Лекц_упр_7 (Презентации лекций), страница 2

51.Достаточно минутного размышления длятого, чтобы понять, что если за началокоординат считать точку —1+i0, та же криваябудет представлять собой годограф функции[1+G(iωf)].СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮФиг. 51. Расчет частотныххарактеристик замкнутойсистемы по амплитуднофазовой характеристикеСледовательно, при любой частоте нагодографе, скажем при частоте ω1, абсолютнаявеличина вектора определяет коэффициентусиления, а угол φ' — фазу функций G(iωf) наэтой частоте, тогда как абсолютная величинавектораO'ω1определяеткоэффициентусиления, а φ"—фазу функции 1+ G (iωf) натой же частоте.Тогда, поскольку комплексный коэффициентусиления замкнутой системы равен G(iωf)/[1+ G(iωf)], частное 0ω1/O'ω1определяеткоэффициент усиления замкнутой системы, аразность (φ'—φ")—фазу этой системы начастоте ω1.Такимобразом,амплитудно-фазовуюхарактеристику замкнутой системы легкопостроить с помощью циркуля и линейкиПослетогокакамплитудно-фазоваяхарактеристикапостроена,ееможнопересчитать в случае необходимости влогарифмические частотные характеристики.СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮФиг.

52. Уровни постоянного Мдля амплитудно-фазовойхарактеристики [3].Только что описанный метод построениячастотнойхарактеристикиможноещеупростить,накладываянагодографпередаточной функции разомкнутой системыконтуры постоянного коэффициента усиленияи постоянной фазы.Так, оказывается, что годограф передаточнойфункции замкнутой системы с постояннымразомкнутымкоэффициентомусиления,равным М, имеет вид окружности радиуса|М/(М2—1)| с центром, расположенным на осивещественных чисел в точке ас=— М2/(М2—1).Точно так же годографом передаточнойфункции замкнутой системы с постоянной вразомкнутом состоянии фазой, равной N,является окружность радиуса (1/2N)•(N2+1)1/2с центром в точке с координатами ас=–1/2;ωс=+1/2 NСИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮФиг. 52.

Уровни постоянного Мдля амплитудно-фазовойхарактеристики [3].Фиг. 53. Уровни постоянного Nдля амплитудно-фазовойхарактеристики [3].Несколькотакихокружностей «постоянного коэффициента усиления»показаны на фиг. 52, а соответствующие окружности «постоянной фазы»— нафиг. 53.СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮФиг. 52. Уровни постоянного Мдля амплитудно-фазовойхарактеристики [3].Фиг.

53. Уровни постоянного Nдля амплитудно-фазовойхарактеристики [3].Если изображения этих окружностей наложить на годограф G(iωf), то можносразу получить значения коэффициентов усиления и фазы замкнутой системы.Возвращаясь к окружностям постоянного коэффициента усиления, отметим, чтопри единичном коэффициенте усиления в разомкнутой системе годограф имеетвид прямой линии, параллельной оси мнимых чисел и проходящей черезточку а= —0,5; в области, лежащей справа от этой прямой, лежат все окружностиM<1, а слева — все окружности, соответствующие М>1.СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮАналогичный метод расчета пригоден ипри использовании обратного комплексногокоэффициента усиления 1/ G(iωf).В этом случае контурами постоянногокоэффициентаусиленияслужатконцентрические окружности с центром вточке ас= —1; ωс=0 и радиусами, равными1/М, а контуры постоянной фазы имеют видпрямых, проходящихчерезточкуас=—1; ωс=0 и составляющих с осьювещественных чисел угол, тангенс которогоравен —N .

(фиг. 54).Фиг. 54. Уровни постоянных М и Nдля обратной амплитудно-фазовойхарактеристики [3].СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮФиг. 55. Логарифмическая амплитуднофазовая характеристика [4]Наконец, контуры постоянногокоэффициентаусиленияипостоянной фазы можно изменитьтак, чтобы их можно былоналожить на график зависимостимежду коэффициентом усиленияразомкнутой системы в децибелахи фазовым углом той же системы.Графики этого типа, примеркоторых показан на фиг. 55,получили названиедиаграммНикольса илилогарифмическихамплитудно-фазовыххарактеристик.Если логарифмические частотныехарактеристикиперенестинадиаграмму Никольса так, какпоказано на фиг. 55, то легко найтичастотныехарактеристикизамкнутой системы.СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮТаким образом, имеется несколько различных графических методов определениячастотных характеристик замкнутых систем с жесткой обратной связью почастотным характеристикам разомкнутой системы G ((iωf).Выбор метода определяется в основном личными вкусами и опытомисследователя.Перейдем теперь к следующей проблеме—выяснению вопроса об устойчивостизамкнутой системы по виду частотных характеристик разомкнутой системы.Оказалось, что эту проблему можно решить, пользуясь только характеристикамиразомкнутой системы и не прибегая к расчету частотных характеристикзамкнутой системы.Посмотрим, как это делается.Известно, что замкнутая система оказывается устойчивой, если ни один изкорней ее характеристического уравнения не лежит на оси мнимых чисел или вправой полуплоскости.Но каково характеристическое уравнение замкнутой системы?Для отыскания ответа на этот вопрос мы начнем с записи дифференциальногоуравнения разомкнутой системы в операторной форме, где символ s заменяетоператор дифференцирования (как мы делали в гл.

II):СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮгде Z (s) и N (s) представляют собой рациональные алгебраические полиномыотносительно оператора дифференцирования s.Включив полином N (s) в правую часть уравнения (V.33), мы получаемвозможность учесть любой тип управляющего воздействия, так как из гл. IVследует, что в некоторых регуляторах управляющее воздействие содержитпроизводные сигнала ошибки.Предположим, что выражение N(s)ye всегда конечно.Заметим теперь, что характеристическое уравнение нашей разомкнутой системыимеет вид Z(s)=О, где s — алгебраическая переменная, и что передаточнаяфункция G (s) разомкнутой системы имеет вид отношения N(s)/Z(s), где s на этотраз комплексная переменная преобразований Лапласа.Если теперь для такого объекта ввести жесткую обратную связь, то уравнениезамкнутой системы, вновь в операторной форме, примет видилиСразу видно, что характеристическим уравнением замкнутой системы являетсяуравнениеСИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮгде s—снова алгебраическая переменная.Однако теперь следует обратить внимание на знаменатель передаточнойфункции замкнутой системы G(s)/[1+G(s)].Так как G (s)=N (s)/ Z(s), то очевидно, чтоБолее того, очевидно, что нули функции [1+G(s)] являются корнямихарактеристического уравнения замкнутой системы, а полюса [1+G(s)]—корнями характеристического уравнения разомкнутой системы.Поэтому изменение фазы вектора [1+G(s)] по мере движения точки s вдольиспытательного контура определяется расположением корней этих двуххарактеристических уравненийПредположим теперь, что у нас имеется годограф передаточной функции G(s)разомкнутой системы, соответствующий одному полному обходу точкой sиспытательного контура, изображенного на фиг.

37, в направлении, обратномдвижению часовой стрелки.СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮФиг. 37. Испытательный контур вs-плоскости для исследованияустойчивостиИзвестно, что если за начало координат принять точку (—1,i0), то та жесамая кривая явится годографом функции [1+G (s)].Но мы только что выяснили, что изменение фазы [1+G(s)] при обходе точкой sиспытательногоконтураопределяетсярасположениемкорнейхарактеристических уравнений разомкнутой и замкнутой системы.Точнее, мы можем утверждать, что вектор G(s) поворачивается в G-плоскостивокруг точки (—1,i0) на 360° против часовой стрелки на каждый нуль, лежащий вправой половине s-плоскости, и в противоположном направлении — на каждыйтакой же полюс функции [1+G(s)].Предполагая, что на оси мнимых чисел нет полюсов функции [1+G(s)], мыможем написать, чтоСИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮгде N — число оборотов против часовой стрелки, совершаемых вектором G(s)относительно точки (—1,i0) в плоскости G, z — число нулей, а р — числополюсов [1+G(s)], лежащих в правой половине s-плоскости.Теперь остается вспомнить, что нули [1+G(s)] — это корни характеристическогоуравнения замкнутой системы и что для того, чтобы система была устойчивой,ни один из них не должен лежать в правой полуплоскости.Отсюда можно утверждать, что для того, чтобы замкнутая система былаустойчивой, должно выполняться равенство s=0; следовательно, по мере того какs обегает испытательный контур против часовой стрелки, вектор G(s) в плоскостиG должен совершать р полных оборотов относительно точки (—1,i0) внаправлении вращения часовой стрелки.Наконец, заметим, что полюсы [1+G(s)] являются и полюсами G(s) и,следовательно, корнями характеристического уравнения разомкнутой системы.Предполагая, что нули N(s) известны, число р можно определить, наблюдаяповедение G(s) относительно начала координат плоскости G.Тогда число неустойчивых корней характеристического уравнения замкнутойсистемы определяется по формулеСИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Конечно, и в этом случае, как и раньше, при наличии чисто мнимых корней ухарактеристического уравнения замкнутой системы уравнения (V.38) и (V.39)несправедливы, и нужно пользоваться другими методами. Если годограф G(iωf) проходит через точку (—1,i0) на плоскости G, то этосоответствует прохождению годографа [1+G(iωf)] через начало координатплоскости [1+G(iωf)] и, следовательно, свидетельствует о том, чтохарактеристическое уравнение системы имеет корни на оси мнимых чисел. В точке (—1,i0) коэффициент усиления разомкнутой системы равен единице(или нулю децибелов), а фазовый угол — 180°; этой точкой на логарифмическихчастотных характеристиках часто пользуются для того чтобы определить характерповедения разомкнутой системы, обеспечивающий устойчивость замкнутойсистемы. Качественная формулировка этого условия устойчивости состоит в том, чтокоэффициент усиления должен быть меньше единицы (или нуля децибелов) вмомент, когда фазовый сдвиг достигает 180°.СИСТЕМЫ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮПереходя к количественным оценкам (фиг.

56), мы можем ввести понятие запасапо амплитуде, равного —20 lg |G(iωf)| на частоте, соответствующей запаздываниюпо фазе φ= 180°, и запаса по фазе,равного(180°— φ)на частоте,соответствующей коэффициенту усиления, равному единице (или нулюдецибелов).Обычно считается, что для надежного обеспечения устойчивости замкнутойсистемы запас по амплитуде для разомкнутой системы должен составлять 10—20дб, а запас по фазе 40—60°.Фиг. 56.