Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 29

ПростейшаяНосноватогданепрерывнойрешенияблизостилюбогоI*[<о, 1\\-I б(т,х(т,Х)),=(г,А)$A,0)=A,хA,0))ск*Ф'Iпри_,[<о, ^]-бфиксированной(йе1=.Поточкиот\1-т\которойфункцияПоэтомуI)такие,<6,точкуобразом.В(изподпокрытие)\Щ)-{\инайтипонять,единственное)|. ПриА(т, |))С1.т.е.{ж(-,А)},=Замечание.*)х(т,1>ДляотображенияК"+1|IвыбратькакI)оттакая(г,|),точки(и,зависящее[<о> *\]}бконечноелюбойдляАтакое,же,нетрудноприкоторомгладкостькак■0=игдедопустимойявляетсядостаточновзятьнастолькоблизко1йI^<оэкстремальюдлятеоремы<при=I)проходитсуществуетфункцииэкстремалейКромеА)(непредыдущейневырождена<<,.А(г,|)дляОбратнаяобразом.от6что<$о><гладкостьхЯ(-,г*)А,(г,|).^^ь4*АЭтокеецен-функций10,матрицачтопокрываетполеза-вокружениясемействополосувсютого|Н(т,4*/:О>(т,|),точки=можнотакое,|-=этомусловияхполем=\х(т)АПустьВ60,одно[<(ъ ^]>66единственным{A,х{Ь))=фиксичислоиопределяетсяГ&ф ОкаждойФ~'компактапокрытият=экстремалейполяграфикаможнож(,А)Аэкстремальизона(для=точкуединственноекоторой(Р).(г, |)Значит,|.=открытогоцентральнымФ(г,иФэтомйе1Н0;,и)=(г, А) для любойА)(г, ж(г, А))(г, А) единственным(зависящееА(г,|)действительнож(-,А)=6,<х(т,А).=функциифункцияФ~'(г,|)чтодлязадачеобратнойформулеФункцияПриЛ.бй<*ххA,0)существуюткомпактностисилулюбогополяобточке|))(г, |)Х(т,_,.„,)=_.[<о> 1\])Есуществуетчерезх(т,..сопоставляетх(т,итеоремеI(зависящиеЦ,хA))=дляпоА|гдеприневырожденнойе),+195]с.действующуюA0-е,1\(т,|),якобиан1'точкив[АТФ,будетКп+1,—*■6тдляточкипереводитКп+1Ф:функциюРассмотримФ(т,А)<*)НA,непре-иданных1$ матрицаксуществованиятеоремыначальныхот265исчислениявариационногоглобальнойсилувзависимостидостаточнойчтозадача*Ф)АК"-♦(9/1=К",/(хь..

,х„)9/19хя9х;дх{|"Л=I)А(т,==(/1(хи.. ,хп),.Я(г, 1,){6.,/„(хь..С1..,х„)),266ГлаваФункцияУсловия5.второгонаклонах(-,экстремалейж(-),иА)Й(т,=1=т<*)А(т,АЬдифференцируемое(<*, ж„),центромс=центральноедопустимуюокружающееэкстремальнекоторойФункциядифференцируемнепрерывнотрижды—графикарасширенногоокрестностиА(т,|))непрерывнодважды—интегрант—хA,0.1=исчислениивариационномвдифференциалееиполеи(т,|)поля5-функцияПустьпорядка(ЬГ^вС3(О(Г^))).6I,5-фунщиейназывается5-функции.центральногоОнштрассаДлянамчастныхнахождениянекоторыеусловийсильного8-функциипроизводныхИмеемсоотношения.подифференциалформулыНайдемосновнойвыводадлядостаточныхдоказательствеприх(-,Х).поляпонадобитсяпонадобятсянамполяопределениюВейер-экстремума.ифункции0=>не-наклонаполяобеДифференцируячастих(т,\(т,О)-хх\т|)|,по(Iж*,функция—получимт,х(т,Х(т,О)==и(т,0поля).наклона=(т)обеДифференцируятождествачастиполучимматрица).единичная—и,выполняетсязначит,д8Найдемпределом,иА)6С2.используяИмеем(<*, ж*)Посколькупонепрерывность—тополя,центрж(<*.А)=соотношениеследующеедифференцируя—,отх(-,похх(т,\(тЛ))\т(т,0+=>(и(т,тождестваэтогогинтегралсх\,вытекающуюверхнимпеременнымизтого,что§ 1.

Простейшая,/+О),(I, А(г,х(Ьххх\т(I, А(г,х<#Ьххх\т)+)|))(*, А(г,хх<ИЬххх\тII,/+ЬхХхК+I у+-тЬх~+йхх\тЬ±=ииЦт,|,и)-*)) Ат(г,и)+Ь(т,{,=267исчислениявариационногозадачаЬх)ххК<И=и(Т)^]ЪПрит.(г,мывыводее.О)|, и(т,(г,Ък-О) п(т,|, „(г,воспользовалисьтем,98^Формуладлявыводится—°€получимт/ (Ьххх\{=+А)—экстремали,Дифференцируяаналогично.т—ж(-,функцииЭйлера.уравнениюудовлетворяютчтоО-<й1лх\\[)=пот/ Ьххх\(й1+ЬхйххХ(=иТакимобразом,имеетформуласледующаяместодлядифференциала5:функции'я>88Э8дтд{ОсновнаяВдифференциалаформулачастности,ВейерштрассафункциидляфункцииЯ5приметхвид:бРС'([<0,^],К")формуладлядиффе-|,268ГлаваВтакомвторогоеймывидечто,Условия5.ииA,хA))посколькубудемпользоватьсяОтметимдальнейшем.вхA),=исчислениивариационномвпорядкатакже,тоB)Поэтомуи./(ж)AA)<И=«1и[Щ1,Щ)=Следовательно,8Ц0,х0)-Iй8A,х{1)).=A)формулепо5D1,ая)=«1 1./(ж)^(x)-I=1A,хA))хA),I<И-Л8A,хA))=к«о))(Л=кЭтуформулу1.4.7.Достаточные3.Теоремаэкстремаль(Р),некоторойвхнаслабыйДостаточныеТеорема4.Якоби,интегрантлокальныйсильныйнекоторуюхЬинтегрантГ&,Ьокрестность6(хЕVэкстремалейграфикаСс.1\\,К")доставляетх377].—К"),хгдеVСусиленныепоэкстренекоторая—ЛежандраусловиянахдопустимаяК"+1ТогдаV.хдоставляет81г1осгшпР).теоремыполемVС2(\1$,С3(УвыпуклымминимумС3(О(Г^))),бТогдаэкстремумавыполненыхнаявляетсяцентральнымбхУсловияДоказательство.окружитьфункцияграфикаокрестностьисильного(ЬГ^[АТФ,экс-дифференцируемЯкоби.иМосттР)условия(Р),задачевграфикаЕдопустимая—непрерывноЛежандра(хПусть^1],К")триждырасширенногоусловияминимум1.4.8.С2([^о,ЕхЬусиленныелокальныйэкстремумаинтегрантокрестностивыполненыэкстремальфункцияПустьВейерштрасса.слабогоусловиязадачевформулойосновнойназывают(см.позволяютж(-,А),Г±.Пустьп.1.4.5)покрывающимх6РСх([1й,1\ )окруне—§ 1.

ПростейшаяпроизвольнаяэтойзадачаТогдаокрестности.Гхграфикформулеосновнойпо269исчисленияфункция,допустимаяввариационногокоторойВейерштрассарасположен1.4.6п.«1кИзвыпуклостиинтегранта^ 0 дляЕA,х,и,х)то(и,ж)любыхкТаким(см.следуетб1.3),п.К"что/ Е{1,хA),и{1,хA)),хA))д,1образом,(I, х)точкаеслиК".х^0./(ж)значит,и,V,6^«о^{x),функцият.е.1.4.9.сильныйдоставляетхКвадратичныйфункционалРассмотримпростейшуюзадачузадачуфункционаломквадратичным■минимум.^(x(■))[{{Ах,х)=исчислениявариационногож(-)вектор-функцийдля2{Сх,х)+(Вх,х))+(Исх„())(ж^),. .,=Ы;-+кхA0)=х0,слабыйнасильныйихппорядкаТеоремадифференцируемы,Тогда,5.Пустьеслиневыполненоисильный,иЯкоби,условиеЗаметим,чтолеммепослабыйиОтметимместоимеетзадачичтовначале,не(Ву,„ив)'=(Ах,оо).—минимумфункцио-квадратичныхф(й) )видегде=представитьр{){МН,Н).Аматридых)+2(Сх,+(Ву,иу).Нчерез рТогдаЗначит,у)^"(х)[Н,вектораможносимметрической.бытьобязанау)К\С*(А(^ь^атже=абсолютныйдля+2га-мерногоотносительнопространстверх2п2празмераЕслиоо—равенство'Квадратичнуюнаравноуглов3'(х)[Ъ\форму руэкстремальминимум.совпадают.Доказательство.функционаловЛежандра.допустимаятоскругленииодиф-непрерывноусловиеабсолютныйзначениетоСиусиленноеЯкоби,условиедоставляетусиленноеединственнаматрицы—Аматрицывыполненонепрерывна;выполненосуществует,(Р1)задачевВаАA),ВA),СA)матрицы2'.симметричные—(Р1)1Здесьэкстремум.А,Вп,хA^)-хиВматрицуявляютсяк].(х,у)=симметрическуюМ(х€уК")Мматрицуможновзаписатьасимметрическими,квадратичнаяК",€формазапишетсявидеСматрицаввиде2705.ГлаваЕслихСо([<о,Условиядопустимая—^])(это-У(х)[к,к]Эйлера)../(/г),з(хПредположимусиленного7'=Н\{1)х1+ЩЬ)экстремальх,уравненияЯкобиусиленномуЭкстремаль<о ^I ^^1произвольную допустимуюЦх)-=IматрицыфункциейфункциюнаклонахиA,НA,10)хA)),ЭтадопустимаянетривиальнымрешениемЩ\)=0,=аэтополяцентральногои(т,Лзначит,(Р1).другаяэкстремалей,^^])^хA))Н(Ь,Ь{)и,задачеI.=и/,=впостроенииполяС'^о,ЕНAЪ1Х)0,—Я,(*!)0,существовалабыодлякрае-ПоложимполемсхA),Н{1и1х)что/г(<0)теоремуцентральнымЕA,/,Якоби.ВейерштрассаЦх)Обозначим(совпадающегоудовлетворяющие=былах-НA,1о),Якоби.условиями(см.можноокружитьполосух=(*)Эйлераэкстремальусловиюхэкстремалей)Я1^о)еслипосколькук*1]).соответственно.допустимаяграничнымиспротиворечит1\)°.=функциято=\и,и—единственна,экстремальс1(Кневытекает,(<о> 1\\I 6функционаловЯкоби),НA0,10)6эквивалент-соотношениеусловие0,—условияЯо(*о)ЩA)х0УЬ,V0—ранее,выполняетсяуравненияЯкоби(х) [к]квадратичныхцн)+уравнениемсдля=хусиленноеНA0,1а)условиямТогдаэкстремалирешениязадачиневырожденыдляз(х)=выполненокраевымх{1)н)матричные—квадратичнойИз+3'тодоказаноПосколькунатозадаче,былокакисчислениивариационномввсоотношение,=Я(^,<1)порядкаэкстремальуравнениюэквивалентновторогопокрывающем|).ВозьмемТогдапроизволь-основнойпоформуле=к«1/ [ЬA,х,х)=---Ц1,х,иA,х))иA,ж)})<й{Щ1,х,иA,х)),х--=к(дляквадратичнойЬ(х)функции-Ь(и)-Ь'(и)(х-и)=(-Ь"(и)(хи),-(х-и)))=/(-1цA,х,и)(х-и),х-и)<И=I (А(Щх-и),х-и)<Ы^0,§А{1)ибо1.=задачаположительно—Лежандра.кПростейшаяматрицаопределеннаяЗначит,функцияПредположим,О (? аЬхгшпР"чтовыполненоненеусиленномупоусловиюаЬлптР'.бх271исчислениявариационногоЯкоби.условиеабсолютныйдоставляетТогдаминимумвфункциязадаче«1 1^(ц■))Г((ан,н)=2(сн,н)+Л(*о)аЫхгйпР",йеОе(еслиминимумавыполнено(*) 3{х5аЬ5т|пр,+оо,-►е.т.1.5.+ДляА/г)такая,./(ж)ЗаЬзтшя"<3(Щ+1{х)что^(XН)+=Поэтому^-^0.Нотогда\21(Н)силув-оо-►при■-оо.простейшейвариационногоклассическогозадачинеобходимыхиспользованиемс^])=слабогоусловияхрешениярешенияисчислениянеобходимыхЗначит,теореме^([^о,(Р")О=оЯкоби).=ПравилоЛ(*0=поусловиеЬ, ефункциясуществуетсоотношенияАтоис-условийдостаточныхиэкстре-следует:экстремума1.Найтидопустимыефункции,допустимыет.е.экстремали,необходимымудовлетворяющиеудо-ДляI порядка.экстремумаусловиямэтогонадоЭйлера:а)ВыписатьнеобходимоеЛ-—1«1*+охЬ) Найти«экстремалями»),с) Найтирешениярешениянаусловиям2.Проверка(онизаданнымэкстремалями»).«допустимымиусловийдостаточныхиуравнение«экстремаля-удовлетворяющиеназываютсянеобходимыхназываютсяЭйлера,уравнения(ониконцах—0.=уравненияэтогоI порядкаэкстремумаусловиеIэкстремумапо-порядка.а) ПроверитьЕслиЬцA)сильного)О<[<о> ^1](выполненоЛежандра),условиеслабогоусловиесильного)VI6[<0) ^]необходимоевыполнено(а,следовательно,(а,следовательно,то(выполненоусловиеслабогоусловиеЛежандра),томаксимума.Еслижеусловиеслабоговыполненоусловиеболее,бнеобходимоеЬц{1)ЕслислучаеIминимума.значит,и^Лежандра:условияVОвыполненозначит,ивыполнениенайденнаясильноговеличинаЬц(Ь)Лежандра),(а, следовательно,допустимаяэкстремума.назнакопеременнатонезначит,иэкстремальсильного)не[10, Ьх\ (неотрезкеВэкстремума.доставляетвы-необходимоевыполненослабого,этомитем272ГлаваУсловия5.2цA)ЕслиусиленноеО V>слабогослучаеиЬ) Проверить1>1) ВыписатьНайтиЬз)Ъ^)ПроверитьЕсливсопряженныеточки(а,Що)О,13\=найденногонуликA)решениянеобходимое(выполнено1оссопряженныхслабогоусловиеэкстремума.и)этомслабого,доставляетвыполненослабогоусловиеВэкстремума.не(неточкинеобходимоевыполненосильного)экстремальсопряженныеестьнезначит,иточек,выполнено(<0,следовательно,Якоби:нетсильного)тодопустимая1\)интервалевЯкоби),условиет,значит,тожеуравнениет.е.х,=е.т.условияAо,иЕслиэкстремалинаНAо)выполнениеинтервалеследовательно,1ХХA)Н2A).+1>10.приЯкоби),условие21^A)НA)ПA)К):К,даннымиЯкобиуравненияэтомфункционалаЯкобиначальнымисегоусло-ВЯкоби:+1,A,(выполненонеобходимоеЯкоби.условияинтегранта[10, Ь]I 6максимума.квадратичного1цA)Н2A):=О V<выполненоусловияуравнениедлярешить(а,к)ВыписатьЭйлераиисследованиювыполнениеН,исчислениисоответственноинтегрант1A,2цA)значит,минимума,квариационномвилитосильногопереходимЬг)[10, ^]I 6Лежандра),условиеусловиепорядкавторогонайденнаяслучаеиболее,темсильногоэкстремума.ЕслиЯкоби),условиеслабогоусиленноеЛежандра),(если.])условиеминимум[,^^@Проверка'ДляилиЯкоби.де(Я(*о)Сопрялсенными=Якобиф 0.^])(еслимаксимумили—НA$)=0(г)=точки(IЯ(*о)\К(-)..т—(<)Л■■.матрица),(нулеваяй'(-)будут[к=хтодоставляетфундаментальнаяищетсяН(г)матрицафиксиро-всехприхпараметра,(х1(-),.