Галеев Э.М., Кушниренко А.Г., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимальному управлению, страница 3

Аналощчно, если Л;-!), или Л =О, тоа=б, что такие не есть реюейВЪ максвмум. итак, Л = ~, Л,>О, Л,>О, т.е. д(а) 1, уй1. 5.-(а-о) Л,l'Ь=О (а-е)'Л,Рй=о, рЫ=~~Я)=~, Окламвая пе1вые деа уравнения, получаем, чтоМЙ,а~Л Ф) =О. Откуда,в силу невырокденности 1~~ Л,а=-Л~б,т.е. а;=-ф-4, подставляя в уравкепкя уГа)=7, у®= у убевляемся, что лЫ- боЛ,=Л и, значат а=-о, т,е. Л,Ма За=О, либо и К=о, но этот случай невозмовен при пахов дейки максимума. Отсюда следует, что экстремальное а есть оден'из ба- зисных векторов, т,е, цодозрвтелряыми на экстремум являются точки вида Га,-а), где а=+ — ' 6.

Вычисляя значения 4уыкпив расстояявя в подозритдельных точкахт получаем, что мексимуьное рначение эеуачярабвно т и достигается в точках — ~, — — '- 1 и/--=, — *-~ ', которым соответствует один и тЕот ке отрезок - наибольшая ось зллипсовдае П ° Задачи. Найти решения следухщкх экстремальных задач без ограничений и с огрянвченияыи типа равенств и неравенств 1. Задача Тартальи. Разделить число 8 на две части так, чтобы произведение вх проиазедения ыа разность было максималы ное 2, ~Я ~хе+хл1) еН Лл~' х~, хлЕЯ, ! 3. ~(~~ Х ~1 ~я1~)сй.

е~ь~' х'~ ~л,'~з б4. "/ (Задачи 2,3 — зто частеые случаи задачи 24 о поляковах Лекацп- ра ) 4. Не плоскости даны тРк точки Х,, Х и 'х~ ° Найти тевУю точку х,, чтобы сумма квадратов расстояний от еп, до Х' х, Х была минимальна. е и 5. В простра.отве уЕ задано Я точек л'„„,, ~ и А~ поло- жительных чисел м„...ж . Найти тачку х, так, чтобы взвеишы- ыея сумма с весами ле квадратов расстсшнвй от л' до сге, с= т',..., Ф была наименьшей, 6, Найти закон прелсмленвя света на границе двух однородмех сред, пользуясь првыцвпсм Фереа, согласно которому свет из од- ной тачки в другую попадает за кратчайшее время, Скорость све- та в первой среде равна Ее , во второй ЕЕ ° 7 Впксать в /ь - мерную с4еру единичного радеуса в евклидо- всм простраыстве "прямой круговой" цвкяур наибольшего обмма (при л 2 задачу впервые решил Кеплер) ° ) 8 Вписать в ю - мерную ауеру единвчысго радяуса в евкпидовем пространстве "прямой круговой" конус наибольшего обьема (щм л=Л.

задачу впервые решил Лопиталь) е Я 4 Зе л, сп ° бефО х ° % Е~~ Е т а Ф~ Определеывя целвыдра в ковуса в Л првдумайте самостоятельно. - 21- 10. Х "с( -ыс(О; Хх. <У. 11, Задача о максимуме линейной Формы на маре Х а с, х( жр Ех, ~~. 12, Средним степенным порядка уз ( ~~М) л неотрицательных чисел хо„,, х называется выраиение У ~~„„.,х„)- — '„' )(оказать, что если~~~, то2' (~„„,х )(,~ ~х„„, т) указание, Использовать ре3юние экстрэмальнтой задачи П.

а ,~ х . зсфср;Ех 41, х,.ъО, с=/„а 1 1 е 13, Вывести неравенство меиду средним ари(метическвы и средним геометрическим из задачи а ф Пх( ааСг Ех,.=~, хсво с=/„,, л а 14. /7 х. ' — ~ Мф~, ~ а~. Х~ =.У Х. >О о(. >О Н = ~„, ~ С. '1 ь т 15, Найти кратчайшее расстояние от точки.1' гильбертова пространства Н до гиперплоскости Ю = ~ос е И 1(х! а)=ф а~У, 6И ° 16, Найти расстояние в пьльбертовом пространстве от точки Х, до а — мерного подпространства, порокдаеыого линейно-независимыми векторами т, „„Х 17, Найты кратчайшее расстояние от точки до эллипса 18, Задача Аполлония Сколько нореалей мозно провести из точки к эллипсу' ? 19, Среди шаровых сегментов с заданной плояыдьв боковой поверхности найти сегмент наибольшего обьема.

(Зто задача, резанная Архимедом.) - 22- л ««-У ° где х® с +Х~ М+"" ,«Ь « Хл 20. вписать в круг треугольввк с максимальной суммой ивадра- тов сторон, 21. Единицу разбвть на и неотрицательных частей~~,„,,«о « так, чтобы выраиение -Я~ о. ~о .,о. было неибольшвь 22. Найти пеибспыий обьем л — мерного параллелепипеда, у которого все ребра имеют единичную длинУ.

23« Найти минимум линейного фупициовела в пространстве ь. (посл чуательностей~=Щ о ограниченной суммой пвадратае чхепов:~х*с ) па эллипсоиде с дякнами осей, монотонно стремящимися к нулю Зсяпая ли точка гравицы элявпсоида имеет нормаль, т,е мовет слупить точкой экстремума линейного функ- ционаяа7 24, Обозначим через Х, - мпоиество поливоыов степепи ~. со старшим козффпциевтсм равным 1 Определим фуиипвю у, )( - Д формулой ~я())=1х'я) Й -1 Локазать, что у достигает миышеума в одной точке и пайти эту точку.

(Решение этой эвстремельпой задачи называется поли- вомом Леиапдра«) Ш, Ответы и решепвя. 1. 4+7~, 4-уу. т «. ~'-~«. 4 Х =Х« '~я ~ш - центр тявести треугольника Х, к,м ° О «.«яе«е - центр масс е )«4ы. г 6 Преломленйе происходят по завозу Снеллвуса: — '= — „-~-а ид, «~~ — угол падения, ')Ра - угол прелаьлевпого луча (углы отсчи- тываются от нормали) «/«« 7, Раьшус цилиндра равняется и — „~ 8«Нысота яопуса равняется о«я л ч 8 ос=а ~,<=~,, а ° «" « л 10«С точностью до перестановки,т 1,х.

о, с=2,...,л . о «сь ° 1«сг °, 1 ~»... 4. «(. ° « для средних степенных: < ф~ Л Л прв/'~~ ° 13~ ~~ д 1=~..., л ( Л~) ~с — ь . г 1 ~сс +, '~с 15 Квадрат расстояяыя равен 16 Экадрат расстояния равен ~ог )сс,)... ~х,]х„) 1бг )х ) „, ~ц' )сс ) Гх )оп) ... Г „~х ) 1х„)х„) ...Сх ь ос ) Г7. йормы ецзыз1СС,-1) +(эь; У ) ~Ч~ Л+-'-= 1.

схя , ~щцыя дагреыка ~~=(х,- ~,) (с~- ~) + ~~~ф -Ф-1) . Цокаайе, чА Л 40 ° ) Система уревыеыкй Эйлера;Г -Ь .РЛ = О, Х -Т Д $ =04Ф 'ь ла с ~ а, ' * я а е~~~ Ш. я ~г, ЗНаЧЕНИЕ Л ВЫбжраЕтоя таким обрезом, чтобы сумма Го„"Л)".~~~ была наименьшей. 12, Решение задачи существует в с))лу компактности ограничений Функция Лагранжа имеет вкдК=Я ~,х +Д ~ х . Из .Е уревнеыый Эйлера-Лагранжа 2' =О сразу следует, что нк Я,,ык '?~ ые разны нулю, ы отличяые от нуля хг з решении задачи резвы между собой по модулю.

Это зыачкт, что решения нужно искать среды векторов; у кото1мх компоненты влк равны нулю, клк по модулю равны одному к тому же числу При ~(~О решенвя будут доставлять векторы, у которых одра компонента равна единице, а остальные равны нулю, а при 9 >~о решениями будут верт~ ры(+л ~, „,, "и ~ь ); значеыке задачи равно л р~у1 Отсюда и йз соображений однородности сразу следуют неравенства - 26 т 3 Простейшая задека классвчеокого вариациовяого исчиодекияе Задача БодьцаФ а 1.

Теория. а) Пусть(.с„г,3 отрезок в Я иь,:Р(- М~ непрерывная Фуякции в прострайстве Я с иоордяыатами 1, ж, и', непрерывно диЩаренцируемая по бб и й ° Рассмотрим в банаковом пространстве С П, ~;~интегральный Функциояал д, определяемый Щорцулой Ф~ ф 3Гхсй=/~.(~,хй), ИФШ. ~о Фиксируем дзе точка бС, Ж,Еу( и поставим задачу на условный экстремум (1) 3~хг3 Зуба; хй.)= .. й.,~=х,. задача (1) называется простейией задачей классического варияционного зачисления, а Функция („- легреякыансм;тсчки локального относительно С - топояогии экстремума в задаче (1) косят в вариеционнсм исчисленяи специальное название то- чек слабого экстремума.

Иными слоВами Функция .Я (.) доставляет слабый минимум (максимум) в задаче (1), если существует С>0 такое, что для любой Функции .сЯа С И 1 7 ю удсвлетворякщей неравенству е, (!сс(,) с~~,) (), < ~ выполнено неравеяство „с'сй.+ э Ъ )ТТ))'ЗМ(» '(,)(' ( ) <.)(';г,Я), теорема 1 (Пеобкодямое условие экстремума в простейией задаче вариацконного исчисюния,) йсяи Фуыицвя ж(') Е С С~,,'Е„~ доставляет слабый экстремум в задаче (1), то выполнено уравнение Зйлера - — ~.. й)-~. ®=о .и х В 4ормуле (2) мы испольэовали обозначения Ф л~ ~ ~у~) дс ам Интегралы уравнений Эйлера 1.

Если Функция 1. не зависит отж,, то из (3) выте- кают соотясшеызя (~)=а 2, Если Функция ! ие зависит от ж, то из (3) выте- кает соотношение л ®=у6 = соМ4' х, (интеграл импульса) ° 3. Если 4ункция Ь не зависит от 8, то в предполоие- ник, что ос Я дзвиды дийФеренцируема, из (3) вытекает соо~ ношение интеграл энергия ~4 .

л л Е ос Я)~., К "~„®=сОМй~ т ' х', т с В линейном пространстве С Е~~,~Д ГС ~И, ~Д Я ~ мозно рассмотреть топологию, задаваемую так называемой С- нормой или ревназер~ую топологию: !) ж(И = мМ ) сс И)! си,~,3 п.,~,Д упразнеыие, Показать, что пространство С С1,. 1, 3 не полно в равномерной топологии Равномерная топология пороидает еще одно определение локального кстрещума в задаче (1) ° Функция ж(') а С С1„, йД доставляет сильный минимум (максимум) в задаче (Ц, если существует Я > О такое, что для любой Функции ж () Ш (' СФ.. 1,'3, удовлетворяюцей неравенству ))~(б - ос(бй ( Я, ыполнеяо ыеравеыство сне, ~Д 3(х()) > 3Й()) ( Зс ()) < 3( "()), ~(й,Л) = Лб~— ЯЕ "„~(бц~. С)) ~ ~~-, е при Л- ~" ° тл'~~у-' 2 (7е,/ При мелях ие зыачеяяях А фуякциоыал 3~ж<.>,Я.) отрэ~ цателен, в то время как свмв функция ж(~,Я) сколь угодно близка к нулю в метрике С ГО, Т3» Здесь решения нет, а допуотимея экстремаль ЙЯ)~0 не доставляет деке слабого локальыого мияимума, (ьд ~ Пример 3» (Гвльберт) З~ссб))юХ».

Ж сй уряв~еыие Эйлера л.г ~~щ. =свгмс щ . ~Ющее решение жй)= С(' .»~~Ь Допустимая экстремаль ~ ®ю~ Заметим, что хотя допустимая экстремель не принвдлеиыт пространству С СО 11, рассмотрением элемеитов которого мы ограничились с самого ыачэла, тем не менее интеграл ~ ' й ~ряс~~ имеет смысл для Ю/3 ос~~)=Й и мы мокем легкб проверить непосредственно, что Э®д) а 5(сс(б) для любой ФункциижямС'СО 1] ° Тзким образом, задача (1) ыиывмиэапии фувкциовала 5:С ЕоЯ-~Я НЕ ИМЕЕТ рЕИЕНИй, НО Иыээт "ОбОбщЕННОЕ рЕШЕПИЕ" СЯ~)=тчз . Чтобы првдать смысл этому утвериде~ув, зукко подобрать пространство К более широкое, чем С ЕЕ, 1Д, содеривщее асИ и тэкое, что 7(ЙИ) я3(сои) для любого х() б Х В качестве такого Х моино взять» например» прострвнство абсолютно непрерывных йуыкцвй на ГО» 47, для которых интеграл Э(сс(б) сходится, КО Пример 4» (Вейерштрясс);У(сс Я) = ~ ю Ж сй Уравнение Эйлера Й 6~х = сод,,ц~ ° го,Ф Общее решеняе к®юСй ', 3» Через вуивые нэм тачки ые проходит ыи одна кривая этого семейства, т»е.

в зедаче ыет допустимых экстремелей. Болев того, на любой абсолютно непрерывной Функции ((сс( ь)> О , в то время как значение задачи рэвно кулю. Действительно, ' для миыимиэирухщей последовательнос- мы получаем, что Э(х-.„й)-~;>О ° ПРмеьеР 5 5(хьюг) =.) жьб~~й -~ МУ ° УРзвывние Эйлера 3 ос =со'сьев .Лопушиная акстремаяь осЮ= ~ едино~ венна Нетрудно проверить, что она достазляет слабый локвльный минимум в поставленной задаче, С другой стороны, определим послвдсвательыость Функций соотношениями 4 (О)еХ Ю=О ь л с -те ~ ~Къ(л-4, ~> ~, .

(~)=~~ Тогда Э(:~И)=-'~п+О(б— Функция й.;„Г ) при пъ ( не принадлежит С П, Щ,~', так как ее гряфик кусочно линеен и имеет излом при к =~~, Сгладим ьуыгл~ию ос,„~ ) тан, чтобы она стала непрерывно дв$$еренцируемой, а значение ЙХ; И) изменилось бы на ограниченную с ростом П. величину. Тогдя мы получим, что значение ащ~чи равно - о ° Таким образ<и, допустиыея зкстремаль единственна, лает слабый локальный экстремум, но не дает значение задачи, (Сгляживение Функции,й„(,) можно произвести, заменив ее график вблизи точки излома щгой окружности достаточно малого радиуса, вписзнной в гра$ик ) б) Зяяяча ~~. Пусть) 1,.6 3 оурезеок вй,(„:Д-ьЛ щункцня с описанными выше свойствами и т..Я -'Я - непрерывно дирреренцируемая Функция аргументон У,, 7 . Расе смотрим в банановом пространстве С Н,,~,7 функциоыал, определяемый формулой +я Э(-о»=~ ~«..~.