Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 11

.,п,1-1!=1Ь)минимумвопределении8(а,у)\{^,У*)С'.—множествапУ2\,х*(+А*у*(у*,у)),+имаксимум-.=Пв(а, у);точке'взС(а,у)достигаются.хУ"У.90ГлаваДоказательство.Экстремальные1.Нетруднозадачиследующиечтовидеть,экви-задачитриэквивалентны:(р{х):={жМу:=где\Ах+у1,.={{=М(у):=1,. .,П=ВозьмемМ(^)следовательно,произвольныйПозначит,и,(ж*,этим=:СизначенияV^(Рз)М(у)01+Аг§Отсюдазначенияд(тахдд)Дубовицкого—Милютина,Длятеоремесоп\{д]\&1)дд\&).в(такто{а*+это(ж—<5Му(ж)={х*=допустимый=элемент| (ж*,жвж)-| (ж*,ж-ж)^йМу(ж)V^жбХ}0, г6Му(х)(р),задаче0)>0^{аг+ттх=1,. .,пвместеа(Рз)—решениех.функция)=A).=д(&),9тах{/,^}|гто6х(д(/+д)=что=1,.

.,п,слагаемого:второго{х*черезозначает,\{(ж*0,/1)существованиядFМу(х))/(ж)еслифункцийнашихВозьмемН Е КегЛ.задачахМоро—Рокафеллара(ж^ж)})+КегЛ,(Р2),выпуклая—и+Задачатеореме(Р^<рXх>остальныхзадачекактеоремепоисубдифференциалдFМу(х))поК™.в—чтозадачив;ж,*,ВычислимМуКегЛ}.Л), гдеснизу.следовательно,Рх,д<р(х)Тогдаограниченырешение0 Е0.=значити,6хУобразом,(Рз)(Р\),Обозначим0 ЕПо+программирования,Поскольку<р.Такимзадачсуществует.аЬзгшпсоответственноЛж0};=(=существуетрешениетакже1,. .,п,Ах+у=>6линейногозадачав{а,+&}»—1,. .,п1=(ж?,ж>,={^ | ^(ж*, ж) + (ж*, Л), Л 6Тогда(ж*, ж) + (ж*,^М(у).такое,г'о 6 {1,.

.,п}+>,Л>(а:? ,г>+(ж*а,0 + (ж^,ж)а,-„6найдетсятахж)}с^вектор&(Р2)М(у),Емногообразия=леммыусловию{6Х:которогодляхЭж&<с,+аффинные—элементи,|(Р))М,-»5(а,у)).М;->К"6Му(х)+=6}+а,М(у)Му,^(Р)F,. .,6.)ес->М;Здесь(=*Ктах1где+;П0},=(ж*, ж)}{а,-тах1-6Му(х)следовательно,={ж*| (ж*,ж-ж)VжЕж6Му^0УX}=значит,и,хЕМу}=§ 8. Гладкая(посколькух=из| (ж*,|К)у* ЕУ*,Ах+0 V=A)соотношенияфункционалиЕиравенствамис{жКегЛ):=х-{х*=ТогдаМуЕхЛусловиюзадачаук0},=существуетравносильно1тЛ*.=АвекторвыполняетсякоторыхМуЕх(КегЛ)=чтоследует,дляусловиетоКегЛ}Е91неравенствамиравенство:Х{1=1Приэтом,(х*,х)8(а,у)А,Далееесли0,>Дубовицкого—Милютина,теоремепотоа;имеем^2=B)1.=1=18(а,у).=А„)(Аь..

,=(Х>^1=1п1=11=11=1пСдругойстороны,жтакого,что(А, у*)еслиЛж+у0 будет=пС,ЕЕ А«ж«*то4~\У)У)^\у—,Лж)!((а,-тах+)1=1У^(х*,х))А^й|/—1=11-1=(Л—у11=1А,-(а;тах=+(ж,*, ж)).1=1ТогдаТ^,-«чV»+,—{у*,у)<(пX) А,а;(а,-гаахттх:Ах+у=0{=\,. .,п+(У*,У>У)(ж;,ж))+пч1=1любогодляипЛ{й1/!=10=выполненопА^й^&*У*+=Е1=1А^а<.=5(а,у),,ж):=+92ГлаваВведем1.-Р"(х)[к,к],у:=задачи/ (ж),х\:=обозначения:0,1,.

.,т,ЭкстремальныеР'{х),Л:=кгдеКЕ-$"(&)[к,к],щ:—=фиксированныйнекоторый—гвектор.Влемме8.3,п.использованнойI порядкаусловийдоказано,чтотЯе<р(к):=любогосевыполняется.0 доставляет=1-0,1,. .,гпк 6К&тР'(х).ПоЗначит,Следовательно,этойлемме1=0,1,. .,тA)леммы^элемент<р,(//(&),тахусловиесуществуетдока-функционалуминимум6КетР'(х)(к).+былонеравенствами,иабсолютный(/,'(ж),к)тахдлядляквекторнеобходимыхдоказательствеприравенствамисзадачахвминимак-о%(к),=Ой>>Л^+О,у=которого(<цтах.По/(х*,0)+формулеТейлора( ^тах=в,ПоЛюстерникатеоремеокрестностьхР(хгA)Полагая(р(х1кНег(Ь))Рассмотрим=B)+12{А$у)+V<р:0=уо{12)+X-+=оA2).некоторойVчто<р(х++/;(&)чтоIмалыхпри1к+12$+V.Ех=*к<2^))+0,гО,=0,1,.

.,т.=задачу:их)тах2.6х.,тПроведемчто-+тш;Р(х)(Р1)0.=1осттР'.Доказательство.Предположим,( ^тах~0иА^К\\Р(х)\\получим,считаем,1=0,1,.Лемма^Е(х=общности,ограничивая=кхх(х,\у*)[к,к).=о{12)+| ^(Ж)||Ь2%),++тах/1)отображениеО,=+Ьк12$+такое,=1)\чтоф))+:=к]существуетточки{у*, у)Е'(х)[к]условийсилу+А,-а,-точка& 1осттР'.Тогдадляпротивного.отлеммыдоказательствохлюбого6>0суще-§8.ГладкаяствуетточкаххF)=0#/((г)<0,!допустимойзадача0,. .,т,=Рзадачевпротиворечие/о(ж)иточкаПо0=/;(&)тахг—0,1,. .,тР(х)/о(&)-невернои,малыхI >2 прилемме=<=0.

Значит,Следовательно,точкаПоэтомунаше6хзначит,8.4.второгоСф0предположение,■>=0,1,. .,тШкдляо(тахнеравенства0 для^ктеоремыо0шнеобходимыхуслови-регулярность),гладкость,>Получимнулю.К.6порядкаусловияаIустремимивектораI(банаховость,некоторого(А,у*)€Х;—любоговыполняютсяАхх(х,Х,у*)[Н,к)тахнаусловияпорядка+.ДостаточныеПусть\ [_тах=1=0,1,. .,А, у*){к,к]Теорема.условиях—что1осгшпР'.тах2частидопусти-@ 1осгшпРх!=0,1,. .,^-Ахх(х,тахявляетсях=0тахобе},(&)тах!=0,.

.,т,Л]VРазделим<точкатах=12/Дж)тах!=0,. .,т),=93неравенствамийи<теоремы.B 1осгшпР'х0<условиемс| ж-#||чтотакая,иравенствамисвыполняетсямножествострогойусловиеположитель-положительности:Ахх(х,Х,у*)[Н,к]^а\\к\ 2тахдлялюбого6хпринадлежащегок,1осттР—НеДоказательство.г=0,1,. .,конусулокальноготочкат.Покажем,допустимыхминимумасуществует6 >К.вариацийчтосчитаем,0Тогда(Р).задачеобщности,ограничиваячтовтакое,что/*(&)=0,условияA)94Главапротиворечивычто\ к\приточкаA)условию\ к\и<6г.Тогдаи{х+к)=/,D)+(//D),Р(х+к)=Г(&)+Р\х)[к}Введемк]+п(к),разложенияк)+будетсразуэтогок)1-Р"(Щк,к]++Р'(х),п(к),\ п(к)\\г(к),\ г(к)\\}{х)~к]+г(к).К<0,г/,(ж),а,:—(I)соотношенийсилувАк0,1,. .,т,=отрасстояниеоцениваетсяо(\\к\ 2).=виде| ЛА||Хоффманалемме0=тахТогда(гГ.ЛК^кК^НЛН2,Поудовлетворяет!=0,1,.

.,тОткудавариацийследовать,квекторТейлораЛ:={х*,к}+а{=ИзУ?(&)[Н,++в0.формуле-Р"(х)[к,у.=задачипустьпок)перепишутся&(хФкж*:=/,'(ж),обозначения:-}"(х)[к,Экстремальные< 6,Действительно,1осгшпР.Ех1.| у|=B)0.=уСг||Л| 2.<квектора+C)допустимыхконусадоформулепоC)1Поэтомуквекторк{гдеК,евыбраноа^-2Й2вектордопускает(достаточно\ к\(#2\положить-62^=^—)•2Сзквекторов\ к2\\оценкуусловияизсуммывидев| А|и,0представитьчтобытак,Сз||Л.|можно=Сз||й| 2.<быследовало/=Н1-\-к2,Пусть62неравенствоТогда^Сз||Л| 2значит,1|Л2||<Сз||Л| 2<4Сз||Л,| 2.Пот°НУ*IIлемме^окомпактностиПустьС*4-С вытекает,множествай3настолькомало,D)•изчто(А, у*)есличто\ к\условия<й3ЕС,следуетнеравенство./| Г"||ОбозначимопределениюС5множества:=| Л:„(А,А,у*)||.тахСвыполняютсяЕслиусловия:-^1Г-111.(А,у*)А;Е^(->)•0,С,тог=по0,1,.

.,т,опре-§ 8. Гладкаяиравенствамисзадача95неравенствамитготЕ^>Е^«(ЖЬЖ)1»=>=0(■&*У*Iх)+!=0О=^2\(х1,х)О+(у*,Ах)жЕ>=00—длятлюбогоЕА;(ж*,ж)ОтсюдаX.Ех0=любогодляКегЛ.Значит,*=о(ж*,ж)тах!—0,1,. .,толемма0^любогодляПоминимаксе.этойA)0>Следовательно,применималеммеЬ(х-\-к)тахКегЛ.ЕжB)„{(ж;,/1)тах=Лг+»=0|=--0,1,. .,ттах=\.=0(У*,г(к)))+2-у*)[КхАхх(х,Х,тахга^\--..

--чш-^и2"-'"""4'4-^1Ы12>о,еслитолько^"тН^п!4403^511*^111неравенствапротиворечие:(о замкнутости).подпространства—+Ь'Ь1вектораXбудетЬподпространства+ЕсливектораЕЬ,XоСзОзН^п!)кх,малыхбанахово—Ь—васи-Получилик.подпространство,Ип{ах,а2},. .,1т{ах,. .Ь+Мпа(тогда,а„}Ь+такжеЦпа=Ьдлясуммалюбогоаналогичнобудутзамкнуто.СаТогда+оо).<суммачтоподпространствомЬЬ,пространство,замкнутое(дхтЬ1доказать,подпространство~Ь■замкнутымто1IIмалыхразмерностизамкнутыми).неравенство0.>причемДостаточноЕк)4Сз^511^достаточноподпространство.Доказательство.аX,конечнойзамкнутое—+ПустьвподпространствоЬтах4достаточноприиследует^—при2||/г.х|/,-(ж^0 ^ЛеммаX■Овыполняться\ к\силугшп{#1,#2)^з}6 ^<"О3О511^х||4~будетвсегдакоторое\ Ъ\неравенстваиззамкну-96ГлаваЕсливекторЬподпространствоB Ь,анеравенства(ЕслиЬепоскольку ах0Этонеж*т.е.&,(ж*,2„)(ж*,^„)принадлежитгА„г)АЬ).оператормножество(здесьС:=У),{(А,^1=•*1=1гК"1,.

.,^2 А;п,ахо)А„аОчевидно,что1}^2Аа+еХа—X,УК™оператора+ЛУЕ:=гжсЛ*:операторобУ*0 для—►Л*'1:любогообратном1тЛ*С1тЛ*(р(Х)чтооблеммеX*—►Тогда0,^г==У,операторето+X,етоотсюдакомпактаТо-ЭтоС.регулярногоядра(аннуляторзамкнутоследователь-и,0.=чточтоКегЛ*Этоозначает,=Н*=0).непрерывныйнепрерывном={0}.что0 дляПонепрерывногоприозна-Следовательно,замкнутоследует,линейного1=1непрерывномс0.=(й*,Лж)линейныйОбразА*у*следовательно,длясуществуетпри(А, у*)(КегЛ)А*Н*52 А,-ж^.:='О,^<р непрерывно.Отметим,КегЛ*,ежУ*.Ь).Таким| А,уг(А)аннуляторе1тЛ*множествоК*ЛХА;К™такое,точкупространством.ПосколькуX.БанахаС,иесли==силуп.°,екомпактаМножествобанаховым(Действительно,(А*Н*,х)(образПозначит,являетсяследовательно,(в1,.

.,=={АX*—>Возьмем(КегЛ).=замкнут),всегда1гпЛ*.С1тЛ*^„1ша.+Кпространства,X*,еотображениеакомпакт,множествау(Е)множествосеЕ1Ьбанаховы—ж*Х^ ^компакт—компактом).определениюпоА„аА„а)+а=:%Е2=1ш■у>:—X*СявляетсяозначаетЕ Ь,функционала(ж*,&,Ь1,=—++Ьж*какА„а—мымножества^„симплексЕ<р(Е,)отображении(этоготочкойтак—>отображениеисимплексмножествое1положительноекакое-то1=1ТогдаЬ.)ж*=+оо.=множества0,г„=Г*хРассмотрим=(ж*,компактом.Доказательство.=а){х*,гп)ПустьфункционалыУ,являетсяпосколь-непрерывности=+С).етоэтогозамкнуто.—=у*)(ж*,стороны,^„=компактностиЬ{Х,поэтомунасилув(х*,{„)аЛХф 0,последовательностиТогдагпи,предельнойдругой1т+Изтахзамыканию^„Отсюдае^2 А,п,А„Ь(оАС^чтож*следовательно,и,множествоЛемма=:А.а).Ь.ж0)ж)Ьежявляется2.—►=—>замкнутостиобразом,=:гп(ж*,А„(ж*,а)+О V=существуютА„а+->Значит,1,.

.,гточкаточкачтож)(ж*,(ж*,тахфункционалСледовательно,такие,быбылоЗначит,(ж*,<подпространствакоторогосчитаем,умножаяИпа),+Ипа.+К,еж)аннулятору—дляподпро-иаотделимы.(ж*,вирчтоЬ,еобщности,ПустьЬточкаотделимостистроготакой,(ж*,добиться,число).(г сX*жоограничиваяможемобж'ё!1азадачимножество)Следовательно,так.НетеоремеЕчтосуществовалолюбогодляIпож*вытекает,быЭкстремальныезамкнутоефункционалсуществуетЬто(выпуклое1.любоготеоремеоператораобратныйотображенииопе-§8.являетсяГладкаязадачакомпактом,С}е(оЛеммаПустьX{(\,А*~1(р(\))=подмножество.А(х,К,Х)Доказательство.цияции(ж*,х€К(/ фр)(ж)х),(/формуламесто^(ж):=ф| ж| .формулеФункцияжа(х,К,Х)=индикаторной\='К+00,„'аИ.,^Ж■=М(\Хг \хж2|-функцииотконволюцииFК)*(Х*)+=функции)+«ир((ж*,ж)| ж| )--6К(х))—51;рй(х,—+Г)6К(х)функ-к/(ж)),-№®6К)*(Х*)=^(Х*)8ир((ж*,ж){Нфунк-называетсяд(\\Х1\\сопряженнойвыпуклости9*сопряженной==+х2\\Мвзятияопределению/*функцияТогдахг€Ка*(;К,Х)(Х*)(/д)*их=ана-выпуклогофункциейфункцияМ\\х-=/5ир((ж*,ж)=называется"=ФМородохназываетсясопряженной/*(ж")Ка(х,К,Х)(понепустое—элементаизXСфункцийд(х2)),+функциямножествапоотсведенияКдвух(/(«!)Мху+хг-хОбозначимТощаXСрасстояние—множестваконволюцией=называетсяфункциейимеетК}6унекоторыефункциейхир=/\НапомнимОпорнойаК(х*)расстоянии).КК.множестваанализа.у\\■компактом.кратчайшемомноже-итогда{(х*,х)-зК(х*)},хир—Ноявляетсятакжепространство,1И1<1щГ{||ж—И}езадачидлянормированноеТогдаЛ(х,К,Х)=гдеА97неравенствамикомпакт.~|двойственностилинейное—выпуклоеА*~х<р(Т,)поэтому{(А,у*)множествоиравенствамисК)и,=К,X)а(х,К,Х)**Тогдазамкнута.^%ир((ж*,ж)хир((ж*,ж)по<5(ВХ*)(ж*)-X*—(ввыпуклойнепрерывной,являетсяследовательно,-зК(х*)).силуФенхеля—теореме-зК(х*))=ш98Глава(оЛеммапространства,операторК:=конусконуссопряженномА Е{хАХ={жотолибо(ж,*,ж)тогдавлюбомж0ЕслучаеаЬ$тт(0 Ега,(х1,х)КегЛ.ЕжйКегЛ(ж)).+0>значит,тогдаиКЕжТаким0.^аналогуиобра-Следовательно,По=КегЛ,6ж(ж*,ж)чтомножества0 V^Если1,.

.,га,=К*множествах*0гГ*}.6точкаФерматеоремыфункцийвыпуклыхдля0,^ж)(ж,*, ж)тах,сопряженныйу*К*.Етакое,(ж*,тах1,. .—г=1,. .,га,Пустьсопряженногоопределениюпообразом,гТогдасопряженногоК}.{1,. .,га}(ж*,ж)либо0;>простран-X*,Е0}.=А^О,0,=ЕжЕгбанаховы—ж*Ахга,определениюVОсуществуеттах=По^Увидев+ЛУДоказательство.Е X*| (жо,ж)ПустьX,функционалыУ,1,. .,=гпредставимКконусукзадачиконусе).Ь(Х,У),\ (ж,*, ж) ^0,XЕЭкстремальные1.а(.(ж*,ж)тахЖегЛ(ж))|а.=0+схт\{х*0,х\,. .=,ж*}+1тЛ*.+Л*у*пЗначит,существует(А, у*)параК™+1ЕхУ*;=о0,^г0,1,. .=^,га,А;Если1.=Ао0,=Л«ж*^то"прийтикА0^0,тож0Еслипротиворечию.Х/—ж,-+!=1(Хоффмана).ЛеммаАЕК:—Ь(Х,У),{жПустьАХ| (ж*,ж)XЕСконстантаУ,=>Л<У+0=и!=1>=0можно0,=ппА;А;ж,*^чтотакая,^0,г0 такая,УX,функционалыбанаховы—*+ЛАоX*,ЕЛж1,.

.,га,операторг1,. .,га,=0}.=У*—=0.иАдпространства,х\=\конусТогдасуществуетчтоа(н,к,х)^<Доказательство.Положимядрааннуляторе(аннуляторполеммебанаховосюрьективного{ж*,. .,Нп=ж*}1тЛ*ТогдаЬзамкнутостиЛ*.1т+—По(КегЛ)замкнут—замкнутое—Л*1топераторазамкнут).всегдаоЬи,подпространствооблеммезамкнуто—следовательнотемисамымпространство.пЛ!ОбозначимУ*,Ь).Поскольку(А, у*)А\:^А,-ж,*=К™хУ*+Л*у*.^5 Ь,ТогдатополеммеЛ!оператороправомЕЬ(Кпобратномх§ 9. ЭлементыотображенииобщейсуществуютМ:операторЬК™-+У*хСконстантаи>чтотакие,| ж*||еслит.е.ОтсюдаПоследует,(яоК*=<0УНЕо\ у*\\С,<тоС.<{х*К})Е(-{(х*,х)вир=Х*°'> О VК)%"**>1-1|к-||<1\ {х\X*расстоянии)кратчайшемозадачидля{(х*,х)-зК(х*)}\(х*,х)вирлемме=|А,-|вир\х*,Н)(Х,у"),—двойственности|М|<1(посколькуМх*ичто(олемме=1<а(х,К,Х)=НЕЕ},то-К*=| -х*{{я:*,я:)вир=&ир{х*,Н)\=>Ь^К{х*ЕЕX*К*}=конусе)сопряженном\х{I х\)вир1МК1+ЛУ,х\|\х*общейЭлементы§9.Рассмотримгладкуютипаограничениями0 <Здесь/:К™гладкостью.спараметром-+\С,<| р*|полятеориизадачуконечномернуюэкстремальнуюсогра-равенств/(ж)-итшг;задач99полятеорииК,СтандартнымР:К™-+Р(х)Кт.->т!п;^(ж)(Р)=определеннойобладаютзадачиКт/(ж)(Р)0.{,РФункциивозмущениемЪ Е=Ь.называетсясерия(ЩО1001.Глава(оТеоремафункцииполе},Р1тР'(х)гладкости),А(х,у)/(ж)—(у,Р(х)}+регулярности),(условиеКт,Еумножителемсвекторпорядка1экстремумаЛагранжафункцииЛагранжадлячто(Р)задачиПусть(условиесуществуеттакой,условиеравенствами).сдифференцируемынепрерывноКт—необходимоевыполняетсязадачахдваждыЛагранжамножителейзадачиконечномерныхвС2 (К™)ЕЭкстремальные\йс1—стацио-условие—стационарности:Ах(х,у)достаточноеиу)[Н,Ахх(х,Тогдаопределенныез/@)х,выполняетсяУ=Ф(*,у)вФЕ(ж, у)КегФ'(ж,у),ЕОтсюдав{у,Р'(х)}линейнаяИзусловияякобиан0вытекает,йе1Ф'(ж,у)х=A\х)Кту(Ь),которыхх(Ь),=Кт,хдей-{у,Р'(х)),Р(х)).Фотображениечто(х, у)точки},Р.удо-(&,у).точкевфункциинахК™->■+функциивыпол-ЯкобианР'(х) [ж]0=и(у,Р'(Щ+наполучимж,Ахх[х,х]=матрицыфу0.=0.Р'(х).A)0.=жчто{+0.=Таким0.=Поэтому1тпР'(х)регулярностистрок=для=17.К™Покажем,обратнойположительностинезависимость{у, Р'(ж))Значит,0.—укогдатогда,толькоФ:(у,Р'(х)[х])+условиясилуКт),окрестностиравенствоАхх[х,х]х(Ъ),—О@,С({у,Р'(х)},0)=(Ахх[х]товекторноеэтохДействительно:Ахх[х]УмножаяIгладкости0.у) ф+ЕслиНфО,Кт,—►Ъ енекоторойвусловияйе1Ф'(ж,отображенияVлюбогообС1заданногосилуу:(ж),отображениетеоремыгладкостивыполняетсяиидля=условиямУсловиеКегУтогдаЪ(х,у):=(Ах(х,у),Р(х))@,0).(Ах,Р(х))=удовлетворяетЕнуляВведемформулепоК™—►окрестностиЕ 1осттРбДоказательство.действующееТогдаVНуравненийсистемах(Ъ)причемVположительности:условие—окрестностиэтойву(Ь);у;=порядка0>ж:некоторойв=К]функциисуществуютж@)Iэкстремумаусловие0=Следовательно,образом,КтA)равенстваиз=линей-следуетизКегФ'(ж,равенствау)=0.ОтветыПообтеоремепрообразобратнойнекоторойизточекпрообразсуществуетсуществуютжжF),=уокрестностиу(Ь),VнуляФ(жF),г,F))ВР'(х(Ъ))р\\Щ2>Ахх(х(Ь),у(Ь))ОтображениеСледовательно,Рангобразом,НприАхх(х(Ь),у(Ь))[Н,к]ПоэтомуточкевжF).Следовательно,АналогичножF)6.ЛVнекоторойэквивалентна/3 >Отображение0такая,ПоэтомуКегУ(жF)).Еотображением6.от1т^'(жF))значитпостоянен,Р'(жF))Ахх(х,у)[Н,Н]=КетР'(х).ЕнепрерывнымКегЕР'(х)от^||Й| 2=+Ахх(х,у))[НМ-точкилюбоголокальноматрицыТаким-+0.=константаКявляетсянепрерывнойКт.Р(х(Ь))0,=отображением>Vу:ивматрицынепрерывнымЗначит,К™—►определенныеу,существуетДляАхх(х,у)[Н,к]VчислетомО@).Еж:Л*(жF),3,F))«•Значит,являетсяфункции=IЕсуществуетВкоторыхдляположительности.Ахх(х,у)[Н,Н]что0=положительностьслучаестрогойКт),Ьпри3/@)х,=@,6)=конечномерномееж@)О@,Е@,6)6точке@,0).точкивидав=Фотображениядляокрестноститочек1011главыфункциинепрерывныеКт,задачамк>выполняются^\\Щ2 ^\\П\ 2 ^\\Н\ 2.Едоказывается1осгшпРб.■бесконечномерныйидляминимумаусловиядостаточныежF)=-этойварианттео-теоремы.Полеэкстремалей,условийдостаточныхвОтветы1.1.E,2)Е1.2.B,3)(-4,14)# 1осехгг,1.3.1.4.(Е~з>5пцп1остт,~з'=5,^аЬктт,0=5т1пеаЬ5т1п'вглавы15тах-оо,5тах=-52,==5тахбудетусловия+оо.+оо.+оо.=5по-параметравозмущающегокачествекраевые-оо,до-доказательствеисчислении,берутсязадачамкпривариационномТолькоисчислениивариационномдалеестроитсявобразом.жетакимпостроенокотороеэкстремуманаправомконце.1021.Глава1.5.(-,1.6.A,1)61остт,1.7.A,1)61остах,1.8.@,0)0 1осех1г,1.9.-)-1,(±^,±1)1осех1г,^тшB,3)@,ж2)5тах1.12.@,0)61.13.A, -2)1.14.A,1,1)13^Г-уЕ1.17.(-З-л/6,-З-л/6)(^7>^)(-, -)2.3.(~^>-~^)2.4.B,-3),2.5.у-,(--,Ех2(жь0)@,0),@,6),-~)^ 1осех1г,5тах-оо,00)(-оо;F,+оо),и^ ЬсеДг^й=5тах+оо.=+оо.=(ж1,ж2,О)^5,^1осех1г,-оо,==—.8,^5,^5,^==68таке1/4,=8^аЬвпип,5,^=-,5тах\/б,-3^- ~^,^)-\^,(-,4),4е++\/б)0.=-50,=(-3+оо.=5щш5,^аЬишп,-4-2\/б,=—,аЬвтт,е-)8=аЬвтт,аЬвтах,Ю6-.—.еаЬяшп,+ 2\/б.-4=ее8=5,^(-2,3)-,х2=8^5тах^тахЮстах,(±1,0),@,±1)6при(жь0,а:з),аЬвтщ,аЬвтах,2.2.5,^аЬ&шп,б1.16.2.1.<2+О+ОО.-,+оо.=(±^,о),(О,±1)1остах,6•\/2е/6,<0,=1остах,6,-8^аЬвтт,^ 1осех1г,^8^-оо,+оо.==11при@,0)1остах60 <8^=+оо.=@,ж2)+оо.=+оо.=(~,^у2е ~)8тт-оо,=8тах-оо,=-1^,=+оо.=^ 1осех1г,5тах-оо,=1ос1шп,1остт6C,0)@,3),1остах,65,™+ОО.65тах-оо,=^=задачи^ 1осех1г,5щшу2е'/-оо,1.15.@,0)@,0),^тах1осех1г,1.11.5^еаЬвтт,(~,\-\/2е~)1.10.й 1осех1г,Экстремальные=+оо.( -,-4)-аЬвтах,е6аЬзтах,6Ответы21(2.6.=]VI'3/31\и'8'4//-332.8.12.9.(з>з'з))^,)\1остахЬЬтЯхIпри*,1^'^'-^'(-^'^'Л)2.15.2.16.(жьж2,ж3)V1осех1гааЬ8ГП1П6~н=:Х+(а,-пПхЬ\25т1п2.18.Стороныпрямоугольника:2.19.Стороныпараллелепипеда:-у)еаЬапт,приI Е5т1п(*,1\8-аЬ5тах'^6аЬ51ШП'1,•(жьЖ2,0),1/2\NЪJ\-.щ^,п2\/2,2а\аг.площадь7а\2а%2аз—т=,—т=,—=,V3Е*,0)^V3\/3/38объем=Ж!(а, ж) -Ь|7-п(*,х--1)=^|а|-116.=@, 1), (*,0,1A,0,0),@,0,1),х\+х\—12.17.х-ОО.\а\2/=1остт!ж11^„ш,Ьжу,+оо),(ж1,0,жз),Е К3.точкистационарные$(о,=1/\11\/2ЕA,и5тт2.=1611+ОО,=2/36,-1)0)(-оо,Е5тах=•—•=(*,0,1Зщах(^'±^'^)'(-^'±^'-^)2Л4\=5тах1остах,ЕV1ОсеХ1Г181гйааЬвтах,62еаЬзтах,-)-,2=у)у,A,1,1)2\/1лщшеаЬвгшп,@,0,-1)0,=1/+оо.=у5,™1аовшах,(-,Ь^/14/+00.=10715,8™*=212.13.аЬвтт,аЬвтт,1(°,32'еаЬш1ах>6'тах~и98)«(-1,1,1)2.12.1\/14'л/п'11аЬ81229(,3215тахаЬвтах,Е1031главы5аЬвгшп,2.10.3задачамк3\/3у=+Ж2=11043Глава(-±1±±\.(-(±.Экстремальные1.)—?=,—т=>—7=71'Л''Л'.аЬзтш,ег2__1мзадачи1л(-±л^=,=3.2.1осех1гV@,.