Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 12

.,л/п,0)|аЬвтт,68^перестановки@,. .,0)еаЬв1шп,3.3.5^критическиеперестановки@,1)6аЬзтт,5т1п6аЬхтт,8^тп0,те~\=@,*,0),±п~1/4)1,. .,=@,1)их=всевоз-п.5^=1,(иихвсевозмож-п.аЬвтах,65^1//4) (и±т"1,.,.,=@,0,аЬвтах,6(±7Г1/2,. .,±тГ1/2)еаЬвтах,±т~1/'2,. .,±т'1^2)0,=@,. ,координат),точкивсевозможные3.4.@,. .,координат),точкикритическиевсевозможные(*,0,0),(±п/4,. .,0, ±тп~1/А,. .,0,=^5тахе=-1,@,0)6аЬяпах,1осех1г.3.5.@,0)@,0,0)3.6.3.7.@,0,0)баЬ5пип,5^(Т'Т'Т)'11,1ч-^-,(Т'Т'°)'3.11.A6,257,592)3.12.@,1,0)/2--,6174(^-,—,-у]-.критические-точки^тах5^^ 1осех1г,8^аЬктт,8т[в24\6,(-1,6,-3)1остт,=11\5тах=/(°'4'-4)'й'-17,=5тах/-3(в'8'4)0,8тт-оо,5тах5пйп=+оо.-52,5,==@,0,12)-A2,0,0),+ОО.=аЬзтш,6F,0,6),576,=максимум.1=5тахаЬвтах,6на5^0,20)(=@,0,12)@,12,0),F,6,0)@,у,|),задачев5т'п10СтаХ,6@,12,0)0,=6аЬ5т1П'(-2,0,7NаЬвшт,3.10.3.13.точки'б'-б)A2,0,0),F,0,6),0,=@,6,6),8^аЬвтах,6максимум.накритические3.9.5^D,4,4),144,=задачеваЬвтт,65тах(—, -)0,=+оо.+оо.===+оо.-оо>A,0,3)61остах,3Кг(у/6,1,1),3.14.A, \/б,Ответык1), A,1,\/б)5^аЬвпнп,6оз'УVз'зУ5шах=:саЬ5гаах>И/I)- С1'1051главызадачамзЛГV з',12'Г7\{1осех1г.4.1.4.2.а4.3.р>Ь> 0,> 0.1.0,4.4.4.5.Да.4.6.Да.0,^<*22апа220.(-3,0,=Ж[-1,3],0<ж<1,х=1,3,К-1,4.8.^ж<0,[-3,-1],4.7.«12-ж.4.9.4.10.4.11.тах4.12.\у=4.13.\у=4.14.[О, а].4.15.В*4.18.4.19.A,-1)(-1,-1)4.20.а\={х*6е+а]X*| \ х*\\х,аЬхпип,5тш6<5т;паЫтпп,1=Ф-(аьа2)3.=6аЬ5пип'5.1.1}.<=-2.аЬвтт,5т1п=а\+а\;а\+а]>1 =>106Глава}'(х)[Н\5.5.7(&Ш—=3(х,Ь,)\ х\ .№\\+/'5.8./'(*(■5.9./'(*(■;5.10.1'Ш-5.11./'(*(■))[*(')]5.12.5.13.Г/'5.14./'5.15./'5.16./'D(-х(х,Н)-~^тг-\ х\{х,К5.7.=задачи'11*115.4.Экстремальные1.К)хЛ@).5.17.5.18.5.19.5.20.ж{ж{х-0.==(ж1,.

.,ж„)||а:,-|(х1,,. ,х„)\х1=-х2\х}-\■, ,-хпдлянекоторых=0}.гГлава2ЛинейноепрограммированиеВлинейномфункциииравенствКанторовичасамолетовдляраспределенияипроблемах,формализуютсяпеременные,интерпретациюпоЧерезнескольковозникИзэкономикойсзадач,следуетэкономикеиззарубежнойинтересЭтотинтерес1975за(НпеагбылаиданныйОнКупманса.ввелжерго§гатгшп§).Впослед-Нобелевскаяпремиязаимствовано«программирование»данномвзадачампробле-вызванматематиковприсужденаСловогод.литературыбылкомплексом.назватьвсегоКупмансуиподобнымксредиТ.программирование»Канторовичупоин-близкийзадачивоенно-промышленнымипрежде«линейноеВпоследствиигода)пропагандировавшихэкономистов,термин1947математиков.связаннымичислаклассввелзадачэкономическуюдвойственнойрешения(окололетамериканскихупроблемами,содержательнуюалгоритмлиней-приклассаимсимплекс-методу.кдухуимдалописалирассмотренногообщихэкономикифункциилинейнойдляболеевзадачимногиера-фанерылистовресурсовчтоэкстремумеКанторовичдвойственныераскрояпоказано,обзадачикакограничениях.линейныхоптимизацииограниченныхбыловпервыегдеототсчитыватьпринятообгодатипафункциями.линейнымипрограммирования1939экстремумеограниченияхпритакжезадаваемыхобзадачипеременныхлинейногоВ.Л.несколькихнеравенств,Рождениеработыизучаютсяпрограммированиилинейнойозначаетслучаенекакиное,что«планирование».Симплекс-методтакбылжеВКуна,ГурвицаТаккера,этойправилометоду,приводятсядвойственности,проводитсясизвестныеизадачиоирешениямиобоснованиеназначении.Дж.линейноговбылатеорияотметитьследуеткоторыхНеймана.фонзадачлинейногопрограм-формеканоническойВводитсяпримеры.точки.программированиясимплекс-подвойствен-понятиедаетсясимплекс-метода,крайнейзадачтипысредизадачпервоначальнойнахожденияОбщаяД.Данцигом.постановкирассматриваютсярешенияглавепрограммирования,задачиразработанматематиков,коллективомпостроенарядметодовнаиболееРассматриваются—транспортные1082.Глава§1.ПостановкиЗадачейинтерпретациялинейноймаксимумаформеканоническойвпрограммированиянахожденияфункцииназываетсяотпеременныхп(хи..

,хп)=/(ж)удовлетворяющейограничениямиможномы,х^>на—1,СпХп,0,зтобудемПоскольку1,. .,п.=чтосчитаем,0,Ь,- ^формеканоническойправило,как+неравенствумножатьвдальнейшем■■■линейныхтппрограммированиязадачевг1,,. ,=т.векторно-использоватьзапись:матричную(с, ж)Здесьжвектораскалярноезаданнаястоимости,вектор(Р*)0.^неизвестнаязадан-переменная,Ьи(Ьи=с,Ът)..ж,иКт,еА(с, ж):={а|},^1,. .>т=а3столбцамисоматрица==п.функцией,ограничений,целевойназываетсяЪжвекторових/Ь,=-К"епроизведениеразмеровп,К"е=—1,. .,ФункцияАхтах;—*(жь..

,ж„)(си.. ,сп)=с—=+С2Х2неотрицательностисистемыВзаданные+С\Х\=системеуравнениялинейного3Геометрическаязадач.линейногозадачаипрограммированиеСимплекс-метод1.1.жЛинейноевектором—векторсматрицавектором—Аматрицей—условий.Обозначим5ррешенийзадачикоторых(с, х)—(Р),=программированияв(с, ж)ИногдаприведеннымилинейногозадачикнормальнойАт§Рдопустимыхмножествот.е.(Р),задачизначениемножество—жточекеК™,для8Р.линейногоЗадачейчисленное-+Ахгшп;формеобщей^назовемзадачу(Р)Ь.рассматриваютсяпрограммированияприве-форме(с, ж)—»тах;Ах<Ь,ж^0.(Р„)109§ 1.

Симплекс-методКаноническаяформазадачирешения,Двойственныедлясимметричныйрешенийзадачре-используютсяприДвой-двойственности.инормальнойвалгоритмовчастоформенаиболееприобретаютвид.СведениеЗадачиввведениядополнительныхполученныеформыразличныхформразличныхформаходнойесликкоординатх(с, х)IформыАхшах;—*Ь,=томожноеедополнительныхразмеровхт0,^хпопробуйтелинейногозадач1х+матрицаупражненийкачествеформе,хп+т):единичная—Внепустоерешение.конечноевведенияпутемполучен-илипустоеимеютненормальнойвформеВсеА.имеютиливведе-путемдругукматрицыимеютзадачадана(хп+1,. .,=другизменениема)Ь)каноническойвзадачесводятсяодновременно:точек;Например,другуклегкоизадачидопустимыхсвестидругзадачкоординатмножествоЗдесьформахсуществованиязадачиописаниипринормальнойипроблемрассмотренииудобнаболееобщейв0.^хтп,свестисамостоятельнопрограммированиякдругдругиедругу.Упражнения1.Свестизадачуканоническойвформекзадаченормальнойвформе.2.Свестизадачувканонической3.Свестизадачув4.Свестизадачувобщейобщей5.СвестизадачувГеометрическаяК™с|Ь,=ВМногогранникомявляютсягиперплоскостями.функции(еслизадачеввнормальнойвканоническойзадачексуществует)чтоточкаподробнов(Р*)задаче1)(Р*)Линииявляетсяв1)(Рк):=Выпуклым(с, ж)линейнойэкстремумчтодостигаетсяA)(Рь)функционалауровнявидеть,задачуЧерезформе.Нетрудноонформе.форме.форме.форме.общейвточекК^.ПространствеобщейболеедопустимыхМножество0}).^хкзадачекРассмотриммножествоАхзадачеканоническойвобозначатькформепрограммированиябудем(угловой)крайнейточкемногогранника.выпуклогоНапомним,(угловой),ЛчтоЫ{=Имеетвершины.—У<12Л\фО,крайнейназываетсяАг,крайниемногогранников@, 1)I ечислаиточки—крайнихК™вкомпактвыпуклойявляетсяКэтойвьгауклыйтеоремы:компакттопологическом)линейномсвоих0^2ВыпуклыйточеканалогКрейна—Мильмана,йьеследующаякрайнихБесконечномерныйтеоремойAместосвоихлокально-выпукломоболочкой+БмножествавыпуклоготочекМинковского.ТеоремаоболочкойЛсуществуетнееслитаких,'нормальнойинтерпретация.линейного{хформеформеформеточекбылдоказанвКрейном(инормированномвыпуклойявляетсяпространствеиМильманом.ЕгоназываютдажеПОГлаваЧислокрайнихконечного числалинейныхобразом,дляточекзадачиНопрограммированияточки,переходить(с,х).функциимножестваСвое(отрезка,(Р*)В{Рь)симплексовЗадачамножестваПустьж—точка(длякоординатамиможнопредставитьвектор,ж,-вектор.АналогичноБудет0,г1,.

.,т,=вАопределительчтоототличенПравилоДляж„3.2,п.ж„),(хь,=матрицудоказано1.2.жгдехъможноехт)К"~твекторбазисный—хнебазисный—впредставитьА&Тогда,жт.(жь.. ,=,0)@,. .=точкаположительнымисЖ(,.,.матрицаАвиде=(Аь,Ап),тоестьневырожденная,еенуля.симплекс-методупозадачрешенияневырожденнойрешениякрайняязадачепервыми)видевидкоординат.невырожденнойопределенностив>вимеетлюбаяеслиположительныхтровномно-видазадачахд.)т.невырожденной,содержитиз-заполучилиназываетсявозрастанияпростейшихвтреугольникакрайнейнаибольшегокотороекрайняязадачисимплекс-методэлементов,трудоемлинейногоисходнойнаправлениюназваниедопустимыхрешенияповсехточекдовольнонекоторойсоновокрайнихэтихоперация—начинаядругойк(если(с, ж)всех(с, ж)позволяет,Такимфункциисимплекс-методнижеконечно-видепрограммированиянахождениефункцииОписываемыйвконечным.значенияВ.значенийзадаваемогоявляетсяперебратьмножестваперебортрудоемкая.В,неравенств,линейногоирешенияточкахпрограммированиемножествадостаточнокрайнихЛинейноеравенствсуществует),и2.линейногозадачипрограммированияследует:г1.Привести2.Отыскать1,=начальнойкрайнейПостроитьсимплекснуюПояснениякВтаблицеВпервомбазисныес+тп4строкистолбце,жетемииж;Методынижеописанывначальнойдля4+с0,>нахо-§ 4.крайнейточкиж.столбца.третьегоа',.

.,ат,наномерами,жточкианалогичныхчтоистолбецтппо+=2-енахо-место,положительнымсоответствующиекрайнейстолбцеПоследнийпначинаявекторывторомХ)(Р^).таблицы:начальнойВобудуттаблицу,0),,жт,0, ,.(ж()..=элементовточкипостроениюкоординатамждопустимых(Р*).формеканоническойвточкумножестванахождениянаходятсязадачекрайнюю. .,т,3.кзадачу(жьжт,. .,0).0,. .,значенияместахстоятприисследованиис,-вектораса3.столбцызаполняетсясимплекснойтаблицы.ВСЬ..первойсначинаястолбца,четвертогоэлементыстоят,Сп.ВтораяПодстроке,ниминачинаястрока,—разложениястолбца,третьегосэтихвекторовЬ,авекторы—побазисуа',. .,ат.,.

.,ап.Яс-111§ 1. Симплекс-методтно,Ъчтоа' X;^2=АхоТоЬ.=естьразложениемЪвектора1=1являетсявекторПредположим,а1,. .,ат:Xсостоящаях3следующееа*°разложениеА^—ТогдаXотыскиваютсяОчевидно,чтоспригАЬХ,=а1,. .,а™х1,. .,хп.столбцовАовекторовх3А^1а3.=Предпо-х.тразложенийизточкиимеютХХЖ>\?=векторы-столбцынеизвестныематрицы:1,. .,п,=матрица—а1,. .,ат,_/а3{жу}»=1,. .,т=крайнейкоордината3,векторабазисупоненулевыхх^чтобазисупоА^1А,=торазложения,швек-\0а'торова*тривиальны:а*,=тоестьэтомвх3случае1=V(е3вектор-столбецпредпоследней—ВготочкегПодх.В%огп)последнейразностьстрокеДг=запишемг$начинаяД;=г,с*,-а>Ь(хь)а1ХХа'0°<оат(Ч,гхь)г1,.

,==Исследоватьа)Ь)ЕслиДЕслидля+оо;0,тонекоторогоз=крайней{сь,х3},1,. .,—тостолбца,записываетсяпервойэлементамии,п.Спат+1аАа"00хцт+101Хтт+11х1пхцпхт]0{сь,хт+1}0естьт.%1т+1*тХтп{сь,х"){сь,х3°}Ат+1д„А*таблицу.симплексную^запишемСА0Ст(хь)Ст+1104.прис^строкиатС1Д%$четвертогоссбазис=предпоследней■«■с-)0начальнойв1,. .,п,=чтоэлементамимеждустроки:$Очевидно,Д,Ъвекторомподфункционалаа3,сьХ.=столбцевзначение—векторами(ги.. ,=гстрокеТогдае3=базиса).канонического{съ,хъ).=естьобратнойпомощью1,. .=гдекрайняяточка$х^<решение—0и^(хзадачи<0,тозначениееАг§Р*).задачи112с)ПустьДстрокевх3столбцысоответствующиестолбцом.Ь{значимнов<:=а'0несколькихтакуюДалеенеобходимонегох'точкесвозрастет5.извзятькачествевОбо-соответствен-^0ипип=тт^разрешающей0.>достигаетсявыбираемстрокиэлементамразрешающимновуюх'ц,разрешающей.

.,ат,а\. .,приведенопредыдущей.поЬ,а1,. .,ап,таблицы,симплекснойстаройстрокебудеттаблицывекторамиподЬ,а1,. .,ап,(онообоснованиясимплекснойлежащиебазисавекторыилежа-невычисляютсяпрямоугольника:х1.Х1числа-гх,—ХЧЗопроизведениевычестьХцвчтоэлементыразрешающейравнынулюстрокиновойразрешающейэлементоввернутьсякп.Отметим,4чтозадачивновьитакдалее,симплекс-методлинейного(ж^0нагФг0,гвычисляютсятаблицы=1,. .,т).придемпозволяетпрограммирования.кделенияж,0^0:величинутаблицу,симплекснуюне1,=Эле-путемнаЯс-ж,0_,0.х'-^таблицы=0,таблицыисследоватьпокаделенноежу0,симплекснойстаройстрокинеобходимоДалеенах^новойстолбцеразрешаюшемостальныеЭлементыа*0+1,новогодляразложитьбезпостроенияправилу,а'°~1,ал,таблицуфактическиновойтаблицывкрайнейновойнаа1,.