Лошкарев А.И., Облакова Т.В. - Интегральные преобразования и операционное исчисление

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаМетодические указанияА.И. Лошкарев, Т.В. ОблаковаИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯИ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕИздательство МГТУ им. Н. Э. БауманаМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаА.И. Лошкарев, Т.В. ОблаковаИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯИ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕМетодические указанияк выполнению домашнего заданияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э.

Баумана2007УДК 517.3ББК 22.161Л81Л81Рецензент Л.Д. ПокровскийЛошкарев А.И., Облакова Т.В.Интегральные преобразования и операционное исчисление:Метод. указания к выполнению домашнего задания. – М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 74 с.: ил.Представлен справочный теоретический материал, решенные задачи и примеры, условия вариантов типового расчетапо интегральным преобразованиям и операционному исчислению. Типовой расчет содержит задачи по темам: нахождениеизображений и оригиналов, задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.Для студентов 2–4-го курса машиностроительных специальностей.Ил.

18. Библиогр. 9 наим.УДК 517.3ББК 22.161Методическое изданиеАнатолий Иванович ЛошкаревТатьяна Васильевна ОблаковаИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯИ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕРедактор С.А. СеребряковаКорректор Л.И. МалютинаКомпьютерная верстка В.И. ТовстоногПодписано в печать 15.01.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.Печ. л. 4,5. Усл. печ. л. 4,19. Уч.-изд. л. 3,85. Тираж 1000 экз. Изд. № 134.ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007ВВЕДЕНИЕВ различных приложениях большое значение имеют интегральные преобразования, т.

е. функциональные преобразования видаZF (p) = K(p, t)f (t)dt,(B.1)Cгде C — некоторый заданный контур (конечный или бесконечный)в комплексной плоскости; K(p, t) — заданная функция двух комплексных переменных (ядро интегрального преобразования). Приэтом функция f (t), называемая оригиналом, переводится в функцию F (p), называемую изображением.В качестве дискретного аналога преобразования (B.1) можнорассматривать, например, ряд Фурье по заданной системе функцийk=∞{ϕ(x, k)}k=−∞:k=∞XΦ(x) =fk ϕ(x, k).k=−∞При этом последовательность (функция целого аргумента) fk == f (k) переводится в функцию Φ(x).Прикладное значение интегральных преобразований, при которых изучаемые функции (оригиналы) заменяются другими функциями (изображениями), можно сравнить с логарифмированием ввычислительной практике.

Действительно, при логарифмировании:1) от чисел переходят к логарифмам; 2) над логарифмами выполняют действия, соответствующие действиям над числами, причемумножению чисел соответствует более простая операция сложения3их логарифмов и т. д.; 3) от найденного логарифма вновь возвращаются к числу.Использование интегральных преобразований позволяет свести, например, решение дифференциального уравнения к решениюалгебраического уравнения для изображений, после чего остаетсявосстановить решение-оригинал по решению-изображению. Последний этап обычно осуществляется с использованием обширныхтаблиц типа «оригинал — изображение».В этом пособии мы рассмотрим наиболее употребительные преобразования вида (B.1) — преобразование Фурье и (одностороннее) преобразование Лапласа, на основе которых строится операционное исчисление.

О других видах интегральных преобразованийможно прочесть в [1 — 3].1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ1.1. Ряд Фурье и интегральная формула ФурьеКак известно, если задан интервал разложения −TT< t < , то22ряд Фурье, порожденный действительной функцией f (t), для которой существует интегралтрический рядгдеTZ2− T2|f (t)|dt, есть бесконечный тригономе-k=∞k=∞XX1(ak cos k ω0 t + bk sin k ω0 t) ≡ck eik ω0 t ,a0 +2k=1(1..1)k=−∞ω0 =2π,TTak =2TZ2f (τ) cos(k ω0 τ)dτ,k = 0, 1, . .

. ,− T2(1..2)Tbk =2TZ2f (τ) sin(k ω0 τ)dτ,k = 1, 2, . . . ,− T25T11= (ak − ibk ) =2Tck = c−kZ2f (τ)e−ik ω0 τ dτ(1..3)− T2(черта сверху, как обычно, означает комплексно-сопряженноечисло).Также известно, что если f (t) — функция с ограниченнымизменением (вариацией1 ), то ее ряд Фурье сходится к значению1{f (t + 0) + f (t − 0)}. Причем если во всех точках некоторого2интервала f (t) непрерывна, то ее ряд сходится к ней самой (равномерно на этом интервале). Подставив в (1.1) выражения для ak и bkиз (1.2), получимT" ZT2Z2∞X122πkt2πk τcosdτ +f (t) =f (τ)dτ +f (τ) cosTTTTk=1− T22+TT2Z− T2=1Tf (τ) sinTZ2− T21− T22πk τTsin2πktT#dτ =TZ2∞X2πk2f (τ)dτ +f (τ) cos(t − τ) dτ.TTk=1− T2Вариацией (полной вариацией) функции называют supnP|f (xi ) − f (xi−1 )|,TTотрезкавычисленный по всем разбиениям − = x0 < x1 < .

. . < xn =22T T− ,на конечное число частей.2 2i=1Вариацию функции на отрезке [a, b] обозначают символом V f илиbaZb|df (x)|. В частности, если функция f (x) имеет непрерывную производную, тоZb|df (x)| =aa6Zba 0 f (x)dx.2πk2πЕсли положить= ω,= Δω и перейти формально к преTTделу при T → ∞, то сумма превратится в интеграл, и мы получиминтегральную формулу Фурье:Z∞Z∞1f (t) =dωf (τ) cos ω (t − τ) dτ ≡π−∞0Z∞Z∞1≡dωf (τ) cos ω (t − τ) dτ,2π−∞−∞поскольку подынтегральная функция — четная по переменной ω.З а м е ч а н и е.

Совершая предельный переход T → ∞ в указанных выражениях, мы фактически полагаем, что внешний несобственный интеграл понимается в смысле существования его главного значения2 , т. е. в симметричном стремлении к бесконечностиабсолютной величины верхнего и нижнего пределов интегрирования.h T TiПодставив в (1.1) выражение (1.3) для ck , на отрезке − ;2 2будем иметь представлениеT!Z2∞X1−iωτf (t) =f (τ)edτ eiωt =Tk=−∞− T2T∞1 X=2πk=−∞Z2f (τ)e−iωτ− T2dτ!2π.TКак и раньше, переходя к пределу при T → ∞, получим!Z∞ Z∞1−iωtf (t) =f (τ)edτ eiωt dω.2π−∞−∞В ряде случаев даже расходящимся несобственным интегралам можно при+NRписать определенное значение. Если существует предел limf (t)dt = A,2то его называют главным значением несобственного интегралаN и обозначают+∞+∞RR1tln(t2 + 1)f (t)dt.

Например, V.pdt = lim= 0.V.pt2 +1N→∞2−∞−∞−NN →∞ −N7Обозначим в этом выражении черезfˆ(ω) =Z∞f (τ)e−iωτ dτ.(1..4)−∞Тогда1f (t) =2πZ∞fˆ(ω)eiωt dω.(1..5)Cоотношения (1.4) и (1.5) определяют так называемую пару преобразований Фурье, где (1.4) называется прямым преобразованиемФурье, а (1.5) — обратным преобразованием Фурье.З а м е ч а н и е. Функцию fˆ(ω) также часто обозначают S(ω)и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой сигнала f (t).

Тогда равенство (1.4) интерпретируют какспектральное разложение f (t).Вообще говоря, S(ω) — комплексная функция, поэтому для ееизображения требуются две функции: S(ω) = |S(ω)| ei arg S(ω) == ρ(ω)e−iΦ(ω) , где ρ(ω) = |S(ω)| называется амплитудным спектром, а Φ(ω) = − arg S(ω) — фазовым спектром [4].−∞1.2. Некоторые свойства преобразования Фурье1.

Теорема запаздывания. Если fˆ(ω) — преобразование Фурьефункции f (t), то преобразованием Фурье функции f (t − τ) будетпроизведение e−iωτ fˆ(ω).Утверждение этой теоремы следует из очевидного равенстваZ∞−∞f (t − τ)e−iωtdt =Z∞−∞f (u)e−iω(u+τ) du ==e−iωτZ∞−∞f (u)e−iωu du = e−iωτ fˆ(ω).2. Теорема смещения. Если fˆ(ω) — преобразование Фурьефункции f (t), то преобразованием Фурье произведения e−iηt f (t)будет функция fˆ(ω + η).8В самом деле,Z∞f (t)e−iηt −iωteZ∞dt =−∞f (t)e−i(ω+η)t dt =−∞= fˆ(ω + η).3.

Дифференцирование оригинала. Если fˆ(ω) — преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции f (t), то преобразованием Фурье производной f 0 (t) будет функция iωfˆ(ω) приусловии, что производная также является абсолютно интегрируемой функцией.Этот факт доказывается с помощью интегрирования по частям:Z∞0f (t)e−iωtdt =−∞Z∞e−iωt df (t) =−∞−iωt=e∞f (t)−∞ − (−iω)Z∞f (t)e−iωt dt =iωfˆ(ω).−∞Здесь lim |f (t)| = 0 в силу ее абсолютной интегрируемости.Если же и f (n) (t) является абсолютно интегрируемой функцией, то, n раз применяя интегрирование по частям, получим:fˆ(n) (ω) = (iω)n fˆ(ω).В частности, fˆ00 (ω) = −ω2 fˆ(ω).4.

Теорема свертывания. Если fˆ(ω) — преобразование Фурье функции f (t), а ĝ(ω) — преобразование Фурье функции g(t),то произведение fˆ(ω)ĝ(ω) является преобразованием Фурье отсверткиt→∞(f ∗ g) (t) =Z∞−∞f (t − τ)g(τ)dτ =Z∞−∞f (τ)g(t − τ)dτ.Для доказательства рассмотрим интеграл12πZ∞−∞1fˆ(ω)ĝ(ω)eiωt dω =2πZ∞fˆ(ω)eiωt dω×−∞9×Z∞g(τ)e−∞−iωτ1dτ =2πZ∞g(τ)dτ=Z∞−∞−∞Z∞fˆ(ω)eiω(t−τ) dω =−∞g(τ)f (t − τ)dτ = (f ∗ g) (t).Таким образом, функции fˆ(ω)ĝ(ω) и (f ∗ g)(t) являются парой преобразований Фурье, что и доказывает теорему.∂f (t, α)5. Дифференцирование по параметру. Если f (t, α) и∂αявляются абсолютно интегрируемыми на R, то операции дифференцирования по параметру α и преобразования Фурье по переменнойZ∞Z∞∂∂−iωtf (t, α) ×t перестановочны, т.

е.f (t, α)edt =∂α∂α−∞×e−iωt dt.−∞1.3. Примеры вычисления преобразования ФурьеПример 1.1. Найти преобразование Фурье прямоугольного импульса f (t) = θ(a − |t|). Имеем:fˆ(ω) =Z∞−∞θ(a − |t|)e−iωt dt ==Za−ae−iωt dt =2a sin ωae−iωa − eiωa=. (1..6)−iωωaГрафики функции f и его преобразования Фурье fˆ показаны нарис. 1.1 и 1.2.10Рис.