Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 10

ГладкаяIкнулю.7.4.обеЛ(ж)0>а1осттРЕхточка—Доказательство.СР'(х):0>Р1 {х)ВозьмемН20Р(х=ОтсюдаН2]11*111К\Е+Н)Кег^(^).=Р(х)6 ><Ни+Ыото-кX—*=ИЛИиконстантаА(х+А(х)к]+о(\\к\ 2)>(Р(х+Н2.Тогда-К)Р'(х)[Н)=Поло-0).Р'(х)[Ь,х]Р^хЩ-==о(\\к\ 2)+«•+А'(х)[к]=A^ЦЩ2<-е||А|е)||й|+при<е| А1||^Л"(*)[й,ЦАЦV\ к2\\Поэтому0.ССх6\\к\Тейлорак)=УчтоИМ1+К:=6узадаче^Р"(х)[к,+Сх<V=1-\\р"(х)[к,к}\\формулепок)УТейлора0 такое,ССШ2<вН{формулеРЧЩН]+С\\у\<Р'(х)М{Р'(х)[Н))По=-\ Му\\обозначим-константойВновь/DотображенииМ:элементР'(х)[Н]=некоторой=дляи(Р).задачевобратномправом1у,=исуществуетС||^D)[й]|1)=КетР'(х).Л 6отображениедопустимый—\ Р'(х)[к}\\соММ(Р'(х)[Н\):=-Значит,Н+хРЧх^НАоминимумаодлямножителемположительности:Vсуществуютусловияхчто,такие,Положима\\Н\ 2леммеХ^+УслокальногоПоотображениюустре-стационарностьстрогойусловие^инеобходимыхо(у*,Р(х))+выполнятсяА"(х)[Н,Н]Тогдатеоремырегулярность,/(ж)=I2напорядкагладкость,Лагранжанекоторогонеравенстваусловиявыполняются(банаховость,функцииIусловияПусть83равенствамипоследнегочастиДостаточныеТеорема.порядкаIРазделимПолучимI.малыхприустремимсзадача6<=СС,6=и\ к\-е)||й| .<A+к]+о(\\к\ 2)=\ к20.84ГлаваОтсюда,Вобозначая/DК)+/D)-| Л"(^)||,:=^А"[й,=Экстремальные1.имеемйг.Й!+2В\Ы\1достаточно§ 8.X0=Ве2)-множительв+о{\\Н\ 2)круглых61осгшпР.О>скобкаххчтоследует,■равенстваминормированныефункционалыГладкойравенствиК,—*гнормированныхв0,1,.

.,т,=обладаютзадачейэкстремальнойнеравенствОтображе-пространства.X/;:гладкостью.типаограничениямисназываетсяпространствахзадача:следующая8.2./о(ж)->гшп;/,(ж)<0,*=1,. .)т,НеобходимыеусловияI порядка(правилоТеорематочкаминимумабанаховости),замкнутоеТогдасуществуютКт+1иву*дляфункции(условие(ослабленноеУвЛагранжа&У*не—(Р)задачиусловия:а)стационарности:А'D)=0хбанаховы61осттР—пространства8О(х),гладкости),г=0,1,. .,т,—1тР'(х)—регулярности).условиевектородновременноравныеЛагранжа»=0выполняются6—(Р)0.=ПустьУхточкемножителифункционалчтотакие,Р,/,•отображениядифференцируемыподпространствострогозадачевР(х)Лагранжа).(Р), X,множителейлокального(условиеилинейные—У,—»некоторойе)е+задачиУX,Р:есзадачаПостановкаПустьЩ\--неравенствамииОтображение\ы\соотношенияпоследнегоГладкая8.1.еJ-2+■(при0>емалыхИз0).>аравенй2]+-призадачиА(Ао,=нулю,Аь.. ,(А, у*)Ат)6ф0,§8.Гладкаязадачасравенствами85неравенствамии1=0Ь)дополняющейс)неотрицательности:нежесткости:А* > 0,Доказательство.Можно/о(ж)функциюотбросимэтиограничения,< 0и (ж)ограниченияможносчитать,А)исобственного(у*,у)0 VОстаетсяу1т*1'(ж)ЕоА,положить0,=гТакимобразом,выполнены.1тР'(х)Тогдалеммеесть0 V=существуетНЭтоX6чтоозначает,(*"(*))*»*о0.=утверждениюкприходими,т,за-нетривиально-оУ*.С0,1,.

.=0.=подпространстваAтР'(ж))(у*,Р'(хЩ)у*функционал=тот,огра-ужеПо6<гэкстремумаУ.У.замкнутогорассмотрим<1приА;фподпространствоаннулятораненулевой0иначенежесткости\тР'(х)случай.фполагаемдополняющейусловия0,=локальногодлянесущественнысобственноенетривиальности/,(ж)Еслипосколькучто/о (ж)что/о(ж).-Вырожденныйзамкнутое0,1,. .,т.=считать,/0(ж)=гтеоремы.В)отображаетXпространствоАкОчевидно,Аочто1гПоотеореме| .Р(ж)>0)(еАхСАоСАт.=О}.=| г(*)||чтокоторогоЗначит,=0^&^тУ(ж)[й]ЛD0I >малых+<й+г(*))0}.=Аофт.е.(/,'(ж),/1)КетР'(х)=гТ%М,отображениесуществуетТогда0.0,<=суще-0,1,.

.,т.Мгдег:[—е,=е]{ж6X—*оA),(Ь))=0Приото-множество.пустоепространствекасательномР(х)такое,для.Р'(ж)операторт.е.дляпротивное,Кег.Р'(ж),ЕУ,Положимк,к+1,. .,т,..—==ПредположимКвекторXС(основная).Доказательство.существуетУ.всена{П\{!\{х),К)<0,=Лемма1тР'(ж)случай.НевырожденныйA)У*б[-е,е].неравенстваимеем=/<(*)+<</!(*),Л)+о(*)<0,г=0,1,. .,т.A4)86ГлаваA)СоотношенияI0>тому,С)верен1оспшгР.ЕхчтоЛеммаекакпоЕслиАтАтАт=»•фоблемме0,=V—неотрицательныегкиС)<т:вытекает,АкТаку*=У*,ЕЛ(ж)либодляАос=(//D),й)<0,гЛагранжапринципB)ф0.Ак+10,=соотношенияк+=B),Кто0—чтот],является(из-за\кАк+Х).1,=А&4_1,.

.А,-/,-($)нежесткости(Р)условиеПо~А(к)—,Ат,к0,г■(Р)задачетеоременайдутсяк +теоремуэтойзадачинеотри-Выполняютсячто=Ь>0маломдлятакие,=1,. .,условият,ифункциидлят^2 \^}1(х),к)вточке0,Ак+Х,приСлейтераэтой<B).сПрименимчтонепустотычислаТогда0.противоречиивневерно.(/.'(ж),7/)<,0,принадлежащий=(?)0.=леммыэлемент,—Р'(х)[%]1,. .,тп,Акэтом,приутверждение{!'к(х),г])4Пусть0.Р1(х)[Н)к+1,. .,т,=чтодоказательства.учтязадачи=*(Кег^'(ж))Лагранжачтовыполненыпринадлежит~Лагранжа0 <=Завершениедополняющей(Кег^'(ж)).6функцииэлемент<0,Куна—Таккера,выполнено0),^'(^[т/]тп,^0=0.Предположим,т] +Е)В)либотакойнайдется1,. .,*"(Щ-Щзадачи:Доказательство.(//(а),00,=существовалосуществуетзначит,и,=пп.Если3./^(ж)0}=■к,5(/^),Л)->пшг;элемент(/*)задачи1.=изЛеммак+дляоператорастационарностиАтследующейт.е.противоречитбы0,<регулярного1т(Р'(х))*Е(Атрешением—этомприР'{х)\Щеслит.е.ядра(*"(*))3г0)то</;(*),-Л)топротиворечие),—образом,ХУ)множество,{кЕХ\{^(х),Н)<0,(действительно,0,=0+обоснованТогдаКетР'(х)условиеТакимужеЕ{'т(х)/^D)—НоI >малыхмалыхпри(Р).задачеприпустое=аннуляторетоПолучилиАт_1АтР'(х)[Н]0,>которого•0<естьЕслик0 V—1т(Р'(х))*,•г(г))+чтоозначают,в■2.{^(х),Н)(/;(*),й>-Ь,1,.

.,т,=допустимый1к+Доказательство.к:гзадачиЛагранжа.принципто+(?о(хAо)неравенствоA,),г{1)и1Н+хэлементЭкстремальные1.к=0выполнен§принцип8.Гладкаязадачаравенствамис87неравенствамииминимума:Л(Л)шшЛ(Л)=0=Л(Л)<=»^2 А<(/<(*)>=Л)Л(Л)^=т4),О>О=КегУ(я).К ЕVтИзпоследнегоЛлюбогодляКсоотношенияКегУ(а):ЕворечитКег^'(^)6Л(Л)минимума),облемме(^(х))*,1тЭтоиИзЗамечание.(т.е.&еслианалогомг(К^'())(ж),ЛЛагранжаАг■&■феслиУ=дляэтоусловиеможемследовательно,и,(х)КетР'(х),Е(назовем0Р11теслиНэлементАо ф 0точтоследует,существуети1,. .,пг,—-Поскольку■ж)Слейтера),условияАо=0,<проти--.операторатеоремырегулярносуществовалоА(Н)=(Кег^(ж))6функциидоказательствав0<О=которогодлястационарности=0.АА_!(/'(&),Л)которогоЕУ*,у*=..Л;/,'($)^е.регулярногоядраусловие=Л(-Л)•=*существуетестьАоположитьт.аннуляторетоКетР'(х),Ебыеслитпринципупо-КтоX) А,-(//(А),Л)=(действительно,0,>А(Н)чтовытекает,полагать1.ПриведемзадачеещеоднодоказательствотипаограничениямиспространствахКакДоказательство.общности,невырожденныйосновнойи0,случай:Лагранжанеравенстванализа.Будем0,1,.

.,т.1т^'(ж)=У.ограничиваянеслучае,=гвнормированныхввыпуклогопредыдущемв/;($)=чтосчитаем,иэлементовиспользованиемсмножителейправиларавенстврассматриватьРассмотримзадачубезограничений<р(Н):=6А(-)где—(Ь,0 ЕаЬзтшфункцияиндикаторнаяКВекторЛемма.=(//(ж),Л)тахг—0,1,. .,т<р).=0доставляет+6КегР'(х)(к)->абсолютный•А.множествавыпуклоготт,минимумфункции(р88ГлаваДоказательство.Предположим,существуетоНвектор)0,<гкасательномР(х)О}.[-е,г:| г(*)||о{1).=о(\\ШТаким(Р),сНВектор0функциид(р{К).Ефункцийдд<р{-)1топератора).ТакимЗначит,существуету*функционал8.3.(Р),1тР'(х)У/{,—г=Фреше=УхЕ(условие/т(^)}•,+л»//(^)(У*А;1,~(Р'(&))+=регулярного1т^,Х{чток}Vядра-^0-точкалокальногоминимумаРVКЕфункци-дифференциру-(условиехТогдаН]^0вбанаховости),дважды—К,0,■порядкаточкиу*)[Н,бКетР'(Щк)-аннуляторе•субдиф-6КегВ*(&)(Н)(условиеА,фун-определению<окрестностиАхх(х,<р,следовательно,| (Н*,Н)отображениерегулярности).тахфункциивыпуклоймаксимуматакой,I—иПолучаем(&)(■).\ (Л*,Л><пространства0,1,.

.,т,внекоторойдЖегУ+{Н*ЕХ*^1оспплРбанаховы/о(^)-минимумаПоКт+1ЕусловияПустьX,элементом=субдифференпиал{/о(^),•сопукоторыхдлят.значит,облеммеАНеобходимыеТеорема.поУ*,Е{й*(повектор+0,1,. .,=выпуклойдля•)=0 Еобразом,е\,г(*))+г0<,/т(^)}-0€Ке4Р'<:8)Е(№)&субдифференциалсубдифференциалов,{/о(^),•■•X}(Р'(х))НV(КетР'(х))дифференцируемыШх),тахдбКетР'(х)@)—г(Ь))+—[-е,I Едопустимымминимум.сопуфункциифункционалыд==6КетР'(х)@)задачетеореме{х■оболочке(/,'(ж),-)тахЬНтеореме\ Р(х)существует(>0,ФермаМоро—Рокафелларасубдифференциалов,суммевыпуклойравенференпиалаи/о(&/,•(*)является+Дубовицкого—Милютинатеоремефункцийг(Ь)+по0 V=+малыхпритеоремыравен0 Е0<=абсолютныйаналогуПопог@)+=вектораг(Ь))+0 «■<тоМгдеЬН+1осгшпР.0 доставляет=Шо{1)ЕхчтоТХМ,Р(хчтоШ+этомтем,следовательно,суммыП{х+хпринотакое,+векторпротиворечиеКетР'(х)У,=касательногоX—*Ь(/'4(х),Н)=образом,задачее]Поэтомуг(Ь)\\)+1тР'(х)определениюпо(/,'B),Л)тах»'=01т=противного.Следовательно,0.<которогоПосколькуЬ, Еотпроведем5аЬ8тшТогдадля0,.

.,т.=ТогдаотображениеПолеммыКег^(ж),Езадачи(р.пространстве=вДоказательство^ аЬзппп0чтоЭкстремальные1.гладкости),зада-§ 8. ГладкаяА(х,\у*)гдеЕ={к:=XЕравенствами89неравенствамии+(/?(*),|допустимыхконуссЪ№)1=0К—задачай)0,<вариаций,г0,1,. .=?{&)[Н],т,0}=аVГ*х0;=(=0=О,А,- ^ 0,1,. .,т;г=г0,1,. .,т,=1=0МножествоСа)-с)условиявыполненыкоторыхдляЛатранжамножителейправиларавенствамисзадачдлятнеравенствамии(А,у*),наборовсовокупность—У] А,и1.=1=0ДоказательствооснованоНепустотастерника.условияхтипаЛеммаА6АХIэкстремумаограничениями=У,У)х\илинейныйЕX*Пусть—8(а,положиму):=У(о<г1,. .=жнеобходимыхсогра-пространства,пространствонаУ,чтотакие,,п,(*)КегЛ;6(х*,ж))+банаховыX—изV^0тахтшX,наАх+у=01—\,. .,пх:теоремеопространствах.оператор(х*,х)тахг=1,. .,пX,Лю-изадаченормированныхвнепрерывныйфункционалытеоремыэкстремальнойгладкойнеравенствминимаксе).(о—минимаксеизследуетвпорядкаолеммеСравенств1Ь(Х,намножествадлявектороваЕК™,ЕК™уЕТогдаа)8(а,величина8(а,у)гдезС(а,у)у)=зС(а,у):=представление(тах^функцияопорная—двойственноеимеет^А,а,-п=0,А,-^0,г=ЕА,-1,.