim F (p) = 0.Теорема 2.2. Если функция f (t) является оригиналом, т. е. удовлетворяет условиям 1—3, и F (p) — ее изображение, то в точкахнепрерывностиσ→∞1f (t) =2πiσ1Z+i∞F (p) ept dp,(2..8)σ1 −i∞где интеграл берется вдоль прямой Re p = σ1 > σ0 и понимается всмысле главного значения.Теорема 2.3. Если функция комплексного переменного F (p)определена и аналитична в полуплоскости Re p > σ0 , существуетпредел lim F (p) = 0 и F (p) абсолютно интегрируема вдоль прямых Re p = σ1 > σ0 , то она является изображением для некоторойфункции-оригинала f (t), причем имеет место формула (2.8).Найдем изображения для некоторых функций.Пример 2.1.