Лошкарев А.И., Облакова Т.В. - Интегральные преобразования и операционное исчисление, страница 2

1.1 2a sin ωa ,При этом, очевидно, амплитудный спектр ρ(ω) = ωа фазовый принимает значения 0 или −π в зависимости от знакаS(ω). Графики этих функций показаны на рис. 1.3 и 1.4.Рис. 1.211Рис. 1.3Рис. 1.412Пример 1.2. Найти преобразование Фурье от функции f (t) =t2= Ae− 2a2 .fˆ(ω) =Z∞Ae−t22a2e−iωtdt = A−∞ tiωa √ + √=u= 2a √ 2dt = 2aduZ∞−∞e−2 2t2√ −ω a+2 √t iωa22a22a22 2√ = A 2ae− ω 2aZe−ω2 a 22dt =2e−u du =ωaImu= √2+∞Z√ω2 a2= A 2ae− 2√ω2 a22e−u du = A 2πae− 2 . (1..7)−∞Предпоследнее равенство в этой цепочке имеет место в силу теоремы Коши из комплексного анализа. В самом деле, рассмотрим0 ∪ C 00 ∪ l+ ∪ l− , изображенный на рис. 1.5. Здеськонтур CR = CRRRR±lR— дуги окружности радиуса R, заключенные между действиωaтельной осью и прямой Imu = √ .

Поскольку подынтегральная2Ze−u du = 0. А поскольку интегралыфункция везде аналитична,2±стремятся к нулю в силу леммы Жордана3 , получаем впо дугам lR+∞ZZ2−u2e du иe−u du.пределе равенство интеграловCRωaImu= √−∞, т. е., пользуясь радиотехническойИтак, fˆ(ω) = A 2πaeтерминологией, спектральная плотность «колоколообразного» им√22 2− ω 2aпульса f (t) = Ae− 2a2 имеет ту же форму (рис.

1.6).t2Лемма (К. Жордан). Если на некоторой последовательности дуг окружностейCRn :|z| = Rn , Imz > −b (Rn → ∞, b фиксировано) функция g(z) стремится к нулю равномерноотносительно arg z, то для любого положительного числаZ3λlimRn →∞CRng(z)eiλz dz = 0.13Рис. 1.5Рис. 1.6Пример 1.3. Найти преобразование Фурье от функции f (t) =(t — действительное).=+∞Z2По определению fˆ(ω) =eit e−iωt dt.2eitВыделяем полный квадрат и делаем линейную замену переменωных (сдвиг на вдоль действительной оси):2−∞+∞Zωω22ω2fˆ(ω) =ei(t −2t 2 + 4 ) e−i 4 dt =−∞2=e−i ω4+∞+∞ZZ22i(t− 2ω )2−i ω4ed (t − ω/2) = eeiz dz.−∞14−∞Рис. 1.7Далее рассмотрим контур, изображенный на рис. 1.7, и вычи+∞Z2слим с его помощьюeiz dz вдоль действительной полуоси.

Содной стороны, поскольку подынтегральная функция аналитична,интеграл от нее по замкнутому контуру равен нулю. С другой стороны, он равен0Z2eiz dz +0RZCR2eiz dz +Z2eiz dz.B0+∞Z2Первое слагаемое при R → ∞ стремится кeit dt.0Во втором интеграле заменим z 2 = u, dz =чего станет ясно, что преобразованный интегралЖордана стремится к нулю.Z0CRdu√ , после2 ueiu du√ по лемме2 u1−i−i πВ третьем интеграле введем переменную s = √ z = e 4 z.2iπТогда s2 = −iz 2 , dz = e 4 ds, и третий интеграл превратится в15ei 4π−eZ0e−s ds, т.

е. предел третьего слагаемого при R → ∞ равен2R√i 4ππ.2+∞Z2Следовательно, вдоль действительной полуосиeiz dz =0√π=e, откуда в силу четности по t подынтегральной функции2+∞Z2i 4π − ω4 √i 4π √it2ˆπ. Отсюда окончательно f (ω) = eπ.e dt = ei 4π−∞1.4. Бесконечно короткий импульс с единичнойплощадью.

δ -функцияВ целом ряде случаев, имеющих значительный практическийинтерес, целесообразно рассмотреть функции, получающиеся в результате предельного перехода при стремлении ширины (длительности) импульса к нулю, но при сохранении его площади. Такая ситуация возникает, например, при рассмотрении функции, описывающей распределение удельного давления по площадке, на которуюдействует постоянная сила, при стремлении площади этой площадки к нулю.В динамике материальной точки результат действия силы f~(t),зависящей от времени, определяется ее механическим импульсомZt2m~v2 − m~v1 = f~(t)dt, где m — масса материальной точки, а ~v1 и~v2 — скорости материальной точки в начале и конце действия силы.Если сила действует сравнительно короткое время, то имеет смыслпредставить ее действие в виде конечногопрямоугольной импульса~ формы (см.

график функции f1 (t) = f (t) на рис. 1.8). Тогда приτи → 0t116Рис. 1.8lim f1 (t) = δ(t) =τи →0∞, t = 0,0, t =6 0,(1..8)при одновременном выполнении условияZ∞−∞f1 (t)dt =Z∞δ(t)dt = 1.(1.80 )−∞τи2 sin ω12 .Из примера 1.1 следует, что fˆ1 (ω) =τиωτиτи2 sin ωsin ω12= τ 2ω → 1 в силуТогда при τи → 0 fˆ1 (ω) =иωτи2первого замечательного предела, т.

е. δ̂(ω) ≡ 1.Тот же результат можно получить, переходя к пределу приα → 0 в выражении для функции f (t) = Ae− 2a2 , рассмотреннойв примере 1.2. Если принять A = 1, то в силу интеграла Пуассона+∞Z22√− t2− t212a2aполучим, чтоedt = 2πa. Введем f2 (t) = √e,2πat2−∞17при этомlim f2 (t) = δ(t) =a→0∞, t = 0,0, t =6 0,+∞+∞ZZ2− t1f2 (t)dt = √e 2a2 dt = 1.2πa−∞(1..9)(1.90 )−∞Согласно примеру 1.2, для преобразования Фурье от f2 (t) получаем2 22 21 √−ω a−ω afˆ2 (ω) = √π2a2 e 2 = e 2 −→ 1.a→02πaТаким образом, спектральной плотностью δ(t) является тождественная единица.Далее, используя сходные рассуждения, можно получить, чтодля любой непрерывной функции f (t)+∞+∞+∞ZZZδ(τ − t)f (τ)dτ = δ(τ)f (τ + t)dτ =limf1 (τ)f (τ + t)dτ =−∞−∞= limτи →0τи →0−∞τи1τиZ2− τ2иf (τ + t)dτ = lim f ( τ̃ + t) = f (t),τи →0так как τ — немая переменная τ τ интегрирования.

Здесь τ̃ = τ̃(τи )ии— точка на интервале − ,, существующая в силу теоремы о2 2среднем для определенного интеграла. Последнее равенство имеетместо в силу непрерывности функции f (t). Таким образом, получаем основное свойство δ-функции:+∞Z−∞δ(τ − t)f (τ)dτ =+∞Z−∞δ(τ)f (t − τ)dτ = f (t).(1..10)При записи выражения (1.10) использовано свойство свертки18(см.

с. 9). В частности,+∞Zδ(τ)f (τ)dτ =f (0).(1..11)−∞Свойство (1.10) называют также фильтрующим свойствомδ-функции.Используя (1.11), можно также заключить, что преобразованиеФурье от δ-функции есть тождественная единица. В самом деле,+∞Zδ̂(ω) =δ(t)e−iωt dt =e−iω0 = 1.Кроме того, преобразование Фурье от смещенной δ-функции+∞Zсогласно (1.10) равноδ(τ − t0 )e−iωτ dτ =e−iωt0 .−∞Наконец, применяя обратное преобразование Фурье, получаем−∞1δ(t − t0 ) =2πZ∞−iωt0 iωtee−∞1dω =2πZ∞eiω(t−t0 ) dω.(1..12)−∞По аналогии с этим выражением можно записать1δ(ω − ω0 ) =2πZ∞−∞ei(ω−ω0 )τ1dτ =2πZ∞e−i(ω−ω0 )τ dτ.(1..13)−∞З а м е ч а н и е.

Равенства (1.13) или (1.11) часто считаютсяопределением δ-функции при более систематическом и строгом изложении теории так называемых обобщенных функций (см. например [5]).Впервые δ-функция была введена знаменитым физиком П. Дираком, поэтому ее часто называют δ-функцией Дирака, а также импульсной функцией, или единичным импульсом.191.5. Первообразная от δ -функции.Функция единичного скачкаРассмотрим первообразную от гауссовского импульсаZt−∞√τ21e− 2a2 dτ =2πa t1t√. (1..14)=1 + erf= Φ (a, t) = Φua2a 2Здесь использованы стандартные обозначения: Φ (a, t) — функцияраспределения гауссовской случайной величины с параметрамиZtτ21(0, a); Φu (t) = √e− 2 dτ — функция распределения стан2π−∞2дартной гауссовской случайной величины; erf(t) = √π√ = 2Φu t 2 − 1 — функция ошибок (error function).Zt2e−ξ dξ =0Совершая предельный переход в (1.14) при a → 0, получаемфункцию единичного скачка t1t√θ(t) = lim Φu.= lim1 + erfa→0a→0 2aa 2(1..15)С одной стороны, совокупность соотношений (1.9), (1.90 ) (1.14)и (1.15) позволяет заключить, что θ(t) — первообразная от δ(t), откуда получаем δ0 (t) = θ(t).

С другой стороны, поточечный пределпри a → 0 (рис. 1.9 и 1.10) дает20 1, t > 0,1/2, t = 0,θ(t) =0, t < 0.(1..16)Рис. 1.9Рис. 1.10Равенство (1.16) определяет так называемую симметричнуюфункцию единичного скачка, равную в нуле 1/2, в отличие от асимметричных, принимающих значения 1 или 0.Функция θ(t) была введена инженером-электриком О. Хевисайдом, который в начале ХХ в. в значительной мере способствовал популяризации операционного (символического, как тогда называли)исчисления, успешно используя его в электротехнических расчетах.Функции δ(t) и θ(t) относятся к классу так называемых обобщенных функций, основы математической теории которых были заложены С.Л.

Соболевым и Л. Шварцем. В настоящее время тео21рия обобщенных функций имеет многочисленные применения и всебольше востребована физиками, математиками и инженерами.Пример 1.4. Найти преобразование Фурье от функции f (t) =sin ωm t=, ωm > 0.ωm tZ∞sin ωm t −iωtˆДля вычисления интеграла f (ω) = S(ω) =dteωm tприменяем формулу дифференцирования по параметру и интегральное представление δ-функции (1.13). Вначале запишем:Z∞sin ωm t −iωteωm S(ω) =dt.t−∞Далее−∞∂(ωm S(ω)) =∂ ωmZ∞(cos ωm t)e−iωt dt =−∞ ∞ZZ∞1=ei(ωm −ω)t dt +ei(−ωm t−ω)t dt .2В силу соотношений (1.13)−∞−∞∂(ωm S(ω)) = πδ(ωm − ω) + πδ(ωm + ω).∂ ωmОтсюда, учитывая, что θ0 (t) = δ(t), восстанавливаем первообразную ωm S(ω) = πθ (ω + ωm ) − πθ (ω − ωm ) + C(ω). Далее,устремляя ωm → 0, заключаем, что C(ω) ≡ 0.