Галеев Э.М., Кушниренко А.Г., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимальному управлению

МОСКОВСКИЙ ГОСУЛАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э.М.Ганеев, А.Г.Кушниренко, В.М.Тихомиров СБОРНИК ЗАЛАЧ ПО ОПТИМАЛЬНОМУ УПРАВЛЕНИЮ Издательство Московского университета — 1980 Рецензенты: канд. техн. наук Г.Ю. Ланкоз. канд. 4мз:мат. наук Н.Х. Розов В.М. Галеев, А.Г.

Еузмкрезко, В.М. Тихомиров. Сборник задач по оптювльному управленим. М., Изд-зо Моок. ум та, 1980, 76 о. Нвотовкий сборник ооотаклеп ив ведат ю оптимальному уп- рвзлэаия, предлатазимхол ю лвияилх, упраииензнх, зачетах и экзаменах ю иуроу "Оптиюльное упрэклеиие" иа механико-матвматичеоиом йаиультете МГУ. Квкднй яврвтрвф, иак щмлило, содераит теоретические озедения, условии задач, отлета и ременвн неютормх из нкх. Более подробнне теоретические сведении моию почерпнуть из учебюго юообии В.М.

влеюееза, В.М. Тихомирова я С.В. Фаммм "Октямазьнсе управление". М., Ввуза", 1979. Сбориик задач предлагаетон испольвсзать иак учебюе пособие ю занятиях по оптимальному управленим. Сборник будет псюзен студентам, икучазкмм этот нурс, а тане преподвзателим, юдуию аиазвткчиае турок. О мазктельстзо Московского университета, 1960 г. ввкдкник Нвстовздй сборник составлзк сотрудкикэми кш$едры об- щих проблем управления мехевико-математвческого Факультета ИГУ из задач, предлагавшихся в течевие вескольиих лет ва лек явях по курсу "Оптимакьксе упревлевие", а телке ва упрэквекм- ях, зачетах и экэвмеявх по атсму курсу. Сборвик состоит из двух частей и допоэыеивя, разби- тых ва 9 парвгрэФсв.

Кекдзй из пзрэгрвФов, крее цоследяего, состоит из трех частей: 1 - теоретические сведения, ваобходимые для решеввя задач данного пярагреФа, П - условия мдвч, Ш - ответы ко всем задачам и некоторые решеыия, В теоретичеокой части параграФа имеются упрэлкеыия для закреплэвия основных понятий теории и примеры, в которых показано, как эта теорвя примеыяется при решеяии зэдач. Нэк правило, внутри парзгрвра задачи располокевы в порядке возра- стэпвя слоияости, При решении задач необходимо пользоваться теорией ье только текущего, ыо и цредыд1щих царегрефов» В первой части сборника изучаются простейшие или, как их еще яазывэют - злемевтарыые задачи.

ПарагрзФ 1 пссзящея эе- дачэм яа вычисление производных по треше я яахсчденяе каса- тельных ыяокеств. ПарагрэФы 2 и 3 посвящены стыскеяил дс~ц~сгг- плх экстреыалей г гапячзх без огреяичеяэй'к с ограяяченияык тчпе ревеястэ и черавеяств. В этих ге параграФзх псмещеыы про- стейшие зедачи классического вариационзого исчисления - зада- чи с зэкреплеяяыыи ковцэьм и задачи Больца.

В $ 4 рассматрв- вэются условвя, при выполнении которых экстремель простейшей зедачи является мизимелью, Во второй части сформулирсвея ярвяцвп Ляграяка для задач классического вариациоявого исчвслеяия и оптимельыого упревлеиия Ня основе его выведеыы вли сФор~улирсввяы яеобхо- димые условия локельяого экстремума в шсследовэыы задачи с подзиквыми кояпеыи, изоперяметрические задачи, эедэяи со старшвмк проиэводпыми, задачи окниелького управления и авто- матического регулвроввяия.

Несколько особяяком стоит допааяе- яие (5 9), в котором собрэим эщзячи повышеввой словяости, -4- Пособиями по теоретическому ыатериалу сборника могут слукить следухщие издания: 1 Коаогоров А.Н., йоыиы С В Элементы теории руякций и функционального анализа, М. ° "Наука", 1976.

2. Иойфе А.Д., Тихомиров В М, Теория экстремальных задач, М., "Наука", 1974. 3 Понтрягин Л.С., Болтянский В Г,' Гамкрелидзе Р.Б„Мощенко Е.Ф» Математическая теория оптимальных процессов, М.» йизматгяэ, 1961. 4 Алексеев В.М., Тихаьиров В.М Прикшш Лаграниа и задачи сптвмельного управлеэия, часть 1, М*, Изд-во МГУ, 1979 Настоящий сборник задач предлагается для использования в качестве, учебного пособия ыа упракнениях по курсу "Оптимальное управление", Сборыик будет полезек студентам и аспирантам. изучакщкм этот курс, а такие преподэвателяы МГУ и других вузов, ведущим эыэлогичные курсы. Авторы благодарыы В.М,Акексееву', внимательно прочитавшему сборник в рукописи и высказавшещ~ ряд ценных замечаний. Основные определения и обозначения у~ — совокупность всех вещественных чисел, числовая прямеяр Я - расширенная вещественная прямая, по»щчаемая иэ Ж присоединением символов — и + о Л - а- мерное веществекное линейное простренство или а.

— мерное эвклидово пространство, Гг/~) - скалярное произведение векторов х,~ евклидова пространства или гильбертова простренства, СЛ.Л ) - пространство непрерывных вектор-функций Х: Т Л, веденных ня комцакте 7 с нормой /х И 11 гп ом!х'// С<7) =СГт, И~" С Ы„, О ~ ГЧ1- ПРОСтРаНСтВО с - Раэ НЕПРЕРМВНО ДМР- ференцируемых вектор-функций х: Ы, с / М, эщиаы- вых на ионечном отрезке Е~,~, 7СЯ с нормой /1;г И//= Ф ~» И,43=~вЕ~, ~»1- гильбертово проженство измеримых по Лебегу Функций ыа ~ с,„, ~ 7 суюиируемых вместе с квщц- ратом, Х - банахово простревство воех линейных вепре- рывыых фуизпиовалов ыа бенаховом простраыстве Х Сп ~ .х) - результэт пркыеиевия функционелв х еХ к элементу х еХ Хх У - произведевие нормировеииых пространств Х и У, нормировянное цростреыство с ыорвй 4К;у)//=„ гР.сИ< Фг»„, 1/уи„~ -6л. фК~ - лиыейыея оболочка миоиества ~ в лвыей- нсм пространстве, т.е.

пересечеыие воех линейыых подпрост- ранств, содериящвх -»~ ° пусть Х-некотцрое мвозество, ~: Х Ж отобреиение, называемое фуякциовалсм. и Сс Х - подыноиество в Х яе чваемое ограничением, л Точиа и а <. вазывается тачкой абсолютного минимума ~ при огравиченви С, если ~Ях~>Я~) для любогохеС. Если Х - топологичесиое пространство и существует такая оврествость Ф~ точкиХеС, что~Ъ)>~ф) для любого ха СЛ Й, то 2 называется локальным минимумам при огравичевии С Задачу отыскавия точки абсолютного шзи точии локаиьве.

го минвмума у' при огравичеяии С мы будем ворстио записывать в виде и называть задачей минимизации, Точку минимума ~ будем называть решением задачи или мипвмаяью. Авелсгично мозно рассыотреть задачи меисимизеции ~~х~ — л~о; ~ - С, которую мозно свести к задаче минимизации Функции ~ м-~ ° Если для функционала ~ и ограничения С ыуиво одновремеыно решить и задачу миввмизацви и задачу максимизации, мы будем писать .г~М вЂ” «6Е; .~б:С В случае, если С=~,мы будем опускать запись Х вЂ” С и говорить о задаче бес ограничений, Часть 1. Гладкие задачи.

Простейшие задачи классического вариациснного исчисления з 1, Элементы дш',4еренциального исчисления 1. Теория. 1,1. Определение. пусть Х и У - норарованные пространства, С - открытое множество в Х нГс(ь У отображение. л Говорят, что Г имеет в точке сс производную по направлению 8 , если существует предел Г'(" 4) =С '"( "Е-г( ), (1) ~~о л Пусть Г имеет в точке Х производную по любому направлению 4 . Тогда шункцию Я Г(й, ®~ называют вариацией Г в точке х и обозначают Х+ Г~х., ~~ ° йсли для любого 4Е К существует предел Г(х ХЯ) Г(х) (и) я-о л то Функцию А — огГ(~,А) называют первой вариацией по Лиграыщу отображения . Г в точке ос Говорят, что Г имеет в точке ос производную по Гаго, если существует линейный непрерывный оператор 4:Х- У такой, что ЕГ(",А~ =Л ~, л Говорят, что Г имеет в точке .х производную по ыреше, если существует непрерывный линейный операторд:Х У и функция с -' сс У такие, что Г(".сс)=Гф)~д,х-и(х), уи(х)р /Лс$ — О, <') при ХхР О Х Если в каждой точке некоторого открытого множества Сс Хотображение Г имеет производную Фреше, то ~ называют гладким в сб .

Оператор Л щГЯ У~ в.определении производной Гато и Фреше обозначается соответственно Г (х) и Г(х) ° Ес- г ли отображение Г дийФеренцируемо по Фреше в точке со ,то мы пишем Г6 З(х~ Говорят, что отображение ~ строго дищФеренцируемо в л т л точке ю, если ~ш,О (сс) и,кроме того, для любого 8>0 найдется такое шьО, что из неравенств Пм -хч З ~о, йл'-хи <Х следует неравенство 11 Рх ) -Г(ю~-Г (х)(Х '-х)0 < ЕИх'-х И, (5) л При этом ыы пишем Рщ. 53 (Л') бчевидны включения Я) ЮсЗ(сй)сС(Х.'), где через С(сс) обозначена совокупность отображенЫ, непрерывных в точке х Упрзвнения, 1~ Пснвести пример отображения, вмеищего первую вариацию, но не имеющего первой вариации по лагранжу.

2. Привести пример отображения, имеющего первую вариацию по Лагранжу, но не имеющего производной Гато. 3. Првести пример отображения, имеющего производную Гето, но не вмеющего производной Фреше. 4. Привести пример отображения, имеющего производную броше, но не строго дв$реренцируеыого. Производная,~~М) кли уГ (ос) (по Фреше или по Гато) Функционала Г;Я- Д есть по определению элемент ~,(Х,Ж) Фт К» - сопряженногс пространства.

Если Х гильбертазо пространство, то Х можно кэнонически отождествить с Х , поэтому можно считать,у (х:) элементом самого ° Этот элемент называется градиентсм . Функции )". )~ Д в точ- кессщХ. странство непрерывных линейных отобрэженнй пространства Х в прострзнство У . Это пространство является нормированнйм относительно нормы фЯ/=лип . ллл» . Топо- ли +1 У лонв, задаваемую втой нормой,мы называем рвййомерной. упражнение 5. доказать, что направление градиента есть "направление наискорейшего подъема" юункции, т.е. среди всех направлений 4 единичной длины в гильбертсзом пространст- ве Х, направление 4, =~'Я)////'Я)// (в допущен,что У<' / ~;л, <м/4О ) облапает тем свойством, что уя,~) ум,4 Пусть д,, ~/„и Я - нормированные пространства, М— окрестность точки /Й ф) вХяУ и 9~ И(-ь-Я . Если отобе ~ е л равенне Ж-» У(м„у) ш. ф ~Х), то его производная называ- ется частной производной отображения Ч~ и обозначается (б у ) ° Аналогично определяется ~/~ ~х ф Если 'и'с.

ьс- некоторое открытое множество, дж восход~)/ производнаяя /- ~со/ (пс треше) существует и отображение ас-~Г А./ непрерывно в точках множества У относительно равномерной топологии пространства~®/~ то говоисят,' что у непрерывно дшйференцируемо в М и пишут: РЪ С ~У~ . Аналогично опре- деление овязано с д))ф$еренцируемостью по Гато. Соответствующее обозначение: Гб С,И//. Пусть У - но1мирсваннсе пространство, /ч - подмножест- во в К , ЙаМ.

Вектор 4а Х называется полукасательным в /'/ л' в точке Х , если существует отображение .с: 1 О с)'«Х такое, что а) И й)Н/1 -'" 0 при у -ю О ~Й-Ф 1 ~Я) = 0 ®), б) ж "~Я. 'иЯ~) еР~ Мй к/.с~Е) Совокупность всех полукасательных векторов к Мв точке обозыачается 7~ М и называется касательным множеством к Н вточкех л Упражнение 6 а) Касательное множество непусто. б) Касательное множество есть конус (т е. если 6ИТ/~У, АВО, тоМ~ 7~М Еслй7, /~ - подпростраыство, то его называют касатель- ным поипррстранством к /'У в точке ж 1 2 Основные теоремы дийференциальыого исчисления.