Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 31

.,=(Вх,х))+<1Ь +Щх,х)2{ухих0)+слабыйнаВ(Ь),сильныйиС(Ь),векторыРи^,ЗдесьвведенныеК".=А,В,а,@пхп,Для2.2.1,п.в(Ь,хо\+х0порядкаматрицыа, Ь е—{а,хх)+экстремум.а,/6,7матрицы,фхо,хо)+->•ж(<0),(Р1)тш,х\А{Ь),х{Ь\),=симметричные—функционалаквадратичногоматрицывид:примут1=2(Ак+Ск,к)Н{1)гдеЩA)Но:=Теорема.ЩA$)ПустьеслиВадифференцируемы,Якоби,условиеопределенной,тозадачих(Ь\).:=КакЯкобиуравнениеЭйлераихо,х16К"существует(Якоби) х(-;х(),х1),можнорешениедля+негодлякоторогои=видезада-(п. 1.4.8)функционаломсовпадаетсЯкобиусловиях\)—+х0,Но(-)хоН1^0)х1дляуравнелюбыхЭйлерауравнения=х0,хA0),:=х0простейшейрешение—хх.ОбозначимфункционалахA;о;хо,Х1)ж(-;Н0Ц0)х0Возь-Якоби.условие^]).квадратичнымединственновх^х^Х])усиленноеусиленноговыполнении—об).=исследованииквадратичногопризаписатьЯ^Ож!С'1([<0)еприсдляуравнением^ОжохисчислениявариационногоДействительно,выполненонеотрицательно("^д^зщщ—оовыполненоилиявляетсянедоставляетонатоф+неотрицательноЯкобиусловиеравноотмечалосьужеЦэкстремаль,РТогда,Лежандра.+/,=дифферен-непрерывноРматрицаматрицаПустьфункциюпроизвольнуюСисЯ^)О,=условиевыполненонезадачизначениеДоказательство.ВозьмемАЯкоби,жеаЯ,(<0)усиленноедопустимаяЕслиминимум.усиленноеЯо(^)ЯкобиуравненияО,=матрицыусловиесуществуетирешения—выполненоусиленноеопределена(Р1)задачевЩ,Н\I,=непрерывна;выполненоабсолютныйХхЯ)D)Ль+условиями,краевымих^Ь^х^^хх)+—(Яко=Н\(-)х\.х0,х\.ЭтоДействи-ж^ьЖо,^)=§ 2.

ЗадачаПредставимВ{х{-))гдеВфункционал+ 1{хо,хх)Цх(-))+ ^(x(■■,xо,хг))=:=Б(ж(-;жо,ж1))Ф(жо,ж1)переменныхиж0Вейерштрасса+ххA0),:=х\производная(&о,*1)наСледовательно,выпуклой2.2.2доказано,Ф(хо,Х1)В{х{-))>минимум+вВ(х(-))являетсяИтак,Тогдаминимум.V=»еК"хо,х1условиеРматрицакфункцияи,значит,ШгЪхттР.ехточкевид:глобальным.глобальныйавиметьФ(ж0,х\)функцияявляетсяи])2.2.2,п.будетвыполненов[((Ак,к)+2(Ск,к)=4.1п.Якоби,Тогдаопределенной.абсолютный(&0:=К".€Н^-)^имеетнедвух(#0,^1)точкевыписаннаяС\[1й,чтофункциячтоАо,*!+=условиенеотрицательноV0(#0,^1)Ужетеперь,о.>чтоIфункцияВ{х{-))усиленноедоставляетГл.В(х(-;хо,А1))Предположимвыполнено#1)(&0;точкеФ(хо,Х1)=^2точкеве <ивпоказано,Ф(жо,ж1),Я0(-)А0минимумвчтодвухформулеосновнойПокажем,=Теоремепофункция—поминимумбылоН(-;хо,Х1):=ее[=глобальныйфункцииих:))хо,экстремаль.п.функциичтоФ(ж0,хх),+1(хо,х{)+показано,Ф'Dо,*1)[(Ао,А1)]Вторая^(x(■■,х0,хг))-3(х(-;хо,х1))^(x(■,имеетВ=х(-;хо,Х1)допустимаяФ(жо,ж1)Щ{)).переменных1{х{-,х^{x(■))-былоэкстремали—виде:следующем1(х{-))1(х0,хх)1.4.8п.-Пустьв=Вж,.для=285Больца=+0Якобиилиф не$? аЬзтшР"являетсявы-незадаче(ВА,А>)к+(еслиЛусловиеЗначит,=0 €аЬзттР",товыполненоминимумаЯкоби,то5а58т}пР..(аНиЪ)условиеРматрица<0.+2GА1)А0>по+ПоэтомуЦи,(/ЗА0,Ао>необходимыхотеоремеЯкоби+еслисуществуетслабогоусловияхусиленноевыполненоусло-определенной).неотрицательноявляется(Р")ш;->функциякеС([<0,^])286ГлаваВ(Н)чтотакая,АприУсловия5.усиленноеЯкоби,функциюусловиесодержитхкотороетрансверсальностипроизвольнойвместох(-;ц)х0,Относительнооднородную27х{-2аххх027%.-линейныхуравнеимеетвсегдарешение,Следовательно,=0.х\=вида2/Зх0,+системудопустимойявляться==алгебры,решениеимеетсябудетфункциявозможноэкстремалью,неединственной.2.3.Пример1/ (А2 -х2)<И+х2@)х=-х2(\)4жA)+оУсловияа)Эйлера:ЛЬх—ахЬх+с2-Ь)I порядка:экстремумауравнениеО=<=>х+0■<=>•х=0;аилтрансверсальности:условияГ 1*@)=\()1Сх—сох*-2>1-Сх8Ш1Цо),\1=Су йп1 +(х@)С2х@),A)=Х{\){\)=сох*(экстремаль2С*х0линейнойиз2{3хAо),+подставим+получилих\известнокаккоторых0=их0уравнений, которая,Щ^хЛ2^A^2()=ж(-)+Эйлера,В условияоднородным.2С*хA0)*()+2))2А{1й)(Щ1й)хй\()среди2АA0)Щ0)Н1{-)хх:+ОноуравнениюявляетсяэкстремалиН0(-)х0=Гх/„*усиленнепусто.удовлетворяетфункционалаЬк),=вьшолненоэкстремалейО=хквадратичного,(<о)(«)-оо->функционалачастьислагаемыхдопустимыхфункциядля(Ъ, Но))+0.=Действительно,терминальнаяНо, НхпомножествотоНх)■(Р*)задачевА«я,+-оо.=линейныхсодержитХ2В(Ь)=исчислениивариационномвВ(ХН)тогдаЕслинепорядка5аЪ8тк1Р,е.т.Замечание.БольцаНо0.<+оо,-»второго1--22->ехСг.един-§2.ЕдинственнаядопустимаяУсловияэкстремальIэкстремумаУсловиеЛежандра.ЛежандранаЯкоби.Условиех=.181Ппорядка.Ьцзадачев287БольцаЗадача2 >=0выполняется—условиеусиленноеминимум.Ь±хПосколькуЬх±=О,=Ьхх2,=квадратичныйтоинтегрантIУравнениеЬцП2=Якоби2ЬХ±НН+ЬХХП2+Эйлера(уравнение2П2=2П2.-Ь)интегрантадляа_ИщемрешенияЯ0@)5ШA<)-—V—-,ЯоA)8Ш<ч=Н\A)точками.На=условиеКвадратичнаяформаРЕХХA)(ЩA)ПО=1ЯПнетМ1МН,A)йN.€=СО8<\-—).,=являютсяНули1/ЯПсопряженнымиследовательно,точек,Якоби.К2):наЬц(О)(Щ(О)Ьо-B1)/ 11Bс1§1)/+Ц--,ЩA)что•сопряженныхЩ^Н:+2кж,=(заданаф+Находим,<)-условиямикраевымис1.=8Ш1@, 1]усиленноеР=тполуинтервалевыполняетсячточки—151ПН\{Ь)СО8A.(ЯоОVяп1-—-0,=/—.функции#1@)0,=^(<)Ш11Щ{€),Нх(\)Якобиуравнения1,=++Я1@)/г1)/г0=2B1)/ гоBс1§1)/ггЧ181П-2/8т1^-2/8т1Посколькус1еЫ!4—8=2формаквадратичнаяНеминимумахпо& \у1оспш1матрицаболеетемобтеоремевыполненонеотрицательно1фквадратичной$ Яг1остт.определенной,1,длято1.2.3)значение-4-квадра-+миниму-С%.Следовательно,матрицаРфункцио-квадратичногоЯкоби,условиеп.4с1§21локальногоРформы-определенной.слабогоэкстремумаусиленноеГл.неотрицательноусловиеусловияхЯ)+(см.являетсяне2-с!е1(Р=Сильвестра+хс1е1^4120,необходимоеиесли>критериюРвыполняетсяПоявляетсято2+неотрицательность—функционала,0,<2с1§1=2с1ёзадачиравно+Цне—оо288Глава5.Покажем,хп{€)Условия5аь5тахчтоТогдакнига*.=второгож„@)I{х2п-х2п)МI=\Л1.2.<со$<1.3.е*1.4.<е2"'1.5.5шш1.6.к11.7.1)яп*-1,=5тт1.8.21—I1.10.1.11.5шах=>—То'4=>5тах1.12.||\у1остах,6+оо.=-С5/4)на=>=€\у1ос1шп,гдеконстанта# 81г1ос1шп;кСэкстремалейдопустимых|'4),!?,„„нет;<отыскивает-'4-С-((*+С)конце:правом+оо.| |;==-оо;+00.=1>5тах\у1остах,ех+оо.=^ ййостах,~Т0'<=$•-оо;=5тах-оо;5тахСM/4ростах,условия||йг1осех1г;+=-оо;=5-хТо5^,^-2<—$ \у1осех1г;5,^-Ш-1-="■^ Йг1ост1п;х5т1пх1.+оо.=граничногоотыскивается из=># \у1осех1г;-Т05/45>^щах^ ййосгшп;\у1остш,\3/2^-П|^о6/2-2=—+оо.==\у1остш,€То\у1остт;€~1;—$ ййостах;5,^=>-2=>^=5тах-оо.=аЬзтах;Е-»+оо.ппри+оо.=5тш—+оо+оо.=-оо;=►=55тах5тш^щахаЬхтш;6аЪашп;€ж2п2—1Мглавызадачам^ \у1осех1г;аЬхгшп;е аЫтах;6—са&2жп11—к^о1.9.(тг2п2ГОтветы1.1.следовательно,и,о1Уфункцийпоследовательность0=1о2хп(\)=исчислениивариационномвВозьмем+00-—1В(хп{-))=порядка—■=.=»х^ 51г1остах;=|*€5пш,^шостт,=\ /С2 -1J, ^I (I2_1||хМостт;\е\-^ь<^п^.=»—==+0°-х€Список[1][АГТ]по[2]литературыВ.Алексеевоптимизации.[АТФ][3][4]Р.,БГУ,1981.[ГТ]ГалеевЭ.М.,Э.Галеев[6]Э.ГалеевМ.[8] Галеев[9] Галеев[10] Гантмахер[11] Демидович[12]Б.Г.,ТихомировМ.:Изд-воВ.ТеорияП.,Маронэкстре-примеры,позадач1980.оптимальноеисчисление,1995.М.:М.:М.:матриц.И.теорииСборникМ.МГУ,вариационноеМГГА,задачи.Р.Изд-вотеория,программирование.Ю.Л.ЗаславскийА.1988.Наука,Основы1996.МГГА,Изд-во1995.МГГА,Изд-вовычислительнойматематики.М.:СборникНаука,А.В.М.ТихомировД.,задачполинейномупрограммирова-1969.ТеорияэкстремальныхМ.:задач.На-1974.Наука,[14]курсМинск.1966.Наука,ИоффеКраткийОптимизация:ЭкстремальныеФ.Оптимальное2000.А.ЛинейноеЭ.М.программированию.[13]М.Э.задач1989.В.М.УРСС,КлассическоеМ.:Изд-воуправление.СВ.оптимизации.В.М.управлению.Э.ГалеевМ.:МетодыМГУ,КушниренкоМ.,оптимальному[7]М.Изд-воТихомировЭдиториалМ.,ФоминВ.М.,ТихомировМ.:М.:задачи.СборникМ.1979.Ф.задач.В.Тихомиров1984.ТихомировКирилловаэкстремальных[5]Наука,Наука,М.:ГабасовТанеевВ.М.,Алексеевуправление.Э.М.,М.,М.:КармановВ.Г.МатематическоеМ.:программирование.Наука,1980.[15]Курош[16]Магарил-ИльяевГ.А.КурсГГ.,М.:приложения.[17][18][19][Р]Р.РокафелларСаульевВ.Изд-воМАИ,К.М.:алгебры.В.М.ТихомировВыпуклыйЭдиториалУРСС,2000.Выпуклыйанализ.М.:Прикладнаяи1975.Наука,анализМир,иего1973.вычислительнаяматематика.Вып.3.1971.Г.М.Фихтенгольцисчисления,высшейтт.Курс1, 2.

М.:дифференциального1969.Наука,иинтегральногоис-Списокобозначений(аЫтах)аЫттв(^тах),(■^аЫтах)'РАг§8рИр,—функцийскалярноепроизведениех)ж(-)Сфо,х(-)\^],К)С(К,Кп)С(К,—К:=КисопеС,изх)ж(-)чтонепрерывных| ж(-)||0нормойсна={у*,=прос-Ах)элемен-являетсягпространствоК—уК",[<0, ^]отрезкеж(-):|*(<)|вектор-функций| ж(-)||0нормойсраз=тах^кдифференцируемыхнепрерывноназаданныхКкомпактесо{+оо}С,——линейнаярасширеннаячисловаяоболочканормойпрямаямножестваК—►К",векторс()С1функций\х(Ь)\таХF[М1]непрерывныхКкомпакте{-оо}иногдах(А*у*,А,подчеркивается,пространствоК"ж(-):функцийэлементепространстванаК")наотображенийоператоромспространство—заданныхх*Ькоторым—->А(х)свойствомнепрерывныхсопряженныйКобладающихУмножестваобозначение,функциональногоэлементом1)>а\,.