Галеев Э.М., Кушниренко А.Г., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимальному управлению (1050548), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ХМ .Е( (. -,Л, 4с и задачу без ограничений (4) 2(~С))- сл(Т., -ЗТ- Эта задача называется задачей Больца Теорема 2> (Необходимое условие экстремума в задаче Еольца» ) т Воли фуякция ~Ср) Ь С С1>, 1> 3 доставляет слабый экстремум в задаче (4) > то выполяекы - условие стациокарнссти л л - — ~. ю Е. м=о ~Й,Й - условие тренсверсальвости Е. И.) = (-~~~~~ —, ~'=о ) „ л ~ >)сс(т ) В последней формуле мы использовали обозначения ъс >ам».) Н>,)) »» ат. 4 Эта теорема остается в сивые и тоглла, когда Ь и ь заданы в открытых мноиествах в Ж и Ж соответственно, а такие, для вектор-Функций на П,, 1,7 В последнем случае услрввя трансверсальности зукко рассматривать кек систему сказярвых условий е.
ж=и)' у., =~„, и ~=о~ ~а~ л. ' эх И)' > > Прщер Э. Я о~~ $ж'(О3-5лс (О- .МУ Ф ° уравьение эйлера ~=б4щьз Общее рещение хй)=й~ "а, условия трансверсакьыости.йй (о) =с>сс (о),Ах 9) =,> Осе й3. допустимая экстремаль ж =О П Задачи а) Найти допустимые экстремалы в задачах на экстремум слелулцих Функционалов и кепосредственно исследовать характер доставляемого экстремума: сАП (ж -сс)аИ. 1и,о) -34- г'Г,Гг4) 22, ~ Е. х гК го о) Г)„6 28. ~ .'~ Д го о) гг,г) (~~1) х~сК го,о) гг,г) е, й 25.
Пример Гикьберта.,) И гх -' Жа )сй. го,о) Й 4) 26, Го о) й,,х,) ~~+х~ ~ 27. Геодезические на полуплоскости Пуанкаре,~ ~ юг.. гт., ~) К Ад 28, Задача о минимальной поверхности вращения, ~ оОЯ~-Д~ С-г, Аг) Ф;и) 29. Запвча о брахистохпоке. ~ ~ — Сй. )Ж Г7Л) 8о. ~ ~l Л -Г/~ .л о~~ го, о) Г .е .е 8).
~( -~в- Х, Х)Ы1,' х,йд-зУо)=х,И=а, х,®=2ЫА)зУ о ьэ 1О,— ю — +1 - або Мако 11, Йс4.~ - або, макс ур,1ейийеВ йпц, ВаЯ - любое, - або. Мин, 1З, ~у-й+~)~~'4 ~и~ - або. Мин. 4 14 Г + о або мине 15е Х 'ела+У - абсе мине 16. ое - або. Мин. 1У. 4/г- 1 - або. Мин.
4Х 4 18. е + ~+с)бе-б'- - абе мнн, 20е бе б абое мине 21. Е - або. Мин 22.Е ЬНе д -або. Мин. 23 еуу - або мине .Я' 24 абсе МИНе 25е О - абсе мине 26е ф 27, Уравнение Эйлера допускает интеграл знергни опЛ+х хЫх т е приводится к дкфйеренцнакьному уравнению —. =еьь е Общее решение х+Й'С,) =С . Допустимая эйстряеаль - по- луокрукность с центрац ° лекащим на оси х=О, проходвцая че- рез точный„х,) > Й„хе) (Данный способ не позволяет най- ти геодезические, проходвциэ через точки Й, х.), Й, ~.) 28, Уравнение Эйлера допускает иытеграл энергии х=С~7+х~, который имеет решение х=С сА.Я- е Я.
Допустимой экстре- малью является цепная линия а' с4 й 29 Уравнение Эйлера допускает интеграл знергнидц х =сне Интегрируя уравнение с помощью подстановки х=ац к~м~,л,~. находим экстремали В параметрической церне х е.й Гу с а те г-Меч. 1= ~:д — а. С . Допустимая экстремаль .Х= /-Сов у', с= е — Нгп.ее - Э8- З'леА 3) уравнение Зйлеу допускает интегрэл энергии еее С . Общее решение~-4) =4С'~х'+Й-С) Лкя экстремазей, про- хорящих через точку (О Ол выксхлняется сооткошенве 4=4с Я-фи, следовательно, 8 -ЯД~ =4с~~, если ввести в качестве парвмера ывклов экстремум~ качало ко- ординат: осйМ *, то С =-'~~, Д = — —, и уравнение экстремалей, проходящвх через точву ~О О) примет ввд Х Е е Е' ° Из условияКМ=7 следует, что ееС при~>~Э-Я.
Имеются две допустимые эистремели, при з 3' Щ~-~ имеется единственная допуставя зкстреыаль, при у <~ - я, допустимых экстремелей ндт, л л З1, Х Н) = яП 1ЕЙ -+ЯЛ НЛЬ, Х Я=А ~ Яа1е Ил 4я К~ - абое МИНе а.Х,Ю 14А УПЬ,Х (Яма.-МПР л и л зз.х,®=Е, х,Яме З4 Х~®= У-ЕНЕС, ~дЮе1.-СО44. - Вбо Маио зз,х,й)=к+сщйЕ, х й) -си~,,х ®=сай-~ Вбо» МИНе ~Л З б) 1е 2е,йф, 3.
соя,~-~ е. е'+м'л е. 8. ~~+~, и. -4' —. Е+У 7.24йед. 8е ~Д е7е з.~р д-у ю. х,Ю-х, ®-О. $ 4. Условия слабого и сального экстремума для простейшей захачи классического вариациоыыого иочисления 1. Теория. Пусть дева простейшая задача классического вариациовного ис веления иьх,) ,)( О)=1 (.К,х)н- ьЯ:Я'-а, ~С(Я))«" И х.) Рассмотрвы необходимые условвя слабого экстремума в задаче (1). По теореме 1 из з 3 необходимо выполнение уравнения Эйлера. л л ,~р (.. (б,) (- Й)=0 М МеЙ, ~ 3,— Вычисляя квадратичную часть по М я приращенвя 7(сср)+Яр)-3(мр)) нетрудно получить, что для случая задачи на минимум необходимо л л й) >~0 1соответствеыыо для максимума Е с ° Я)40 ) И Ей.е ~,3, Условие (2) ыазывается условием Лекандра, Если дзя задачи на миызмум выпслыеыо строгое неравенство л 1...
(г'.) >0 (соответственно для задачи яа максимум ~..й) 0) У~~й. ~,~ то говорят, что ыа зкстремази выполнено усиленное условие Леиандра Ваимув роль при выясыении характера знстремума, доставляемого зкстремалщ, играет урзвыенде Эйлера для леграыииана Е(с,4, ~)=Е„, А '2~; . 44 "~ Я~ которое мокет быть приведено к впду ~~ р" '~ ~ ~~ <з) Уравнение (3) называют уравнением Якоби эщдачи (1) Нули решения уравнения Якоби с начальными условиями т),1с,)=(), ~,(Ц=~ отличные от Ьр, называются точками,сопрявенвыми с ге, или с оправе иными точками. Если лагранвиен ЬК х,й)квадратичен по х Е при любом ь,щС1е ~Д, то уравнение Якоби совпадает с однороднвм уран- нением уравнения Эйлера.
Теорема 1~ (Необходимые и достатсчыые условна слабюго мил нимума). а) )ея того чтобы фуняцвн 3('.(е) доставляла слабый мкявмум в задаче (1), необходимо, чтобы л 1) Сс. С~) была допустимой зкстремалью, 2) выполнялось условие Леиандра, 3) на интервале (Т., ЬД не бнло сопрявенных точек. б) Лля того чтобы функция Х.(.) доставляла слабый ми- нимум в задаче (1) достаточно, чтобы л 1) Зс.~ ) была допустимой экстремалью, 2) выполнялось усиленное условие Левандра, 3) на полуинтервеле (,Сез'~ь] не было сопрявеныых точек, Тесьма 2 (Достаточные условия сильного минимума ) Если Функция х.() удовлетворяет достаточному условию слабого мини- мума теоремы 1 и легранвиан 1 (Й м;%) строго выпуклый по Ь для любых Ь и х, то х.( ) доставляет сильный минимум в задаче (1) ° Щеччйииеь Если ослабить условия теоремы 2 и потребовать строгую выпуклость лагракииана по Ъ лишь для любой пары (ь, ъ.(П)), где 1аСй,Ц то заключение теоремы будет невер- но (см задачу 13 настоящего парнгра4а) ° Если ве потребовать су- ществование такого О'О, что лагранвиан строго выцукл по Е для любой пары ~~ х) тзиой, что геСТе Яи ) х.-х.(Т)(<Е., то заключение теоремы будет верным.
Помвмо аналитического определения сопрявенной точки полез- но иметь в виду гесметрическое определение ее: сопрявенная точ- ка есть "точка пересеченвя бесконечно близких экстремалей" ° Точ« нее,пусть х.(Й Ъ)- совокупность решений уравнении Эйлера, зави- сящая от параметра Ъ и удовлетворязщая услозвям х.(Ф.,зЪ)мх ° ()) с( ~ Т ) ° я ( ~е ~)( ] ж ~ ( ~р ) + ~ ° Тогда сспрявекную точку на экстремали Я.~.) мозно нэяти, как точку пересеченэя л х.~е) и огибающей семейства сс.(.'Ь,в), т е~ кривой Ъ ос Ф,>)/ в'д = О (А,зь Пример 1 ) зЪ Й -ч М~. уопустимая зкстремаль УЮ ю ° 1 ° м бтб- выполнено усиленное условие Лезвыдра в зацаче ка мийимум. Уравнение Якоби /ь О .
Решением ураввевии Якоф~ с качальвыми условиями Йе)мо, Ьо) х является Фуккцик Я6) . т, не имешзая нулей в точках, отличных от пуля Звшчит, сопрякеккых точек нет, По теореме 1 фуыиция Йи доставляет слабвй минимум Посиольку лагранзиап не является выпуклой фуцкцвей по м.', то достаточное условие сильного минимума ыа зистремаии х< ), указанное в теореме 2, ые выполвяе ток, сц т) Пример 2 Гщиокический осциллятор ) (~Р-хз)Д~ ъез~з; [Ф,е $ УРавиеиие ЗйлеРа з)+т ~б, Общее Решение' хЫ = ОьтчйеСьсэА Й й з 2 >б выполнено усиленное условие йевзыдра в задаче на минииум Точка Т, П является сопраиеыпой тачкой При Т~ з е' слабого ьоппмшма кот из-за яалкчкя сопряиекыой точки При Т, Т, если ~) Ф, допустимыми зкстремалями являются фуыкцви вида Из) С мну и дка пих выполняется необходимое условие слабого мккищума Поскскьку лагранкиан выпукл по м.
при любых 1 и оо, то gриТес~Г допустимая зкстремаль ЙИ- ') Ф- поставляет сильв й минимум. ьМТе Ф 11 Пример Зе 1 ')Гх+Х Я~~а,М -~ (м~ При отыскании м,еу допустаая зкстреиалей в етой задаче (см, ) 3 в 30) мы получили, что уразкевие пучка зкстремалей прзохсдящих через точку ~о,о), имеет вид х~Е,,д) 'аю +вф Г , где ~ - параметр, являхемйся ыаклоном экстремалы в начале координат Мы воспользуемся этим для нехоидения~сопрякепыых, точек, Найдем уровне~ ние огибамяей семейства: ф *' С + Я = О, откуда Ы = - -ти уравяеыие огкбамяей будет х = - а + ф' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
