Галеев Э.М., Кушниренко А.Г., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимальному управлению, страница 5

(В баллистике зта кривая носит наимеыоваже кривой безопасности ) Из условия ~ з м~Т) у следует, что при ч > ~-у имеются две допустимые зкстремали Причем верзмая еистремаль (иавесиая) имеет пересечезие с огиба- мяей (т е, оопрязеизуи точку) внутри (ОьТ) и таким образом ие доставляет еистремума, Нммви еистремель (настильная) пе име- ет пересечения с отмбазаей яа (ОьТ) (т е. зе зияет за (О ТД сопряиеянвк тачек). Проверив остальяие условия в теореме 2, мозно убедиться, что пязнш екстремаль доставлает сияний мязи- муме утиу) 18. ~;ц~ оу о(1' Ы6у., юг (те Ю 11. ~ хЕ И (л с1 утеу) 12, Пример Больны ~ Й-ос ) сис ' ел~'"- ° (т. о~ 13, ~ (к;их )бас -~ с к, исследовать характер ек.з Го,оу л стремвли ~ в О .

Ш, Ответы. 1.-~~~+®'т. Т/4) К - сильный миннмум1 2 При Т<Х х (сОМ, ~)IД+(Я+ «» //» СЯ Га)ФАфФЛ доставляет сильный минимум При Т>,3 нет слабого миниыумв з. й/~) У е.йр ( ь- б) — сильный минимум. 4. ~й3 — бМ.ф 444/Ла4.7.+(®/ь~.М «сильный мексимум. 5, ЫГ-»Ф У/бАГ)4М. - сильный, минимум~ 8, П~иТЖ х. (3(РаТ-Т)Л~лЬ+~ФгаМ - силь ный минимум При Т)Ж нет слабого минимуме, 7 ~~"~-~~'+~у~~~"~~ ~ - сильный максимум 8.У6/~ - слабый минимум прн.У~-7./5 и слабый макси- мум при 5'<-7 /5-.

~~у 9, Лоцустнмвя екстремвль существует только при 7 АЯЯ л При у>фТ. функция ос = 5 ГИ~4 — ~ 1 доставляет слабый ми- нимум ~ Приь< йТфункпнв ос= АСС -(И+с) 1 дортввляет слабый мвкл 4 симум* Ч Фе~ Констечта С определяется из урввнения 5 ЕТ," С) С .1 =М, 4 10 Ы~/Т - слабый минимум приу/Т» ~ Ф ~Ю" ЬЬ прит/Т.ы(бгф 2~9: - слабый максмяум, 4=б+4 гя, .. 11.ус/Т. - слабый-минимум щам/7'>-,2, приХ/Т,(-2 — слабый макс;еыум. 12,5Ф~Т - слабый меяимум прн !>/Т.)>5, прн - р» ') й/Т.)<З - слабый максимуме 13л х О - слабый минимум, Часть П, Необходимые словца скот а з ач классического ва иеционного исчисления и оптвмальнаго ев- ленин. Введение 1. Принцип Лагранза для задач Классического вариационного исчисления и задач оптимального управления.

В злемеытарной гладкой задаче без ограничений (см. з2) фх,)- ял~'г, л необходимым уел~вием локального экстремума в точке М: явля- лось условие т (х) О ° При нахоздении зкстреыума в глад- кой задаче с ограничеыеями типа равенств и неравенств ~Е(х)- МЪ РТА О ~б(с)~0 с'=/...,~~г.. Мю составляли Функцию Лагренза Х(х, у, Л,Я )=Л т.(х) + '[у"~Гух~4 ХяЫ,Л..6'я ~щеу, Л=й ...Л )~я и сказывалось, что йеобходиыые условия лаального экстремума в задаче совпадашт с необходжаыж условнями локального зкст- рещума Функции Лагранза, где роль ограннчений, вклкченных в Функцию Лагренза, уке не учитывается. В з 2 мы назвали такой прием снятии ограничений принципсм Лагренза Мы будем пользо- ваться этим приемом при решеник задачи,с подвизными концамн, изопери~етрической задачи, задача со старвими пр~жзводныыи и общей задачи оптимального управления» 2, Постановка обишй задачи оптимального управления и Функция Лагреняа Зафиксируем замкнутый отрезок .ц в Я и рассмотрим банахово простреяство Я ) к~(4 Я ) лЯкЯ, состоящее из элементовУ=)~ТО, ЙО, 6, ~,) В атом пространстве рассмотрим открытое мыоиество, определяемое условиямиь.еХаИ,х цХы~ц и 1 <1~, и поставим задачу: ~ю г( в, им ~ т;/дц щива Кй,рн~,(, Г(4 а4 ~=Уй,хй) а.КО, и С; -~ (1 .гй) и(1))гК.

~~ а,, с=~ ..., лг,. ()Р й. ~© Ю,ю Хжд)% б.,~=~ ...,Ф, где запись й~-8 означевт, что рассматрзвается одно из соотнозмяиц а=б, (хц8,аъ8 .. При атом в (1) - (2) ~1:6 "Й 'Я,с=6~...,лх,' (у;~,~-~Я (~(:И( Я,,('--~.", 4; где б'- ю о' и )Л/ - открытые мнозества в пространствахЯ 'Я и Я Я лЯлЯ соответствеыао. М- произвольное подыыозество вЯ Ограничение х'=УЙ,.'х' и.) назнввется двФФереыциельной связьв, ограничения ~~'/ (х..х и)о(х ~ ~ называются Мэ изапериметричесиими условиями, ограничения '/'Й, х~~,1~ хЯф $0 называются граничными или краевыми условиями Функции~(:б"Д Я,с=О1,.„гж иУ.'6 Ы- Я и их частные производные по .~ непрерывны в 6~'Й, а Функцыы У~ 'И/- Я,~=О!„,, З непрерывно дяФФереыцируемы в(я. Четые(жу ~х Я, ЙЯ, х,М, „) будем называть управлявмым процессом в задаче (1)-(2), если — 47- а) управлрвие и():И т,3 Я - кусочно-непрерывыая функция ' Ее значения в точках разрыва существенной роли ые играют; для определенности будем считать, что Ы® непрерввяа справа для М,~1<1 и слева в точке ~~ ° б) базовая траеиторвя хЯ:Я, ~,~ Я нецрерывыа и ее грмрик лепит в Ь' ~Й,~®); М.4~<~,~с~т.

в) дяя всех 1ей, 1,2, кроме, быть молот,точек разрыва управления ((И, ФунвпяябгЯ удовлетворяет днФференциальясму уравнению х.Я= У'И.,хЮ, иЮ) (в зтои случае мы говорим, что х() соответствует упразленвю иЯ 7 легко мдетьь что в точках РазРыва УпРавлениЯ б((') имеет производвые слева и оправа) ° Управляемый процесс иазывается допустшым, если удовлетворяются изопериметричесяие и краевые условия.„ Допустимый управляемый процесс (-с(Э, й(.), 1, 1 ) называется (лоизльяо) оптимальным, если иайдетоя такое Е>0, что для всякого допусьчмого увреллямяахц процесса (а(Э, Ш) 1..Е,) талого, чтоИЛ-М !<Я, К=О.(, и )сс(4) с~(о)~~ Двп всех юа~ЯЯ(О ф ) выполыаетса неравенство 3(сс(), и(),4,Ф.,)р 3(хС).й(), ~., К;) Фуиицией латрзииа этой задачи называется функция 2 ( с з ин, М„1, ри, л, и, л.) /~ ~Д ~', 4р 1) То есть имеет ва отрезке конечное число разрывов первого ролзе $5 ' Задачи с подвнэными концами 1, Теория рассмотрим фунициовел простейзей (многомерной) задник клаоовческого вариациопного исчисления 'Л= ~!.И,Х,Х)ой .С=СХо...,Х„).

М,, Пусть коксы отрезка С~ ~,3 подвкивм, тогда З=ЗЫ>А,М,) ° Поставим эедачу Д~, г.~,~- .1); Ч~~... Ю,~„(а,И=О, (1) Согласно принципу Хагрэниа необходэмые условия локального экстремума в задаче (1) совпэдвит с необходвмыыи условиями вокального экстремума фуниции Легрэниа с вкличенвыми в яее граничяымк услсвмвен М лад,йе„л л) л.(скию~иач~~РЮ~. Ф1 где Ъ =~Л~, .о Лэ) ° Если закрепить мыоиители Загранка, а затем Фиксировать один аргумент, то получатся две задачи без огрэквчеяий: ',~(~(.) ~, ~ Д, ~) ~ КЛ~З (посс(Э ); (2) ~(л ~ ~ р р ) ~ «Щ =;(по~ ~ )э (3) Задача (2) - это задача Больца (см. з 3), необходимыми условными слабого экстремума в которой аэляются уравнение Эйлера к условия тренсвероальностн по Хь) ° Задача (4) является продто задачей о ыахоидеввн экстреиума функции дщ~х переменных и необходимые ускбиия локального экстремума - это Ьф~("В,+.,~, Ъ„, Э~а О, с=а, ~.

~('Д, ф - 51- л даче на слабый экстремум являются Нуунинии х=О П Зщрчи,'Найти допустмэые экстремелн в слелуэщих эа- дачах на слабый экстремум, 1. ~~АР я-усЫ ел1Ъ.. ~Го~=О. о 2„~ (сс+ссл~Ж вЂ” ~'ЫФ.г ~С0~=1 4 з. ~л~;Ц .~~а~~) нлЬ~, аМ=с7. о Т 4. ~[ха х~ац.

— алй; х(о)=0, 0 ~Й-.К))Ж-~Е.Тй, ~й)=б 'Т е. ~Я~,х)а1 — э аул,' лспо)=0, -.с(7)=-й' Т 7. ~ (~д„.с„.я~ -~ й.щ х(о)= Р ЖЩ=T. в. ~~х'т+~) ~à — м~, х~о)=0, ~СЮ=~ о Т э. ~;с~сМ едй,' х(4=О. Т+х(7)+1=0 Т А 1О | 'Ъ- б Й' хЫ)=О Р-О ГО+я=О, 0 т 11 ~ ~хй+сб)) бй ай, ссй)=б, Т+~ Л)т (-О. Ф~ 12. ~ ~ — — бй~ — ~ЕЮ'~, Х1О) =1. о н.т т /,н 1з. Ьй Н, екй нуае= ~ 7-хГВ= 1. ',г х 7 От 14 ф~~ цЦ вЂ” ~ нг~~ ~с(о) = У Д 7+х(~) =ф. .М: / 'т. 1з ' ~хД+~~ дЦ -ъ еу~з ' т~ 7 ) ='Х от т 1е.

! й, — екй ~4+х' Ы=~ м~-т)- <-~=а -т / Т .. Я~ ~Ы й, й~=О тхГй=~ Ш, Ответы, 1. -~/~.гФ 2 сЯ~- ЮАЛФЩСА / з. прн М-т я=О . пр ~=-у рс-а8,аеР-лыса. . Ф-г7.>/~ 5. Прн С=~й % ~~=от~Г.> " ааЯ - лвоое, при Т,+П ~~, 1=0~Г,,-- 4~1у. в' ж -~/4 Т=Г7Т у, х = йа/4=~~5'/)~ 7 =Е~4КГ, зл зкстремалн нв сунсстнуют нуння грань-, равнан 1/2 джтнг л л э, х -21 T7 л ю. ос =-41, 7=1/Г* 11~ д~ =-Л сА7юА'6, где Т оирвдвлнетск на уравненнн К а 7= п,-й- 1З.

х= У,-Р-У~Д Т=Р л л 14.,Х.= ~ч-Д~-~л 7- ~ Щ - 53 13 При ф<(сТс зкстремалей нет, При ф=Ц- веется единственная зистремель хабсЩ1."~С~, где С. - единственное реяеяие уравнения ~ сЦ~/С.) ° При фМТ вмезися дзе дасустимые зкстРемази Я.с=сбсе ~й/с„), где с;, Г', А,й. - два различвыл репмыия уравнения с с4 СГ (с)~~. хБ.

Й.=-у~-~~ ) Г=6/ЗГ. 1Т. й.=~/Л.,т= а',~'. з бз Изопериметричеспие зедачи классичесного вариециояяого всчислеывя 1. Теория. рассмотрим заяачу ) ь<й,,м В ш~ц~дз~ььь-", '-Р „, тч зс( ~~)~ссорах ~Ьд)~хьу ТО)~ь филсироваяые Согласно принципу Лагренва яеоблодяыые условия лонального экстремума в задаче (1) совпадают с яеоблодзмыми условяяыи лоиальяого зкстремума Функции Лагряяиа задачи (1), в иоторую включены иятегральяые ограничения: Ьь Х ('м.(.

)) = ~ ~ ~Т,)х.)Я,) сК-ь О~А~.,' «ойдо)=хфрМ(~2) 'Вф з где ~ Ю «,з )= ь.. ~1+с(~~~ьл ) ° Задача (2) - зто ~40 простейязя задела классического варищиояяого исчисления (см. з 3), необлодимыы условием слабого зистремума в которой является уравнение Эйлера. ТВОРзме Пусть Функции ©Й х,ъ), ь Озф>...,м непрерывно ди$Фереицируаю по всем своим перемеявым и Функция л.

С ) доставляет слабый экстремум в заделе (1) ° Тогда найдутся мноиители Лаграыяа Ъс ьЪ. ь.. )(,„, яе рявяые одновременно яулв и такие, что выполияется уравяеяие Эйлера ' -54- Прниер. ~ХЯ~-Ьтитд.; ~ЗС4С-~., Хй)еХ(Х)м0, .г Полоиим С,И,В <.Ъьх ° Уравнение Эйлера -ЭеЯ ~)ьмО ° Мноиитвль З,Ф0, ибо иначе Ъ,=О, что противоречит теореме.

Полонин Ъ.е ЦД, ° Тогда обвив ранение уразиения Зйлвра ХЩ = ЪьаеУ'Х Ь Сьй+Са П, Задачи, Зайти допустгиые вкстремалн в оледухщнх измернметричеоких задачах, ~~. 4С-~щ~; ~хам 3, хС0)=1 х11)=б. 1 о о 1 г. ~ ~.'А - ~иф; ~1зс.Й~=О, хо) =-~г,х~Ц=~, о о з. ~У~Ф ~ ~',~~2С -ВфЫЕг-2,~Е"2~~а -Ы, О Р 6 1г и 4е ~ х, Й - ье~) ~ л.4С =0 ~оьл)С=1,хго)ох.1гг)=9„ о о Зе ~ег.