Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 28

Простейшаязадачат+у/Хт+\/Хо(у/\)ВЗгитоге,Нетрудно-к(т){=видеть,самым,что0А-х=>0.=Цт,Цт),&(т)=выписанное€)-1{т)-1±(тН+ВейерштрассаусловиеформулировкевиВейерштрасса■<р'(+0)ичто255исчислениявариационноготеоремы,Iгдеит,=—&(т)жетемУсловие+1.доказано.ВназадачеНиже■максимумВейерштрассаусловиеВейерштрассаусловиебудетсвойменяетизвыведенопринципазнак.максимумаПонтрягина.1.4.2.ДляИгольчатыет6=*1*(*)]иусловия(_,г}числапроизвольныефункциификсированы.>0А^О,■ЛЛ(«)сильногоэкстремальнойвариации+Ад(*),вдеВейерштрасса.условиянеобходимогоспециальные[*0,Аналогвариации.доказательстварассмотрим0.>является=|Л|А+-A(<--е[гтI \*т)т*т1-А,1,0,г],-А,А|1+тг-АРис.18+минимума&.рас-ПустьточкаПоложим256ГлаваДляУсловия5.второгонеобходимогодоказательстваВейерштрасса)АподобныечемвариациинесколькопринципамаксимумаТеоремаиногофункцияминимумС(О(Г^))),ЕТогдах.функциит)Цт,нахвыписаннуюжЛРС!([^о,функцияПоскольку^(x\)=Отсюдатож(-)Е+совпадаютЕт[<о, 1\\интегрирования\наАНт(итегралынаобращаютсявпромежуткахноль)/-Н" 0Аугв—1Ачто0.—><р(\)<р(Х)т.е.у'(+0)нуле,1Л=^<р@)-ижЛ(<)существует,хA)разбиваято,Т,СОчевидно,при0,Н\A)Ефункциинотрезка,четыреА-»+0А—*Е+п^])—ПосколькуI+тдо-G)).хA)переменногоАсправаиX-0,1.-1й,1х==(жЛгодногопри1р\+0).[<о,\I тС([<0,функцияпроизводная-х\A)x^,=минимумеслитО>неравенствевэкстремумЛд(*,-)+(случаи^—>отрезокпространстваВычислимIпри0^сильныйтоимеетчто0.^х(и)метрикехЙоспппР,Лд)следует,<р'(+0)вТПтЦт))Цт),вариациюАна=^\)1й,—>игольчатуюзадачежд(^)ж^(xтп)Цт,+(<о,Етмалыхв—>Г^функ-непрерывности-т,)-(Сточкудостаточно^]),жд(-)Цт)вышедопустимаждЕнепре-графикарасширенногопереходамиПрих.функцияЦт),ВозьмемРассмотримло-Ьинтегрантточекмножество—сильныйдоставляетР),условиеДоказательство.предельными^^])зМосттЕмножества1\\О+СЦт,+доказываютсяфункции(жвыполняетсяЦт)Цт),(Р)окрестностиС [<о,ТРС'([<о,ЕжзадачевнекоторойвнепрерывендоказательствеприПонтрягина.ПустьлокальныйсвязивариацииИгольчатыеэкстремум.использовалисьвидаПривТакиесильный|л/А.—18.иголку,«игольчатыми».назадачг}рис.нанапоминаетнескольконазываютвариацииисследованиюксизображенныйвид,Лд(условияминимумавариациитакиеимеетфункциипроизводнаяприспособлены{ЬН\{1)исчислениисильногоиспользовалвариациималомвариационномвусловияВейерштрассПроизводнаяспорядкаотрезокимеемА~>+0(ьA,хх,хх)»■интегрированияее))-ЬA,х,[<о,т—<й='А],\т-\,1А§ 1.

Простейшаях~+о\]л>у>\задача'*'чVл-ч-о^"*~т-Х(по=теоремесреднемоЦт)Цт,Цт),(умножимобеО+Цт)-т}Цт,Цт),Цт)^+-7/\неравенствачастихордысЩ,ЦЬ),х)(какДействительно,(первоеG)ДлялюбойЕсливытекаетвыпуклойфункцииЬдифференцируемС1 (О(Г^))).х:любойнижеЬфункцииграфикалюбогодлялежитх> ОшэкстремалиЬ(х)——сложениемпроверяемоетождество,простоеслиполучается,Ь(х)РС1([1о,6оберазделитьчастиG)условиебудетвыполнятьсяна^^])■вточкефункция,хизтоG)условияВейерштрасса.Необходимые1.Теоремалдкальныйэтодифференцируемая—т,)Цт)+х).функциих(|-т/).+условие1.4.3.Е{1,х,х,и)^> О/Т.6тнаотсоотношениенаVО,стороныот—Цт))-(хA),Ь^,Щ),*(<)))разныефункциивтороеусловият/ >т?)-G)точкасоотношениедробей,условиеЕГпоконцами|,т?)-г/)условиясмысл<Цт)Щт,Цт),Цт)0+VГеометрическийфиксированногоЫт,х(т),на+Аинтегралов)определенныхдля257исчислениявариационногоПустьфункциявнекоторойнаэкстремума.6х(Р)задачевминимумТогдасильногоусловия(жбС1хЫосттР),(^0,выполняетсядоставляетуравнениесильныйЬинтегрантрасширенногоокрестностих^^],Кп)ЭйлераинепрерывнографикаГ$%удовлетворяется(ЬВейерштрасса=Ц1,х,и)-Ц1,х,х)-Щ1)(и-х)^ОУи€К",V< 6[1о,1х\.Е258ГлаваЕслиУсловия5.этомприпорядка2цЦ)Доказательство.О V^вариационномвЬц{1)существуетЛежандра:условиевторогоVисчислении[^о> 1\]>I <Ет°выполняетсятакже[<0> ^]-I €Формализуем(Р)задачукакзадачуоптимальногоуправленияиI Ц1,х,и)й1шГ;—уххA0)и,=хA\)х0,=(Р1)хх.—кУсловиейA)(Р1).найдутсяЛагранжар(-)игдеоптимальногоПонтряганаРСх([1й,6[Р')задачи+рЦ)(хзадачемаксимумапринципуАО,АЬА2функции/ (ХоЦ13х,и)А-согласноЛагранжадлячтов(х,й),парачтотому,процессомПоэтомумножителитакие,равносильнооптимальнымявляетсяуправленияизМостшР€хх{1),=1Х\),АфО,и))-«оусловия:выполняютсяа)уравнениеЬ)с)трансверсальностиЕслиАо=0,Ао фнеобходимомуЗначит,нули.с)из/(и)=поЬA,хA),и)вестьр{1)и-1±{1)инечтоиное,IпорядкапоиЬцA)^какАо=1Вейерштрасса.V0I€р=Тог-функцииЬх{1)[^о ^]-«■получаеми-1±{1)х{1)ЬA,Щ,х{1))условиех,попри01.=минимума=^ЛагранжаАопорядка/'(и)что-рA)хA))равенминимумнаIследует,имножителивсезадачевстационарностиусловиечто—условиюоптимальностиЬA,Щ.и)Ь)изПолагаемусловиюЬ±[<о,-А2;=конеченминимумтогда0.-необходимомур =Условие0,=р(^)Аь=I €0.^с) (посколькуизторA)чторA0)О V=и:поАо\йЬхA)+х:понеотрицательности:вытекает,~.рЦ)-—оптимальностис!)ТогдаЛЭйлера:р{1),=апоПодставляяЭйлера.уравнениеЬхVиеК",V* 6[*0,^]■§ 1.

Простейшая1.4.4.ЛеммахкA0)метрикехA0),=ДляВозьмем1.=^],К"),Итик-юокюопростотызаписитакая,{}6хк(-)чтоЛ(х).=С(К2п+1).6функцийхAу),Л(хк)—^]),ЬинтегрантгладкиххкA{)С([1о,пространстваДоказательство.пРСх{\10, {6хдпоследовательностьС1([10,11],К"),вугловфункциясуществует259исчислениявариационногоокругленныоПустьЛемма.Тогда дзадачаж(-)длядоказательствопроведемфункциюЩО,1.>1/2-1-1/219Рис.Онанепрерывна,|А(*)|величины-1,точкиразрываскачкиваэтихтакжеграфикаНпо-прежнемуимеетт%+0)-Л(&(-имеет(^,/1),--ж(г,-т,)),-1,1,. .,то,=0)--ее—графики|Л*(<,тогосдви-точкикромекромескач-которойподобиянепрерывна,скачоквели-скачок*преобразованиямипроизводнаяееи0=6ж(т;=функциинепрерывна,онаА,-=Л*(-,т;)Функцияточках.Пусть1/2.их<при<производнойполучаетсягдепроизводная|А(*)|1/4,^изсдвига,еет,-)|т*,\/{Щ,<тТогдапроизводнойей[г,неж^(<)функция-\/к,нат{+хA)=\/к].хкAй)перекрываются,^[10,1\],частности,хЦ0),хкA{)непрерывнавместехк{1)причемдля=п)А,Лй(^,1=1отрезкеВ+=хA)=Д=1=1сво-отрезковотрезкиэтихA\),■\хкA)-хЦ)\внекбольшихдостаточносо70 прик—►+оо,260ГлаваНа5.Условия<компактеГ\ 10 <A,х,х)*•Ьфункциянепрерывнаяпорядкавторого<ограничена:<\ЬA,х,х)\<УЩхк,хк)<И-А\х-хA)\1\,<исчислениивариационномв4геоМ.^(x|.)следовательно,АбсолютныйСледствие.экстремумДля2.Теоремалокальныйдифференцируем(ЬГыхна>ШтназадаченаV1\)IДоказательство.бытьС2([<0,6(хсильныйна6не>«ослабыйи(см.так^],К")\у1остшР),Енекоторой1.2).п.хЬинтегрантгра-Эйлера,уравнениевыполненоусловиеусиленноевыполняетсятотриждырасширенноговыполняетсях[<<ь 1\\),слабыйдоставляетокрестностинаЯкоби,условиеиточек.сопряженныхЛежандраусловиеДля(Р)задачеэкстремалинетмаксимумкприэкстремумаТогда0(<о,интервале(Р)еслии,(Ьц{1)Лежандразаписипростотысвойменяетзнак.доказательствопроведемдля1.п=1)функцияВыводхуз(А)=необходимомуифункция(О(Г±-.))).ЛежандраусловиеВслабоговС€'■можетусловиязадачевминимумнепрерывнот.е.этоПусть2=экстремумовНеобходимые>,—+оо.—*■в581ГаЬ5ттРлокальных1.4.5.кпри<Щх,х)<Иэкстремумсовпадают:графика^{x)—*■ж(*)|—Поэтомуа1и,А-1.\х—-,<р"@)равносильноЭйлерауравнения\у1осгатР,6то^{x{^)+^условиюВ0.АЛ(-))ивыполнениюбылоЭйлера^])функцияТогдануле.пофункциине-<р'@)переменногочтонаС^фо,€водногопоказано,уравненияэквивалентноминимумфункциифунк-ПосколькуНфункциилокальныйимеетминимума3 п.

1.3главеЛежандра.условиялюбойдляпервоеусловиех.=равно-Второеусловиефункционаланеотрицательности*1=[)Vкес10([10,и]).ХХ(){1))<Я^00§ИзК(Щ))ПоI (Ъцк2=следствиюиз(Р")задачеЬдд(^)т.е.Выводт.Отметим,дифференциальноговытекает,чтодоставляетнеобходимыхоусловиевыполняетсяобразом,условиечтопротивное,Якоби,уравненияфТаким(<о> ^)€тнетривиальностик(т)[*о> *!]-€точка0.Щ)ПоложимудовлетворяетЩо)„^Якоби,уравнениюк(т)°~^''^послето0.=линейногоусловиемс<—к(т)—однородногопорядкавторого(к ^ 0)которогокЯкобиусловиенетривиальноеидлярешенияуравненияк*Предположимг\\)изV0>существуете.С^о,€чточастямкна0=1(Р")0.=выполнено.Якоби.условиякфункцияЪц($)(Р)<»задачевыполнено,решениепо0^в2)(Р")задачевктеоремысилувЩ)=функцияугловТогдаминимумакA0)М;->функциячтозадачевинтегрантадляЛежандраЛЬскругленииоминимум.сильногоусловияхЛежандранелеммысильныйиЬххк2)+следует,(слабый)минимум2Ьххкк+Кфункционалавидаиабсолютный261исчислениявариационногозадачанеотрицательности0 доставляет=вПростейшая1.0=Таккакинтегрированияполучимк{Ц))=1"BЙ■к+2Ьххкк.к2+гххкп+гх+Ьхк2^Л1='ог=/[1м<и=тт/ \2х±кк+гххк)кл1+ьххк+т/(+-—кТакимобразом,сфункциейвтеоремек1,получим,=К(к)0).=0,аПроводячтоэтоозначает,найдетсякчто€аналогичныерассуждения,функцияр€аЬхгшпР"(нарядупроведеннымРС1([1о,^])такая,что262Глава5.УсловиянапорядкаквадратичнойлагранжианадлявторогокэкстремаливыполняетсякA)ПосколькуфункцииО=Iприк(т)откудаМыр(т-0)=0=>р(ттот,пришлиЬц{т)противоречиюпредположениепротивного1.4.6.Поле0из-засусловием0=0)-Ф0)+21ц{т)к{т=(ибокЬцк2=2Ь^хкк++Ьххк2уравнениер0к, к)ЪA,задачиисчислениивариационномввисилу2Ьц(т)к(т)=Лежандра).условияк(т)условиеи0,=усиленногоневернонепрерывностифТаким0.Якобиобразом,выполнено.■экстремалейРассмотримпростейшуюЦх(-))/=исчислениявариационногозадачуЬA,хA),Щ)хA0)->шГ;<йхAх)х0,=(Р)хх.=кПолемэкстремалей«семейство»)говорятж(<*,А)экстремалей,ПустьхвключенанекоторомаАЛ.бтакая,единственнаяЕдинственность(г, ^)СА:функцияСФункциязываетсяАзначениеи:функциейполяС->К",хA))х{1)бытькласса(г, ^),экстремалей,полеС—хA,\(т,(,))ахС1 (С).означает,напричемЕдинственчто=:производнойточку;поточкеобразом.1=тчтосграфикаимеетсяэтуединственнымОтметим,совпадаетнекото-приокрестностичерезточку=поля.=этойотыскиваетсяи(т,ЛнаклонаиA,впроходящаячерезэкстремальх(-,Х)=окрестностьдолжна^)А(т,=экстремальчтовключенная(т, ^)А(т,^),=проходящейэкстремали,ЕАх(-)изчтополем(т.е.Говорим,существуетеслисемейства,К",—*(Р)задачееслих,такая,экстрема/гей.полявточкиэкстремальфункция,центральнымцентромэкстремальлюбойдля(иногдаЛ,К"),множество(^*,ж*)точкаусловиями).экстремалей,полемхэто—называется{ж(-,А)},что^]открытоеэкстремальполеназываетсяэкстремалейГоворим,чтоэтотограничнымиполеС1([10,6некоторое—экстремальзадачемножествож(-,-)существуетЛ,ЕдопустимаявназываетсяЭйлера.)(<*,ж*.)точка—вА(Р){ж(-,А)},чтоэкстремалейвсехдляхокруженаГ±(Напомним,полядляж,А(оуравнению=заданнымизадачеО(К")бК").удовлетворяющаяЕслисЛбпространствевнаклонаАпараметромсвэкстремалейх(т,Х(т,П)экстремалинахфункциифункциях{1).§ 1.

Простейшая(гармоническийПример263исчислениявариационногозадачаосциллятор).ч/(ж2х2)-УравнениеС^$т^=сцентромА=в0,точкеАш1Т={&ПостроениеТеорема.(Р)задачеПусть(хвнекоторойнахОЕ(Р)),(ЕокрестностиокружитькаквыполненоЬЗначит,V'.бВх,у)а)решение4,1.3)хпродолжимо(ЬС3€(О(Г^))),ТогдаможнохЬ^х+Ьц+тонепрерывноститакоеVЬх-—О(Г^),ЬцA,х,х)чтоЭйлерауравнениех,у)у)ЬцA,х,-ЬинтегрантаV'.A)Тогдаравносильноерешениянаотрезок>06и[100,>-е,отчто1\непрерывносуществованиятеоремепоу)у).х,ФфункциязависимоститакиеЬАхA,-+е];A)Ьцфункции€0.неравенствоестьпроизводныхокрестностинайдутсяГ^Якоби.исилуVгладкостип.зада-вдифференцируемЛежандра,Областидифференцируемой(Гл.экстремальнепрерывноЬцхвтоу) [ЬхA,вж):Функция$Ш.Эйлера<=$■найдетсявЬ^,х,:=непрерывноданныхтриждыусловие*1],С3)заданнойсилуЬотносительнодифференцируемаи€разрешеннойФ(*,0=[^о,€чтосистеме,гдеIV<т*=гТграфикаусиленное08Шдопустимая—уравнение+ЪхA,х,х)>1чх{1)(напомним,0 V (<, х,х)<81ПГЛежандраРаспишем-—ЬхA,х,х)-Д—@экстремалей.полемДоказательство.Так^],К")условияцентральнымприх(т, ^)точку&1расширенногоусиленныеэкстремаль=1=тинтегрантвыполненыэкстремалейполечастности,Совокуп-экстремалейС2([1о,€0.=лполяхимеютхA)=>ж(г,А(т,^))А(т,центральногофункционалачерез81ПТ—хA,=ж).<ж.-Д—=Л^)I <1\<центральноепроходящуюА^<»=и(т,поляестьвполя,10<этоговключающее,экстремаль@экстремальАйп^0 <О=Экстремали0.==полосуНайдемнаклонахх{1х)=ДопустимаяхA,Х)@,0),покрывающеех(т,Х)+хСгсок^.+экстремалейСовокупностьхA0)лип;->ЭйлерахA)вид<йначальных>264ГлаваЬ)5.второгоАлюбогодляопределенож(г„,(*оУсловияА)х(-,Х)г0)-ПриА)ж(<*)уравненияполеэкстремалейокруженаАпри0,=Л,К")).экстремалейполемдифференциаль-экстремальт.е.дХхA),Положимэкстремалей.полемвключенахэкстремальчтофункЗначит,какхрешенияПокажем,интервалаточкаявляетсяе]+данныминекотораяединственностицентральнымэтимЛ,6е,1г-начальнымидифференцируема+ е\е,Ь\—А[10отрезкенас—С'([*о6х=I*непрерывносилуж(-,А){ж(-,А)}.6}<где{ж(-,А)},Вцентральным).дифференциальногоА,(ж(-,-)экстремалей(даже| |А|Эйлера+х{1,\)переменныхмножествоК"6исчислениивариационномвуравнения=функцияэтомдвухфункцияж(<„,ж(<*),={АЛ:=ерешение-е,порядкавI 6при{10,1Х]А=--0,3А=0=тогдад~дхдПосколькувдд/А)ж(<,A)слагаемом,первомАпоА,любогодляэкстремаль—ЭйлерауравнениедифференцируяА=0и|А|получим9'ххА=одХ"д-0=Значит,Я(-,<*)Я(<„,<„)матрицаусловиямирешениевыполненонетривиальногоравносильноудовлетворяетН(т)=0,10невырожденности<т<1Х.=условиеЯкоби,образом,Такимматрицы/.сНA,1$)ПустьНAо,1$)условиямиусиленноек уравнениярешения=сЯкобиуравнениюЯ(<*,<*)0,=ЯкобиуравненияПосколькуЩо)дифферен-то,-^(-0=начальными6.<дифференцированияпорядокменяя—0,=Якоби,тонематричноеЯ(<о,^о)I-=существуетне-условиямудовлетворяющегоусиленноеНA,1о)начальны-ЯкобиусловиеприлюбомI Е(<о, 1\\.§ 1.