Галеев Э.М., Кушниренко А.Г., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимальному управлению, страница 2

Теореме 1 (о суперпозиции). Пусть Х,У 2 — нормирован- ы е пр р н ва,© — окр тн ть то й'в Х,//:М У, у =И(х) , T - окрестность точки ~ в У , Ы : У Я . Ес- лк Н и 8 строго дшрреренцируемы 1дшрреренцируемы по Фрешс) в точках ® и ~ соответственно, то суперпозиция отображе- - 1О- явй Г б И является строго дефферешшшруемой (дзфференц~- руемой по Фреше) в точке ж и прв етом Г(х) мв®ОЮ(х) (1) Упралыеяие 1. Покаките, что если (ТЕ 2) ф), а У имеет в точке а~ а) производную по направлению 4, или б) первую вариацю или в) первую вариацию по Легранву изи г) производную по Гато, то Г=(У У обладает тем ке свой- ств<м, что и Ю , прячем а) Г(х, В=6 Ц)Н(х., 4) б) д Г(х, ) м1!г('у)б Н(л, ), .) БГ(х 7 =6-'Я)БН<х..), ) Г.'(х) =б'(ф) У„'(').

Теоьема 2 (о среднем). Пусть Х и У - нормироваявые пространства, ~ - окрестность в Х, Г- отобреление из Й в У, отрезок ьх„х 7левит в Ы и Е ~ '. (Х, У) ° тог- да, если для любого3а Гхэ х 7 фуякция Г дм(фереяцируема по Гато в точке 3, то выполнены неравенства И Г(х,)-Г(хл)лм лор уГ ф)И Ф,т,-,к,д, (2) ~бах„х,7 Ь Ях,)-Е (х НЫх;х Иl. пар l/ Р (~)-~А 1(х -х, ~(.

уе(.хохе7 следствие (теорема шварца). Пусть )(, У и Я - норми- роваввые пространства, )э/ - страстность в Х "У, Ч~:Ы Я - отобрекение, имеюпее в кы~ой точке(х,феМчастные про- шзво)~ые ~х(х'У) ° ~л(х'ф, Боля отобракения (х,Ф л л -' Ч' (х,у) иГх,~)-~ У' (сс,'у) непрерывки в точке(ху) в' равномерной операторяьой топологии, то Ф~~В (х 'ф я прв этом и) мошко потребовать лвшь дшЩеренодруемость по Гато. . УЛ'-я', У(-,. „)=(,. „.

',;>, М=(у.й~. 2, У:4 ~ Ж, У(л.") =ЯХ+~,4 - матрица порядиалгла, ФбЯ 3, Я:Я М,Яж)= (Д~ ~х), „, ~~еЪ» ~~И- непре1мвпо ди$4еренцируемые функции Ф перемеяных. В эадачах 4-7 уч — гильбертово пространство. -Х:И-К .,7"( З=Г (Х) . 5е ~'Н ~Ю, У(х~=!I~ll ° й. ~:Н ~о~- Ф,3(х~=х/!1х)! 7е 1:Н-'Я,ЯЖ=(4ос/Х)+(сй)~г)+ч~ ' ~ Е Н, оСщ~Ж, 4 - самосопряяенный непрерывный рпюейный оператор 8,,1~:~яГО П 1К ДхЯ)'-"~ЛЙ)Я ЮоьП ~Й Я йл ГОЛ, ~.

~. Х,Со у1-~В,,К(х н)=' / ж'®~~~ 1о.Х~ЕоВ Я, У(йИ'= /'х® й) 11 .~:™~,~ОУ7~Я, У~фЯ)=( ~'Я)с~б). В задачах 12-14 найти прои одные Фреие следующих отобра; левый и представить их в иеионичесясм виде~ поль~ась следуФ щей теоремой Рисса об общем види липейвых непрерывных Щувиционалов в пространстве СГО Ц~. ТЮРЬМА (Рисе). Всяиий липейяый непрерывный Функционал на пространстве С~б,1] молью единственным обрезом представить в виде 4 (~", ~~~) =~~~б ф ~~' где 4,Я - $уииция ограниченной вариации, непрерывная справа, ирме повит быть тсчии 1=О, и нормироваыыая условием <~фбЬ 12. ~:С(О 17 М,,ФЦМ=Х~® ~=~ -~- 1З ' ~: СГо (] 'Н ~~(м( ) )= Цх(~) ц) я ~с = ~+1, 14, ~'СЕОП УУ, ~~фв)-;~е(о) (~ У У)~" С - 14- 4, у(х "6=(х4/х "а)=(х/х) ~2ЙМ)+(4/Ю) =,У~(ос)+ +Фх/Й+(л-/Ю, у(х) =ох (т.е.у(х) есть оператор скал лярясго умыозеявя на~ х ) ° 5.

Учитывая, что /=уоХ > гдеЯчгх/х~ р®=ф, по теореме о суяерпозяцви получаем, что,/(х)=х//х// я дяя лм- бого ~1 О е е. <,/®, в',>=~//хр '-х(х/4)//х// ~ х ч40, 7. У(х)=ГАх.-а., Е. < Лос(о), в.и> =5Ь,ЯуКсН э. <УЫя), Н»=Р~А.юх(6 И. 1П.<Лх(.)), Ы)>=~Д" ЮсН~ЙЖсН, 11. <Х(хб4, Е() >=~2'й)Ж~ЯЯ(()сН. УД.~(О" (.)+4())с(/ %М)),'=2-г4 ® А"Я) < ЯХ()) И) > =Ж(я)=~ НЕ)дР Я, Р- Ц-~» ' 1З <Лх Ь,йл=а~и.

да~йОИ фаИ(М). 14,< оГ~(ЯИ),40> =~ЙЦЗЯб +~Е'/~ (г3~ > е гдв иЮ=~ 15е < / (х(1), ЯИ>=А()бж„х() . 16. <У'(хО), АО>=У й.,хЮ)4Ю. Н.<У'(х"В),АИ>=~ И. Н,Г(4),Ц4))ЦМ+~.',ДМ,Ы)Ь)М, 18, <У(хя), АЯ> =)А Ч).б/УЛ Х®Ж о 19 Определим фуяйцяю,К:Я вЂ” Р формулой,/%,, х )=и' хл Проыеводяая,К(х)=(хл, а;) непрерывна в точке ~, стефа ясные у. регулярно.

По теореме Листерыыка 7 М=ФФу (сг)с М4,-МЗ - 15- 2О, а) Г~ У~ ал.~<ОДО,,б),(ОО~....,О),...,<О, ОУ)3 б) Т~ П=~Х=(Хо...~Хюи)ЕЯ l~ Х. Х. =О~. 21е 8сл, ~~ 22. ~А(.) ~Сто а ЦА Юс льХ~,а =о3, 22. ~АИЕ СГО Д !'ЫО)=Ы1) =0~ 24~ Я 25, Я 26, ~0~. 27 (О). 28, 6л,~(о 1)~. 29з Я зо' 4 ~(о В~.

4 2е Гладкие задачи беэ сграничеяий и с ограничениями типа ревепств и неравенств 1. Теория, Пусть 'Ю- открытое полмноиество в линейном нора~резанием пространстве Х; у: ~-~Я . Рассыотрвм задачу беэ сграыычеыий: Ях)- алас, (1) Теорема 1 (Ферма) Если п~ доставляет локальный экстремум в заделе (1), а .у — ди$$ерепцируема по Фремо (по Гато, имеет первую вариации), то ~Я)=О (УМ)=О, Ь;~М,А)вО уК~)~), (2) Точка Я, в которой выполняется какое-вибудь из условий (2), называется стециояарпой Пусть Я- открытое кодыпоиество в линейном нормирсвеппсм пространстве, У - липейпое ыо1мыровепыое пространство, ходвие условия минимума помогает ПйийЩп Л~аг йщВ, Лзя получения необходшзых условий аистремума в задаче с равенствами и веразеыствами следует составить фуызцию Лагранжа, включш в вее имеюяяеся огреничеыия.

Затем вужио выписать для йшнкцзи Лагранжа необходююе условие минимума в задаче без ограничений. Псзученное условие стациоварнссти следует дополнить условвями согласовавности знаков и условиями дополняюкей нежесткости. Этот првнцвп помогает угщпвать правильные формулировки теорем (ыо ые доказывает ети теоремы) ° Вернемся к задаче (3) и разберем отдельно случай равенств; ~Ас) яЛЬХ; ~~х)= ...

-„1 (х)-б Условие стациоыарыости функции Лагранжа, совместно с усяовиямибгГа9 .„~Г Г~) о задают следушшщс систему дли определения неизвествых т, Д б Я ", Л,: ~.мО т-ОС~~-.У К.~Ы=О, У=~,~,У( ~=О.=~..., .ю ' л 3ш,о ь( ° ""' 'г ь Всего получаетоя л а уравнений с а р .л' неизвестным. Одвако следует учесть, что множители Л(, Л заделы с точво- О ПйФГ НЧ стью до умножения ыа„положительное число,щййтйточно рассмотреть два случая: а) Л;-О, б) Л,тьО упражнение, флй фупкционазы ~~®,..., )~ ('д9 лирейно независимы, то с Ф О (и звачит, можно считать, что г( 1 ) ° Решение зкстремальнсх задач будем обычно проводить по следушшей схеме (схеме Лагранжа) ° 1) Формализацию задачи (для задач рассматриваемого класса - запись задана в виде (3)).

2) Составлевие фуввцви Лагранжа. 3) Вшисывзяие веобходиыых условий (в даннсм случаепрюеенеыюе теоремы 2); 4) Обсукдввие вопроса о том, может ли Л = 0 ° 5) Решение и исследование уравнений, составляющих необ- -16- подвыве условиее 6) Нахоидепве точек лоивльного еистремума и вычисление впачеыий фуилцив в этих точла* По поводу п 6) сделаем такое вамечапие, Теоремы 1 п 2 даат лвиь необходимое условие екстремума Сипело, если в сиду палил;-то сообравзнпй иввестно, что минимум в ввдаче (3) дости- гается, а реиенпи уравнений (4)т (5) мозно перебрать и выб- рать точхп, доставлазщив наимепьпее и паиболмюе вначепия фпыициоыала, то ыы тем сеаю, реиавм задачу до ловца В дальиейием весьма половив слвдущав теорема, гвраптиру- лщвя суиистаоивпие мивииума Теорема Вейеритрвсса, Пусть Х - метрпческое прострвпст- во и /: )( Я - пслуыепрерывнвя снизу фупкцвя, обладам- пвя твм сиомствсм, что длп пеяоторогоСс Ж ююиестио у ((- С.)) - компилтпо.

тогда фупиция у достигает в Х абсолптисго мюпюуыа (Нвпсмиим, что фуяция У яавываетоя полуиепуерывпой оивву, если мпоаестыо ~( ((-, С3) — ваащуто в Х дчя ль~- богоС~Я ), $ упреипепие, Лопавпте, что фуниция х~+у~ ° К дости- гает мимииумв па маоиестие ~й~, ~,я) в М /с ~ СОб ~ "ос~ ° Приведем проствйпий пржер применения олимп Лвграииа Прююр 1 Да.+3у-~ слу~; .х+~у~ 1 ° Посиоль- пу ввдаяа уив вадапа в виде (4), то степ 1) пе ~звп. 2) Сос тазяепие фуииппв даграыпаг Ж=Л,Яос~у~д'я ~х +у - О.) З) НЛ. 2Ло = О, ЗЛ.+Л ~ = О . Ц Случай Д,-О вомюо~еи, ибо иначе .х у=О, что протиаоречут условии х+у М . 6) ПочагаемЯ..~ ° Тодд Х— Ф З и Д иаходится иэ уравпенин Л +.4Я е йод труд и Щ ь ) ° По теореме Вейеритрасса юпюпум дббрягвйбь Сладсаательпо, си доотигавтся в точке ( — ~, — — ~ 2 3 гдв впичвиив фуиицпв раипо- Щ, Прпиедвм прююр более содериательиой задачи, рвивиив ио- торой прмюдем от формаьиваяии до ответа.

Пример 2 Найти ивибольиий по длиие отрез<и, лвиюяий в вадаипои аллипсоиде с рввммю осями - 19- Задщзм эллипсоид Э неравенством д Гх),а, ~ ~ ... .. +а .ю~, ос и., с ... < и ° Задачу мокко формализ~ июю ~ю с в с 1-т~, ... Р„'): -!а-б! охту, ~(а) 4, у(а)~ у П. -!а-81 и~Р; у(а)т-1, уС8)» ~ Упракиевиея доказать, что обе задачи имеют ревекка, Удобнее пользоваться формализацией П,' Итек: 1. -1а-В1 ш~, Я(а)чУ, фЖс4.

г. Х (а, б, Л,, Л, Л,) = Л, !а- б!+ Л,у <о.) ~у ~(Ь. 3' Обозвачим через !'Т матрацу 1 э ~ ~ . Тогда ~О,и. ~ —., =О Ф-ЯЛ.Га-б)+2Л,М~л =О, ь~ к.=О =) 2Л (а-б) ЛЛ,Ма= О. ПРи этом Ло Лт Ла ве Ревем нулю одковРеменно )~э0 Л ~0 Л,ьо 4м Если Л;О, то вследствие того, что Л„к Л яе ращям ц~ю щдовремеяко,получаем, что либо а, либо 8 развя нулю, Но такого реиекия в задаче ка мексвмум нет, поэтсму Л мозно считать рэвввм единице.