Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 30

.,х„(-))Веклвр-сголбцыточкамиповыпуклымкачествевусловияминачальнымислабыйдоставляетЦо,I 6условиевыполненоужеэкстремум.х(-)уравнениячтоэкстремальО Vявляетсярассматриваемыхвектор-функцийшенийсг,(напомним,>(выполнено1^сдостаточноевыполненоЪцA)Ьинтегрант(ификсированныхсопряженныхточек,найденнаясильныйнаЕслис)нетзначит,тоСледовательноэкстремума.локальный^](<о,полуинтервалевусиленноенулиI—/*}(*)1уравненияре-Л?(*)\==решениясистема../матрица)(единичнаясистемыйеХН(т)уравнений=0.I§ 1.

Простейшаясильныйзадачавминимумвогнутымпос!)Еслиследуеттож,Ь8A,являетсяназадачеЕслинайденнаях,и)х,Ц1,=(Еминимумнетовогнутым,сильногоусловия0вЬA,-х)[*о,х,VК,6и* 6задачеЬхA)(и-экстре-О^максимум).навтонайден-случаеэтомэкстремума.сильногодоставляетнех)-*1]Вейерштрасса,условиеэкстремальПримерыПример1.Исследуемвусловийпомощьюснамирассмотреннуюи)х,^выполненодопустимая1.6.нивыпуклым,ниявляетсязадаче.внеобходимогоVвмаксимумВейерштрасса:условия—невыполнениеЬинтегрантеслисильныйинтегрантпроверитьэкстремумаАналогично,задаче.доставляетж273исчислениявариационногопорядкавторогорассмотрен-задачу,1.2:п.11{х(-))I хгА1-+=х@)М;хA)О,=1.=оМывыяснилихI,=ранее,Присильного.доставляющая(вдопустимыхх„(-)ж(-)—►вПосколькуусиленноеимеетсячтонаСф0,Ъц(Ь)^]),условиеВыпишемминимумбыланамиэтомзадачеЛежандра.уравнение6хA)6=^(xп(■))О>Якоби,которое"!*(*)+доста-I6ппри[О, 1],([<о,РСЕхп-оо—►Vнеипоследовательностьфункцийкоторойдляэкстремальзадачевпостроенаэкстремум)сильный—допустимаялокальныйвыполняетсятоЭйлерауравнениемявляется1;\]),оо.—►кпоЬинтегрантадляЪцЪ?—2Ь±хкн+Ла1ОбщеерешениеН@)=О,нет,ивыполнено6Н@)сталовбытьдостаточное\у1осгшп.1,М«)0=@,усиленноеслабого/г«=*Ь,полуинтервалеусловие=6к2:.12/гудовлетворяетвыполненоО=ЬХХН2+Якоби:уравнения=нулейимеетнехединственнаяслабыйдоставляющая0.=С\Iфункция+1].Значит,=условиелокальногоС%.НачальнымЩ)условиямI.=сопряженныхЯкоби.минимума,ЭтафункцияточекПо3теоремезначит274Глава5.ПосколькуУсловиявторогофункциясильногоЬнеминимумасильногоминимумаЕA,х,и)ОнонеК,ПримерИсследуемдостаточноеусловиенеобходимоеусловиетох,какнеи3=1-=3(и-1)-(?)0^1].[0,* 6V~х)ЬхЩи-х)-необходимоевыполняетсясильногодоставляетх)х,Ъх(и-ТакнеЬA,-6ивыполняется.храссмотреннуюи)х-VфункцияпоВейерштрасса:х,и=выпуклаПроверимусловиеЩ,=невыполняется.—х,ж3=исчислениивариационномвпорядкатоусловие,минимума.локального2.снамиусловийпомощью3главевзадачу,порядкавторого(пример1.6п.рассмотрен-2):Зтг/2/(а:(-))I (х2=х2)-<Йх@)Ы;-+а:=оУравнение0.=Эйлера:хМыранее,выяснилиэкстремальх0,=Призадаче.в(у)^(xп(■))<^^^x(■))пЬаA)Посколькуединственная2 >=ж„(-)—,0VлокальногоминимумапоследовательностьпостроенаИил—экс-допустимаяслабогодаже1=0.=имеетсябыланамихпA)=чтохдоставляющаяэтомфункциймыхне+х(-)—►С1 ([0,в[0, Зтг/2],I 6допусти-1]),выполняетсятокоторыхдляусиленноеЛежандра.условиеВыпишемЯкоби,уравнениеявляетсякотороеЭйлерауравнениемЬ,поЛинтегрантадля-~—./гЬ, 4-НачальнымЭта=точка,функцияТакимтг.ивзадачебытьминимума,слабый=/гО,Н@)С1==8Ш@, Зтт/2)необходимоевыполненоитемдопустимаяболее2'7* 4-СгI.сох1, удовлетворяетинтервалевне2—■<=>•значитминимум,•интервалевобразом,сталолокальногоО=/г@)условиям$т1.т—2обращается@, Зтг/2)невдоставляетнольимеетсявточкесопряженнаяЯкобиусловиеэкстремальНA)функцияж(-)сильныйнеслабогодоставляетминимум.=§Еслибудеттоследовать,Уравнениебывает,еслифункциейотслучайно.неквадратичнойявляетсяж.(простейшая3Примеркоторойзадачи-оо.равенЭтоЯкоби.исходнойинтегрантж,задачавуравнениемусловиевыполненоминимумссовпалоисчислениянечтотого,издостаточныхивариационногоабсолютныйчтоЭйлеранеобходимыхозадачефункционалом,Якоби,Так5простейшейв275исчислениявариационноготеоремойвоспользоватьсяквадратичнымвзадачаэкстремумаусловияхсПростейшая1.задачаединственнавекторнаядопустимаяэкстремальисчисления,вариационногодоставляетисильныйэкстремум).1^(x(■))^(x^(■),x2(■))=Условие1(х\=I порядкаэкстремума^ж|Х2=ХЬПоследнемудифференциальномухарактеристическоеПоэтомуобщееС2сЫСз8\п1;+Начальные+С4СО81;.2х1Х2)<ИЭйлера:!4-огоЕгопорядкасоответствуетй12корни±1,=уравнениях,\=Ы;-&з,4х\==условия:х2(\)()8т1,С^Ь=Единственная1-С32цУсловиеЛежандра.УсловиеЯкоби.-Лежандра..^_пяп1,Х\=С1п°3"'~хт<,х2=_~—,%т1.порядка.=(~м'определена,положительноусловиеусиленное=экстремальIэкстремумаматрица1япдопустимаяУсловияЭтаа;1.11.=дифференциальногох2Тогдарешение+уравненийуравнениюк4уравнениех\система—!+Ъ^)=следовательно,(I!П.выполняется=С^Ы^г+276Глава5.КвадратичныйУсловиявторогопорядкаисчислениивариационномвинтегрант!(*,к)й,(Так,=к)г2/»1=Отметим,чтоЯкобифундаментальную=уравненийрешений=Iматрицу—(нулевая0=матрица).(единичная*(*)=векторавыполнятьсядолжныгра-условия4=10=>■1.Й2@)С1=Сз-=■СопряженныеточкиявляютсяНа@,полуинтервале=I]усиленноевыполняется(±1,&2)=8штJнетусловие(Ш1<,-С28Ш*)6Са==С1О,Сз_=_=—.2О,АналогичноП2(I)находим:=уравнениякорнями-Аквадра-дляЯ@)чтотакую,У«2,ничные2Ь.—Якобиуравнения?]['и)Л )[\л?2(г;)[')=Н@)ДляЪЭйлеравсегда(системасистему(й!(*)й2(*))матрица),к).й,Ь):интегрантаЯ@2Ц1,=функционалауравненийквадратичногоИщемАНХН2+квадратичногодляСистема2к\+=сопряженныхЯкоби.0 <^=Ф>хЬтйптточек,Потеореме=0=кж,к б N.вы-следовательно,3п.1.4.6вектор§Простейшая1.УсловиеВейерштрассанеобходимое—277исчислениявариационногозадачасильногоусловиеминимума—выполняется:ЕA,х,2И[=+Щ,:=2«2(Отметим,потаккакК3.ЬцПотеоремех,6чтоЕслии4тоВейерштрасса,сильный).5аЬ$тт'К2,Е1.4.7п.(хих2)=чтохдляфункЛежандраусловияаЫтт€-х2+1СО82I2-8Ш2<)<И\/2=21СОХЛ181П=4гсо8г)<й->ех1г;х@)х(*-\=0.=Згг/2Г (х2-х2-4х$Ш)(И->е)аг,х@)=^{~)=оI (х21.3.+Ъх2)е21<И->х@)ехСг;хA)1,=е.=о1[ (х21.4.-х)е21&-»х@)ехсг;=жA)0,о1/Я"$)пх<и/сжхА1->ех1г;ж@)ех1г;ж@)=0,жA)0,х{\)=-.о1.6.-»==п.21=оо1.2.слабый,(ит/2I (х2следуетхпоЗадачи1.1.длякМоспип.квадратичных(ж[,ж2)=2х\х2+6Ьусиленныепроверивх\+матрицах1.4.8п.=1].х\=о1.7.лХ2)—[0,I 6интегрантасказать,/ B=Vвектор1^(x)'2х2\П2—ЬA,х,х)5теоремойбы,быломожно=определеннаяВейерштрасса.)сразу=(«ьи2)выпуклостиусловияизх)-х{)—Функциях.и'2X1A1)—положительно—воспользоватьсяфункционалов,Vх),х,Xлпоусловия(Ь^,-2х,\Х2—^0интегрантавыполнениеи~х2J{и22•х)х,Х2—+(г,ж)любых2X]—Щ,~'2Ж(Ж2+Выпуклостьвыпуклаи)х,~ххJ(и,=и)х,=е.0-ЯЛ2.278Условия5.ГлававторогопорядкавариационномвисчисленииТаже*I1.7.<йж@)ех1г;->х(Т0)0,={.=о1х2е±I1.8.<Их@)ех1г;->хA)0,=2.-о11(хъ1.9.+4х2)<И-+суХг,+2х)дЛ+5х)<И-+ехгт;ж@)жA)0,=-1.=о3/2/(ж31.10.х@)ех(г;-*^-)0,ж0,х(Т0)0,жA)=1.=оТоI (х51.11.х@)={■=о1I.12.(Iх2J-§ 2.<И->х@)еЯг,=|.=БольцаЗадачаРассмотримБольцазадачуж(-)вектор-функцийдля1(хЦ0),хЦ,))ж„(-))(Ж] (•),.

.,=(Р)тт.^к2.1.СильныйНапомним,локальный0(ж81г1осгшпР),С([<о,пространствелюбой<€ж6каккак(хК"),онат.е.жмножествоВ(х)€^])К")\у1оспипР),^],К"),С'([<о,любойдляесозадачепонятие6 >существуетРС1(Ц0^1],Кп),функций,слабымдлясредикоторойкоторых^])>экстремумомклассическоговариаэкстремума.локальныйминимумминимум0 такое,С'A<0,€сильноголокальныйсуществуетеслижсильныйдоставляетдоставляетеслит.е.ло-доставляетонаеслифункциипростейшейвслабыйдоставляет^-Наряду<([Ьо, ^^],Кп)если^])С'([<0,€рассматриваетсяРС1функции6.ТакиисчисленияФункция^*(-)||с'([<о,*,],к»)-Больцазадаче(Р)В(х)| ж(-)вариационногохзадачепространствечтотакое,которойдляввминимуме>экстремумфункциячтоминимумлокальный6слабыйивВ(х)что| ж(-)доставляется-простран->В(х)дляЦ-ЩсфМ,^)силь-§ 2.ныйэкстремум,шире,С1([Ьо,€х^^],Кп)экстремумадостаточноеВидостаточныеатакжебудутусловияслабогоIусловийДоказательстваБольцапорядкаIусловийдоказательствам2.2.Условия2.2.1.Теорема.IэкстремумаНеобходимыефункцияминимум(Р)задачевдифференцируемнепрерывно(ЬГхха)вСЪ{О(ГХХ))).€С2([<о>^]>К")\у1осгшпР),(Еболеекратко.слабыйдоставляетЬинтегрантрасширенногоокрестностинаклассическогозадачепроведеныло-триждыграфи-выполняютсяхЭйлера:уравнение+1х(г)ъ=^е[^о,^^]Vтрансверсальности:условияЪ)с)Ь±х{1)Лежандра:условиенаеслихвыполнено[<о, ^^]',< €О V>Лежандра,условиеусиленноеивыполняетсятоЯкоби;условией)еслиЯкоби,с(ханалогичныэкстремуманекоторойТогда-^Щ1)и€хДо-многомвопорядкаслабогоусловияПустьлокальныйвПоэтомуБольца,задачефункционалом.квадратичнымпорядкаисчисления.вариационноговБольцапростейшейонибудутдо-необходимыеэкстремумазадачеаусловиемдоказаныисвусловиедостаточнымсильногоэкс-сильного,условиемсформулированызадачаслабыйинеобходимоеявляетсяифункцияеслидоставляет^],К")экстремумаразделерассмотренаонаС!([<о,€необходимымсильногоэтомтохявляетсяусловиеслабого.графикафункцийдлятоэкстремума,сильный,доставляетПоэтомуэкстремум.слабогослабогодлячем279БольцаЗадачаусиленноевыполняютсядлятокраевымилюбогоЛ(<0)0,3п.2.2.минимумминимум=Н{г{)Ло,{1ХХНР(Н)~гдеввДалеезадачепростейшейI(Р),тозадачеусловиеЛ(-)Якобиединственноуравнениясуществует,былаеслиххнамиустановленаслабыйслабыйдоставляетдоставляетвариационногошш;усиленное1ххк,+функцияирешениеЛь=а)чтоочевидно,К2"€НеобходимостьДоказательство.главе(Ло,^)вектораусловиямиЛежандраусловиелокальныйисчисления:хAа)—х0,х{1х)=ранеелокальныйхьв2805.Главазначит,и,Условиясоответствиивпорядкавторого2теоремойсввариационномизп.исчислении1.4.4условиявыполненыЬ-с).Докажемс1).утверждениеЯкобикраевымисПокажемкA\)ко,=уравнениярешениечтовначале,кAо)условиямик\,=существуетиединственно.ДокажемV0значит,-Изсуществование.[<о> ^])I (Евытекает,невырожденаAххк—представляетпорядка+собойсистемуЬцизвестнойиЬххкЬххк+относительнорешенийматрицыЯ(<о,^о)условиямиусиленногоусловиявытекает,точек)Ь € (<о, ^]и[<о, ^)иИх{1)Н(^О)Н-1ЦЬ^).I, и, значит,^1(^1)Я(<о,^о)(на0,=сопряженныхрешениемкAйНо,Н\)ДокажемдругоеТогдарешениеми,уравненияфункцияЛ(-)Якобиуравнения1\сск{-)-граничнымикраевымиявляетсякAо)1$,сусло-нетривиальнымусловиямисопряженнаясуще-чтожетемиэтоак{1\)—=противоречитЯкоби.условию&ПосколькулокальногоЛ(-)к{-;ко,к\)точка—предположим,Якоби===Действительно,решениеследовательно,усиленному==краевымисединственность.условиями.==к\.=существуетНA,10)Н0Ц0)к{Ь;Но,Н\)функцияЯкобиуравнения==ПоложимТогда=фунда191) существуютиЯ(<, Ь\) с краеНA,10)/.0, Я^,^)I, и НAХ,11)(<0, <1] нет сопряженидляневырождены11A,1^Щ(Ь)Я^,^)^^,^)0, Щ&)0,I, Н0Цг)является+ Н^)^Щ(г)Н0условиямиЛо,Л(^о;Ло,Л1)полуинтервалесоответственно.=существова-стр.=матрицычтоПотеоремеЯкобиуравненияЯкобивторогопроизводных.уравненийАТФ0=обратимостисилустаршихнапример,СЦ)к+уравненийвкоторуюразрешить(см.,АЦ)к+дифференциальныхдифференциальныхтеориифундаментальныеЬц{1)к<=>■и,Якобиуравнение0=пизединственностикраевымиПоэтому>определенаположительнокоэффициентами,можноизсуществованияИзЬххк)непрерывнымисматрицыобратима.и+Ьхх(ЬХХЦ)Лежандраусловияусиленногоматрицачто\у1оспнпБ,етонеобходимомупофункционаламинимумаВ"(Щк,к\[ (фцк,=IусловиюпорядкаВк)+2{1ххк,К{к)+к)+Aххк,^0 Vк))Л1+к+1"Dо,*1)[(Ао,ПустькA0)АОДАо,*!)](Ао.-А(«о).далее=кA\)к0,к(к)Л(-)=*1к\.1{ьххк<?(Л)к€С1 ([«о,,(*)ЯкобисусловиямикраевымиТогда+1ххк,лк)*:}):=*(«!))■уравнениярешение—==+[{1ххк+ьххк,к)<и=0I=((§2.Задача+Aххк,н)Aххн,к)281Больца{1ххк,+к(-=Aххк+1ххн)+1ххк+1ххп,н\<и+Aххк+1ххп,н)—\^.да/'о(впоследнеминтегралефункцияк(*)неравенствоподынтегральноеК{к)Замечание.равноеЕслипостроенноевтоРЗначит,вкак(Р),Якоби,XЪ2.2.1)п.влюбогодляЭйлерауравнения:=В((х0,(Р)>В((хо,Х1),6)иххуравненияхAйхо,Х1)иЭйлераОкружимиххх(-\хо,х\)\ х(-;хо,Х1)Это-былокак-сделать,сильный*(^)-Поот0>чтотакое,х(-)\\сц[ц^\)6чтохA0\х0,х\)€хг(-I1с([*о,*1])<<РС1(\10,6-выше,этом(х0точкане:=(хо,хх)ж(<0;ж0,хх)полемизусловияж(<0),€решениесуществуетцентральнымкакПрие.1\\)ТогДаусловиями<е.х^Цс!^^=е.<сказанодлярешениеусловиямитактеоременачальныхединственноеначальнымисдоставляет•—6(е)=начальнымисчитать,х(-;хо,Х1)можно*16\ х(-;хо,хх)иформарешения-| ж(-)экстремаль1.4.5).*(<о)>:=функциюнее,для&существуетбудемЛежандраквадратичнаяТогдасуществуетскоторойдля=п.0енекоторая-ййоспипР).€х0произвольнуюж(<[)),*1),<5)(АэкстремальК"+1СV,нахзависимости€х(-;хо,х\)допустимаяVусловияопределена.общности,Возьмем(см.х{)=ограничиваях1(хо,хA1,хо,х{)х0,поОбозначимточких—усиленныенепрерывнойи^^], К")гдеК"),выпуклымзадачеДоказательство.формой.выполненыхР(ко,к1).=экстремумаС2([<0)С3GположительносуществованияданныхЕявляетсяминимумлюбой€-ихЦо)ко,Но)квадратичнойАнаинтегрант<? (см.кЯкоби+Х4я(«1)А1,А1>+сильногофункцияграфика,ЩЦо)^)являетсяинтегрантокрестностьР' +локальный^условияПустьзадаче■вместоподставитьЯ,^)^)++иДостаточныеТеорема.0.>уравнениярешение{^(«^(Яо^ОАоA±±A0)(Н0Ц0)к0также2.2.2.неравен-Я)(к)+какчто=-(РРтаквчтооператоратеоремыполучим,Подставляяполучим,определениедоказательствеприЛ(-;Ло,Л[),Р(к),ему0,равноЯкоби).уравнениюудовлетворяетвместовыражение=экстремалейвыполнениях0,282Глава5.ЛежандраЛежандраокрестностиВ(х(-))Цх(-))=+наусловийсилувисчислениивариационномвЯкобииЯкобиинекоторойпорядкавторогоусловийусиленныхусловиявУсловиябудут1(хЦ0),!(«,))^(x(■■,xо,x1))+^(xо,x1)+Цх(-))=иЦх(-гх0,-^(x(■))=выполненыТогдаГ^.графикарасширенногоусиленныехэкстремалигладкости3{х{-;хо,Х1))-Ф(хо,х1),+где^(x(■■,xо,x^))+^(xо,x^)Ф(хо,х1):==*1/ 1A,хA,хо,Х1),хA,хо,=—функция\ х(-)х(-)\\сдвухпеременных+близкихЬ(жо,^),будетпов\х(-))[н{-)\НаФ(жо,ж1)^чтопоказано,х(-;хо,х{)исилув-пофункциивыпуклостихЦх{-,хо,Х1))Ф(жо,\ х(-)=х\)Ф(жо,Ж!)Ге<и>о.локальныйимеетминимумВ(х(-)).=Темточкевсамымтеоремадоказана.Найдемнеобходимыхбылонайдено,равнофункциячточтот.е.,1\\что<было1.4.7п.С([<о,выпуклым-Покажем,Вследует,х(;\Хъ,Хх)\\с-экстремалипространстваявляетсяпостроения&(■)+2е.<едляметрикевинтегрант6 +<Изх\.&(■)-Вейерштрассаформулеж(-)\ х(-)=\ х(-)-х(-;хо,Х1)\\сосновнойих0Х^Х^Х^с^^)-первуюФ(жо,ж1).функциипроизводнуюусловийI порядкаэкстремумавПриБольцазадачедоказательстве(Гл.что=ж(-,экстремалинулю,следовательно,жо,Ж1)выражениеподзнакоминтегралатождественно3п.2.2)§2.ИзформулыполученнойЛ(-)<о,^ьНанольвпроизводнаятолькозависиткAо),кA\)отдопустимойтрансверсальности,В"(*(-))[А(-),($ЯЯА,А>обращаются<=>>В1 (&(■))=0.Л)A„Н,+к))ЛПринеобходимыхдоказательствеБольцазадачевединственноеI=предыдущейЪ,{1\)(<^**А,А>+(ХХЯА,А>=Ь,\и(ХЯЯА,А>+Л(-)егоданочтодоказано,ЯкобиуравненияАо,=IэкстремумабылотеоремерешениеЛ(<о)условиямислабогоусловий+ЛVввБольца:2<2ЯЯА,+Ы)=функционала/=С1 ([«о,€В'(х(-,хо,х1))производнуюА(-)]кVО==вторуюскобкахточкахвпоэтомуВ'(х(-))[к(-)]ВьшишемотЛ(-)функциивэкс-функционалкаквыраженияхначтоследует,значений—экстремалиусловийсилуВ'(ж(-,а;о,а;1))[Л(-)]Б'(ж(-,жо,а;1))[Л()]дляж(-,жо,Ж1))экстремали283БольцаЗадачак(-;ко,Н\)=порядкасуществуеткраевымисТогдапредставление.{Ь+к+{ГВ1а:1А1,А1)+2{/а:1а:оАо)А1)+/{4оа:0Ао)Ао>=кк(-;ко,к1)(функциявыражениеположительнойминимумаРнесколькихточка(хо,хг)Такимобразом,функциятождественноопределенностифункциихпеременныхвлежитеслиЯкоби,уравнениюудовлетворяетинтегралазнакомподмалой| е(-)"~*('I1с([*о^р»)окрестности+С}поэтомунулю).равнодостаточномупоусловию(*о»*1)€кклшпФ.6,тоВ(х)мини-Значит,(жо,:^),точки<выра-Вследствиееслито>В(х)и,значит,2845.Глава2.2.3.УсловиявторогоКвадратичныйпорядкаисчислениивариационномвфункционалРассмотримвектор-функцийБольцазадачуж(-)х,х)2{Схх)+функционаломквадратичнымсдляж„(-))(ж^-),.