Галеев Э.М., Кушниренко А.Г., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимальному управлению, страница 6

Й~ '«4э~м.ем~,~гКаф ос(0)мха)=(). о о е' К.я. 5 ~ ог одьМоК ььаф г) ~ ог с~Й ий/2 е ~(0) О хцг)мП' е 9 е н ЧГ 7 ~х3С~о4~~иоьОП»гйй.,~ага) Амтв,хю)=П,хаг)аО 9 е Р 8. ~м,Ж ~бф~осе, еЬ=й,,хФ)=2.,х60)=2а+1.. 0 О т, т. З, ~йК~Пф~~ЧВ ~,х.~о)-о. о о т т Ю.~ ЙК С ~Д~ А=1,хС0)=зс.О.')мО, т. 'Ь~ П. ~х.]~ 4.,К и~~;.~Я+Д4Ф ~,х~-т,)=х[.~')=0, х2е Задача дидоны, ) хЖ-эФстд-; ~я д ~~ -т, х.Е-Т ) =хСТ,)=0 ° -ъ $ ~8.

~х„х,й- вы~к.; ~х, 4~=~сс А=0, 0 о 9 х~(О)ахай) ОУ хами)=1 х. С1]=2. е 14. ~р,+,,)М-В4~Ь.; ) х,м,,41а0,Х,дЮ)=Х,~щ=р е иж сц 3. 3 п. ~1 ~х,-х,)сК- е ~ъ; ~х,х. Ф=-ЧВ, е о хай) ~а,~О)=ха0.)=0~ хаЬ)=2, Ш, Отлеты, 3 ~а~2~+1, 2. 5'Ф~ ~Ы-~~. з.

-1од-~ы~-+61+1. 4, Доыустныыык екстреыалкми янлккжся Функции х, ЙЪи йюь ЬГл. и.=+1 тЪе „, и ~Унынии к.а о~ (оса ~)ы-сМ'4Я, где м - л~бое ненулевое Ранение УРа3иениы ~ф +'~т~н, константа А накодктсн ие услоник ~~сЧФ 1. а . Ф 6. Ф, а.мА. у.

2М~й~с ~Ал~., 8е ЙФ 1т Ь: и'И 2Е)1 „.~~~,, >(~= .1,.й,.... йй 11л пра $ < Йто допустимой функции не сучмствует прк ЬОо ~с.ъО ° При ~гИо й.ас.(сайф-еАЬ), где коэффициент с, опредэлиетса иэ уравнении ЯТ,сА0 (с)4 12, При,4сЯТ» или В~тгТо допустимой экстремали не суцестщ~ет. При ЙТ,с.ЬаКТд сс =т(~Р:Тй-7К':~~); гдэ $=2Каъсс(а (.Т,И) ~ При ЯТ,=В ХиО э ~6с~=ь6-й~ ~.Й.=И~-М 1Ч. ~~-З~,'-З сс,= Ч;-З~к 1%.=ЗВ-ЕЕ ' .=-З~ р-, „~,„-,ч, т 7е Задачи со отариами проиаводваии теории раосмотрма мдачу сс()а С (С~о~~юД) ф~~ 'к со, „~к )Й +Ф<Ьь сс (1() к~' ~йО... ч4 ~ р~,(ц Преобйаэуем эадичу (И к стандартна~у виду, полозив ц:=~т ь„ ° ° ~~ Ф(Ьдч~9чс )$ъдъ)й~еФЬ~ ф 9~ 1о с Х~', ъ~ ~.(~„.).х.(( Ч,.=~,,ъ,~=~,~, Согласие принципу Лагр~ип(а иэослолвмае условии экстрам.и~а в эадиче, (2) совпадаит о 'иэо4лодвмими уса~авами экстремума фунвцви Лагрэиза эадачи (3)",' в'которум вклмчеиа дирререициаквиаа свиэвч ъа ЙИи,~и)=~~в.~~~„,~„~д ,'у (р„.(ц„.—.~.

р(цэ (ч(з) (М. - 57— ГДЕ Я(') Ьь('))"-'ЬОУЧМ в )Ч(') мфа()) .'Еф (=)) ° ЭаДаЧа (3) является простейьмй задачей классического вариеционного исчисления Есж щункция $()ь(С М М)) доставляет слабый эистремум в задаче (3), то (см. $3) ыайдутся мяовители ЛагРаниа Ъе и ~С ) сдновРеменно не Равные ЦУлю и такие,что для лагреязмаыа 4(1 ~,~)=Ъ|Щ~ь)".ф„ь~„)ьй:(р„ф.-~. ) ,;аь выполняется система уравнений Эйлера -~1.

(М+~~ =о, '=1, ~ь Система уравнений Эйлера в развернутом виде перепвсываетсг следующвм образом: Нетрудно заметить, ч4 для этой задачи с закрепленными концами Ъо'Фб, и поэтсму считаем Ъ, 1 ° Возвращаясь к исходвым обозначеыиям, получаем, что ыа экстремали ос()еГ~„С%с ч ~Д Э Я~/ выполняется следующая оистема уравнений: — ~~.+~~~ — ~=0 -~ ЖЦ -р„к=0, ь=2г,-.Р-1) из которой вытекает уравнение Р Я(ц 4 Ясю „,,1, 'Йы =О ~~~ (~ъ о ьъ) (~ь ь П ьъ ц ° ° Ох называемое уравнением Эйлера-Пуассона Таким образом, мы вывели следуюэию теореыу ТЕ ОЭЕМА, Пусть Функция ((Ь~х,х. ".~ос ) непрерывн~ о .

(ь) да)Щереыцируема по'всем своим аргументам и Функция л ъ.( ) ь ~ (СФ„,ФД) доставляет слабый экстремум в задаче (1). Тогда выполняется уравнение Зйнера-Пуассона Я ° пример ) Я, с(п, э Фйь ° х(0)=х(с)=О,х(1)=О,зс,и) 1, 9 (э1 уравнение Эйнар~-~)унесена м. =0 имеет обцее решение Х.(ч)а =сэйэ+сакэ+ С®В+ Сэ, Допустимая экстремаль сс(й=йд(й-й), П, Задачи Найти допустшые энстремали в сяедукеээк эадачах со стариемн производными на слабый экстремум.

Х 8. ~Я, -м~)о)Й- аешь; хсй=хсо)=хЦ)=р хС$)=1, о Х о. ~(-~ ф4~ .М.; св=йо) р, С%)=1.. о хо. ~ ~~-~,'-)АФ -~ аешь; хсо) =О, хС~)=1+хЦ)=Х. о Ф д. ~ Суо х~)ДФ- мьь;. Со) х,со)=1 х®=й хщ р. о т, т. ю. ) ~'4~ Си~; ~хЮ=1,хсо)=хсо) 9, о 9 т, т, 1з ° ) х, Дй-в ц~~) ~.х~4~~~. хсо1=хСо)=хПе)=хст)=О. 0 о 1 1 . ~жк ц;~.и=1,~ а-~ ьК=0.

о Р о о т, т, т, п. ~ Я~Д~-вцик~ ~х~Й 4. ~шй' 0,х,со) хО')хоО=Щ), о о о т. 16. ~Сх+~х~)Д~ ъасбь' хсо)=хсо)=р,хО;)=~,,х,Я)=~~, 9 т, пе ~ [х х~)АЙ ч Оса ) хСо)-х(о)-0)хЩ=~~ ХЛ~) «о а - 51- 15. Никнхш граыь, равную (2Т((т,), доставляет функцтш т утм(ж 1) lа , где ~ай - любое. 16» Экстремаьь, удовлетворяющее краевым условиям на левом конце, имеет внд х = СьЗА6/Яь(~~4И2+ С (еАО2 ° " ь4ы Ыу2 Й+IМ2 соо 1!з2 ) КоеКищиенты С, к С определяются кз'.краевых условий на ~~авен конце. Решение за- дачи имеется в книге Г2, стр~ 451) ° 17, Зкстремакь, удоыкетворяхщая краевым условиям на левом конце, имеет внд х = с,(сй-ьа 1)тс' (сК~ -саеВ~ коэщФк- цненты С и С определяются кз крмвых условий на правом конце. Решение задачи имеется в книге 12~ стр. 454 18.

Верхнюю грань, равную со ", доставляет та ке функция, что и в задаче 14 с соответствующей нормировкой т 8. Эадачн оптныакького управления и автоматического регулирования 1 Теория Рассмотрим екстремальную задачу, поставлен- ную во введении ко втеорой части задачника: ~(хо), >,Ф.,~,) = Й.й;х(5),к(4))й+Щ Щ4 Щ) ф1) е ~(Я х(4),м.(4)), МЕЖ +ь ,) -') (е ХЮ,4 М))бело Ф 12.. зь, Ьф (4) М ~~, сс Ц)) $ О (5) Ф у ~ г-'> Согласно принципу Лагранка необходньше условия локального минимума в задаче (1)-(5) совпадают с необходнмымн уел~ выамн в задаче минимизации ()ункцык Лагревка задачи (1)-(5), 1) Ссюви производятся на литературу, указанную во введении к задачнику.

в которув включены имекщиеся ограничения (4),(5) и днрререн- циельная связь (2): ф ©"",-о»~.,~.; ~о~~,7,М= ~ Ьй+~, Ф, где 2,=/эеар, Л =(Хзг..,1 )па, Г (Р )и а* Ьй,*,«,х) 2 ~.Я.(ф,л,«)+ ~(4Кх-уН,х,«)1, Ф(' ~.,~„Ц- Е,д;~ и.,~.,~.,~,~. Поскольку пункция Лагренна д является 4ункцией трек аргументов: х ( ), и с ) и (4„4 ), надлеиат рассмотреть три задачи: Фхо>~«О~4аАа> ~б)~ Мэ(" ю 1е1 ~ ~ члг Ь) ЖЙэ,«о),~.,+„ро), Л,у, Л,) -е 44,иь)еМ~р) М(х(.ь,йоь,1.,4,; р(),Л,~, $,) - 14. (~) са) Еак и в т 2,возникают необходвмпе условия согласованности знаков и условия дсполняицей неиеоткостн, запела (а) - это задача Больна (см, з 3), необлодаам условием экстремальности в которой являются уравнение Эйлера и условия тренсверсаяьности по хо>.

Задача (й) являетоя элементарной задачей, услозшяь стационарности в которой явлнется проото теорема Фере (сме $ 2) ° Заляям ())) имеет весьма простой вид Фе ~ ~ца(4))й-'4, «Н)я Ф, где А(+ иМ) = 1.(+, ЙИ),49) есМ) ° Задача (6) называется злемеытайной задачей оп.ймакьного управления. Необкодямым и достаточным условием,минвмума в ыей является соотношение ч ь~ КЯ,Я = ~й,й) почти всюду по 4 . .и ТЕОИМА. (Прияцкп максимума Понтрягина.

) Если ( ю() чл(б, Ф~, ел) - оптвмелзыый процесс для задачи (1)- (2), то найдутся мнокители Лагряняа л, ~ «.ф, р(),Д ~ не равные одновременно нулю и такие, что: а) выполнены условия стзционарности и прирцип максимума для функцви Лаграниа: 1) условие стациоыарности по х(.) ( у. „= е): -л(-~ (Ф)-~. И)=р, <К м м ~„.6„1 =(-Л~ Рй~, ~*о,1; 2) принцип миыиыума по и ( ): в лагранженсй $орме л [,Ю и (.(+,ЯЛ+),х(+),мй), ей))и те е ИФ,х(е), з8),и; ой9 з е7( 3) условия стационарыости по 4„ 'К =О, ( -О,Л.; « б) выполнено условие согласованности знаков: л ~~0, > я(); в) выполнены условия дополннияей неиесткости: 4', л;(Л ).(т)ят-ц„)еб, 1 1,„. чм; Я')) О, ~еА,..чя.

Ф, - 64- Ф Пример. ) (аз+ к)<гс -+ у,ы~; м(о)=О, ~~1лХ Преобразуем задачу к стандартной Форме: ) (и'+з)4~ -~ х ~ ( сс и. х(о)=О, ~и! сз.; Функция Легфнка ~= ~( ~,(й+х)+ ~(х-и)3 сЫ+) м(о) ° Уравнение Зйлера р = Ъ . Условия трансверсазьности ~(о)=Д, Ю(Ф)=0, П~жнцип мексииума'. ° >е ы (Ъ,и -(~и) =~,м'-ры~ . Предполоиим А,=О, тогда миь Ю = сояеХ ° Из условия р(Ф)=0 следует, что риО и все мнокители Лаграыка — нули, что противоречит теореме.

Огсюда (,40 ° Полагаем 3;-1. ° Тогда' ~(+)=1-Ф, при !) ~юй И1 при +нею , то есть со=~+ ~ р/2 при !.р! с2 1+-2 при 2<~лК Из начального условия находим непрерывную Функцию Ф при +ай! ~+1 пРи О ~ф и9. Мозно доказать, что зта функпвя — сильный минимум, П, Задачи а) Найти допустимые зкстремзли в следумкнх задачах оптимального управления, 2 «(,)=.(,, К(амо, Х(К)=-2.. о ~ ау«~. х(о)м~., х(о) зс(2)=2- о й 3 ~хй -+ Ь4; -й.

сЙ л2, х(о)=х(а) =х(2) =О. о т. * ~ „.Д~ Щ ~~) л.(., «(о) =х(Т.') =О, о - 65- т, ~, Д ф,.„~; )х) ~(. х(о)=х(о)=х(т)=0, о т. ~„Дф,1Д) )х) о1 х(о)=х(о)= х(т.)=х(т)=0. о 7. ~х,К 1 ~; ~ уа,ц-= —, х(ц=1, х(М=9. 1 Л. ~хД~ -,.;„ф» ~ х 4) = — ", х(о)=Х, х(о)=-(. т. т, э. ~ ~(;4., ~х%-~, х( )= (т.)-0. т. т, 10, ~х4ф -о(м~; ~ х «М(.=1, х(о)=х(о) =хГЦ=хИ;)о0. о о т 11. ~хй -» с4; О ах ~~., х(о)=)~,х(о)=~„х(Т)ахО)=0.

о 12. ~хЫ~АсН- й4;!х) о3., х(-о)=х(И=0. т. 1З. ) (х~-в )4~ .;, ( ) х) ~1 х( ) О. о У т, 14. ~ (й*-х*) Й ч 44) (Ы~М., х(о) хат.) =О. о т; 1бе ~(х'+х)Й - (4; !х! 4Х, м(о)о0. о т. (х+х)~(~ ( (; !х! «.(., х(о)ох(Т,)о0. о 16 т 17. ~(х'+х)Й «4; х(о)=0, х(Г)з~з2, ! х!о.(,. о 18е ~(хх+х')сМ--44; ]х! оА, х(о). ~. о Т ~!х)Й '4; хЪА, х()=0, х(т.)=~.