Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 9
Текст из файла (страница 9)
.,ксоотношенияС|И*)||,<длятреугольниканеравенству| С|Пустьх||-1).^что^ЦхЦВыведем^+1<-&+Р'(х),МР(&)=0,1,. .,кD)откуда(вычтем0.получимУЩЬ+1-Ь]+У{Щмр(Ы}=о<==>р'{&)[ь+1-ь}+р(Ь)=о,соотношения-.чтоотсюда,операторравенства6СЦ^х)!!+изР(&)выражениеD))-Р(&_1)+Р'{&)(&-6-1)равноенулювсилу74Глава0I^211&^*—111~116+1-611=*Отсюдав116+111^||6-1116+16~-6.1166-1~116 -6-111++образом,следует,чтовсехдлямы| ^„||элементовС)Из|16+т611~116+т116+т<6»+т-1~{6)п^оТ-е-в116*Н-Иб+ш-1^^1161162116=+^2"+т~2+•••—2")+<-«5выполняется22"6+1+•116+1>0■—•6-2-116-1++6-211-п-*оо+6•••+••&,ит=+•+66-116-611п-+оо,«II-<116+онаПоскольку-х.611^<значит,и,(р(х)611~~припоследовательность6-111-/2•-••2«5ОбозначимX.6-1+6-1-E)+1 \банаховостисилуиндукциипооткуда+-6+т-2||фундаментальная—сходится+гс6+т-2~12"+"»-)<Н61Кнеравенство6+т-1++\611чтоследует,6+Ш-111-E)^„.E)=•■1,.
.,*.=++^><я^Ои6~6б| 6+1||любого6+•г•получаем116 -6111\последовательностинеравенства•+•■•чтополучили,6 идя<•^6~,•норм+1Таким^<для+6-2II-^№11треугольника=116+1<12~*11неравенствасилузадачи(аналогачно)^^116<Экстремальные1.*\\-^«-ТО|Мх)||(положилипо|хи0,=и,^\ х\8О(х),62||6^Кр(х)||+Рхх||-определениюОтображениеокрестности|6Шп=значит,-7С)=РпоэтомучтоР^^\ х\1Си\ <р(х)\\+х||2С\\Р(х)\\+внепрерывнонепрерывно<внекоторойхточке<р(х)+поэтомур{х+<р(х))=Шпп—>оо-Р(б)=~ит-р''(^)F+1-6)=б.о==окрестШпп-*оо^„§ПустьегоXЭлементы5.линейное—нормированноек €Элементподмножество.(полукасательным)касательным>0а)Ь)*Л+х+г(*)еМУоA)| г({)||-ВекторННивекторы—НИнымивх.кмножествуг:[-е,е]а)Ь)=Т&М,Вовектором0>евекторовотображениеиX,точкевТ%М.Т±Ммножествокасательнымназываетсяобозна-жвекторовЕсликонусы.онотоМккасательных—являетсяпространствомх.случаях,можетМккасательнымсуществуютеслиеслих,0.-+Т^Мточкевтеориибытьдляточкеввектораминазываетсяодностороннихвмногихвекторов*ивинтересX€касательныхподпространствомМесли*е[-е,е];еМУприТ±МмножествуМкасательнымиМ,€хмножествочтоX,чточтовсехОчевидно,X,такие,множествукНточкевМножествообозначается[0, е\—+касатель-Ехточкев+0.-»элементг(г)о@+| г(*)||Модностороннимитакие,1Н+хЬявляютсяX,множествунекоторое—[0, е];1<Еприодностороннимкасательнымсловами,М-+кназываетсяг:называетсяМпространство,отображениеи75анализаМвекторомесуществуюткфункциональноготомприследствиятакогопомощивек-касательныхмножествозадач,найденозначительныйпредставляющихичислеэкстремальныхизтеоремыЛюстерника.(оТеоремапространства,Ммножествопространстве).ЗБ(&),касательномР:X{ж=2,-*| Р(х)XеРеХ,2банаховы—Р'(&)операторТогдаР(х)}.=ТйМПустьэпиморфизм,—КетР'(х).=Доказательство.А)>е[-е,0иДокажем,отображениеР(х)ОтсюдаТ4МСВ)гР'(х)[Н]КегР'(х).г(^)=оA)+чтоу;(ж+<Л),«А+При0.-+г(<))+0и,=ПустьX,-*IприР(х=Докажем,ПоложиммалыхIР(х)=(рТ4М.тогдаШ+х=Пустьотображение,—ТхМ,€гA)+ЬР'(х)\Н]+Р'(х)[Н]Сгдечтозначит,КегУ(ж)Нтакие,НКе.т.еVI €оA).+0,существуют€ МеКег^'(ж)КегУ(ж).=»ПолотеоремевпостроенноеТогдаЛюстерника.Р(хоA)=Кег-Р"(х).е]С\-е,г:| г(<)||е],Т$Мчто+1Н+г@)й=Р(х+1Н+<р(х+Щ)=Р(х)<=>х+Ш+гA)еМ,76ГлаваЕ(х)-Щ\\К\\Р(хК\\1Р'(А)[К]<=е.г.НеТ±МТакимР'(х)Кег=»5.5.Ш)+-о(<)||+К\\о(Щ=01=СТ$Мобразом,задачи1=+Экстремальные1.КетР'(х).~ЗадачиНайтиВФрешепроизводные5.1-5.6:задачахЯ/:Я-+К,5.3./:Я5.6./:Я\{0}-»Я,5.7./:К2/(ж)К,-»—+гильбертово| ж|-1(х)К2,пространство.(ж,ж)./(ж)=5.2.отображений.следующих—У^)".==~.ы/(ж(,Ж2)=(ж1Ж2,ж2ж2,),+ж=A,2).15.8./:С([0,1])-+К,/(ж(-))хгA)й1.I=о1/5.9./:С([0,1])-,К,/(ж(-))=\о15.10./:С([0,1])-+К,/(ж(-))=( [х2A)>о5.11./:С([0,1])-»К,5.13./:1])-»С([0,5.14./:5.15./:С([0,С([0,С([0,1])-+К,1])->К,5.16./:С([0,1])5.17./:С([0,1])-+К,/(*(•))1]),/(ж(-))/(ж(-))->К,-/(ж(-))/(сж@)./(ж(-))====ж(-)жA).яшж@).5шж@)со5жA).жA)а:@)D(<)>0 V0 <<<1).§6.ВГладкая5.18-5.20задачахуказатьдифференцируемы5.18.Пх)5.19./(ж)5.20./(ж)ВК—+вое.т.задачейлинейногоотображение—наX),пространственазывается6.2.НеобходимыеТеоремаПустьифункционал1(аналогобэкстремумовотысканииНПосилупо(имеетфункционалимеетЛ)вариацию1осех1г^Лагранжу)по<р(Х)доказанногоследует,определениядифференцируемостичтоэле-Аи).тому,0 VН€поиэта/(ж+у'д(О)эквивалентно=ЛагранжупофиксированныйПосколькуфункцииэкстремум/ дифференцируемвариацию=переменнойэтоЬ)X).енооднойЯ/(ж,Клокальный—функцийЛагранжуV0=произвольный,функциюНпроизвольностионуже€длявариацииЕслиточке0тоФермасилу(й/(х,0=Возьмемтеоремеопределению/функционалаэкстремумаФрешепопространствах).нормированныхвлокальногоРассмотримX.€1осех1г/,€Ферматочка—Тогдах.Доказательство.вглад-ГладкойI порядкатеоремы1осех1г// дифференцируем€хточкеэлементизнекоторойех1г.-+условия/'(ж)Вобладающеезадача/(ж)хпрообычнослучаеэтомдифференцируемости.свойствамиограничений(вчиселфункционала:этоговусловиянормированногодействительныхмножествоопределеннымибездостаточныеипространствах.нормированныхвфункционалговоримгладкостью,диф-незадачиX/:пространстваК-+ограниченийнеобходимыедаютсяПостановкаXбеззадачапараграфефункционаловэтомэкстремумаПустьК™/:ЕИ1-Гладкая6.1.функциигдеточки,|ж,-|.шах=§ 6.77ограниченийФреше.по=беззадача}'(х)[Н]вариацияпоФрешев=6/(х,Фреше.•)точкетож,й/(ж,Н).=опре-Н)й/(ж,чтоX.<р.По0.=в0.—этойПоскольку0,тои/'(ж)=0■786.3.Необходимыеточке€-О2 (х)если&/экстремума:условия/'(*)/"(а)[л,о,=ДостаточныеН)Докажем/(*)=теоремупрималыхмимА0,=}(х)-А.к+^/"(*)[Л,Л]/(^+обеА]/D—г(АА)+г(АЛ)достаточнопри/'(ж)тоА.=± /"(*)[А,А,малыхтак(г(АА)0о(|А|2))=А2наустре-иНеХ.тоТейлораформулеповсилуимеем:А] +г(А)^г(Н)как—1оспйп/.|ЦАЦ2 +г(А)о(||/1| 2).^ОСледовательно,■(*)Условие{отрицательности)называетсявторойОтметим,вматрицывтак.стационарной/.пространствахконечномерныхусловиеАматрицыА(и,точке).{отрица-положительностифункционаласимметричнойположительностьминимумаФрешепроизводнойчтострогойусловиемположительной определенностинетеоремемалыхотсюда0,=Л] ^ «ЦАЦ21{х)->Vкак/"D)[Л,Н)подостаточнонеравенства0,►АТак+аналогичен.во-первых0 при^последнегочастиПосколькуусловия=максимума1осшп/,А/1)-/(^)у/"(*)[А,=Достаточность.г(/1)то/"D)[А,А]>0заданногох.еТейлораРазделимнулю.кк+г(Л),Случай€хформулыА/1)+V/.минимума.во-вторыхсилув/(*[А]случаядляо)0=тоТейлораПоскольку/'B)ФермаПоэтомуэтодифференцируем1остгп(тах)/,€/'(ж)1остш(тах)формуле/'(*)+Необходимость.€порядкадважды[а, а] <если€хтоПо+(/"(*)о>экстремума:0,>анекотором}{хл]условияДоказательство.жIусловияфункционалПустьзадачих.Необходимыей/7кЭкстремальныедостаточныеи2.Теоремав1.Главаявляетсязначит,Вбесконечномерныхположитель-гарантируетстрогуюдостаточнымусловиемпространствах§1.ПримерВ6.Гладкаябеззадачабесконечномерныхположительной определенности79ограниченийотображенияположитель-условиепространствахстрогойгарантируетнеположительно-отображения.положительностиД00Второйдифференциалследовательно,и,с/неможетнапоследовательности/нидляконстанты{ж™}векторовнулетге„,=1,2,.
.=I^1базисныйвектор2.Примерпервойпроизводной}"{х)\кп,Ъ.п]12),пространстваВбесконечномерныхпроизводнойнулюпространствахгарантируютнепА0=второй1ГШ1.Действительно,стационарной.являетсяравенстваотображения.экстремума-+Точкаа||/1„||2.определенностилокального-^-4х1кп=*./'@)0.=дооВторойVдифференциалк0Фноследовательно,темсВположительным./отображенияи,вместелегконазадачеточкахпоследовательностинавекторовбазисный/1-йприп>При71-+вектор1,+00.асамапространствапоследовательность=/(ж™)^)>•!у>—+^—п>О>ип=1положи-строго0—{ж™}—|^2=определенным,являетсяне1осгшп/,BркуЛ]положительновидетьминимум/"@)[Л,нулевявляетсякакН71-й—условиеположительнойи^——Vпоскольку(е„1|21Острогоа||Л| 2>0,>афвместеявляетсяне/"(х)[Л,Л]неравенствокакоййНоопределенным.вVО>ип=1отображениявыполняться2^]—=положительнодифференциалДействительно,положительным./"(О)[Л,Л]нулеявляетсявторойтемвп—,—посколь-~—7171"=0в(е„1,2,.
.4пространстве^^—80§ 7.Гладкая7.1.ПостановкаПустьХ,УX/:К-+ЭкстремальныезадачаслинейныеравенствамиОтметим,Р(х)(Р)0.=какбесконечномерныхвконечное,бесконечноеитакравенств.7.2.Необходимыелокального(условиеэкстремумафункционалв(Ао, у*)выполняетсяусловиеФ 0,К€Р'(х)):(/(*):=применимДействительно,Подпространствонеравныесущеодно-(Р)задачиЛагранжа=Р(х)),/D),-отображениеТодноизпространствомА)замкнутоеТогда€Я1-КхГ.8Б(х)Т'{х)Фрешепроизводнаяи—Х->КхУ.ВозможновсемУ*€строго——отображениеОпределимТ(х)(/'(х),Р'(х)ЗБ(х)стационарности:Доказательство.чтофункциидлячтоЛ'(х)Очевидно,регулярности).у*функционали—пространствае1тусловиеАо1осехсгР€хбанаховыРгладкости),такие,и—отображениеи(условиеЛагранжанулю,одновременно(ослабленноеУв/хточкемножителисуществуютзадачевПустьЛагранжа).(Р), Х,Умножителейбанаховости),дифференцируемыподпространствоI порядкаусловия(правилоТеорематочкасозадача:равенствасебевглад-равенствтипаследующаятипасодержатьопределеннойограничениямисех1г;-+отображениечтоможетобладаютназывается/(ж)пространствахУ-*задачейпространствахФункционалпространства.нормированныеР:Xотображениеэкстремальнойинормированныхчислозадачизадачи—Гладкойгладкостью.в1.ГлаваВырожденныйлеммудвух:К1тТ\х)фобраза.замкнутости1тР'(х)подпространство/'(КетР'(х))Р\х)неилисовпадаетсовпадаетУ.случай:о1тобразхтакжезамкнуто.КхУсловияУ.К^'(х)отображениюлеммывыполняются.позамкнуто(МножествоПод-условию./'(КегР'(х))§ 7.
Гладкаяявляетсяподпространством0 иподпространства:подпространствоКсКхУ,хПоУ.лемме(Ао,?*)этоВ)<А0/'(х),А)Аочислотакие,и0=0КVV0==Т'1т(х)'(е,0)VК€X.Ачто,X€X€(е,0)=х\\-Н^М)=следует,вблизиего/чточтотем,Тогдазадачевх(е),нако-меньшиеиТаким1осех1гР.есамымтемитакие,0,=такхневозможен,0е.большиекакс>векторызначенияслучайКдоставляетдопустимыепротиворечиенекоторойК\е\.=нехобратномX^(я:(е))ЛГ||(е>0)||<—+модулюе,=векторсуществуютпринимаетПолучилиневырожденный«||-по/D)-Ухконстантаималого/(я:(е))<=^обтеоремеКС@,0))=ПоУУдостаточнодляУ.Кх—Т~х:((а,у)(а,у)функционалобразом,со-подпространствоодновременно(у*, Р'(х)[Н])+соотношений/(ж).неоносуществуютнулюотображениеТ=ибочемкакзамкнутое*■'(*)[*]))случай:\ х(е)которыхТакУ.хслучаезамкнутостиостационарности.Т{х(е))экстремума,Клемме((Ао,2/*),^'(х)[/1])<=Ф((/'(*),А),х(е)этихПовравные((Ао,/),существуютЖточкиПоложимИзОНевырожденныйокрестностиК.)вподпро-двалюбомвЗначит,условиеотображенииЗначит,аннуляторане=естьиТ'{х)всегоимеютсязамкнутособственное—У*,6((\0,у*),1тГ\х))АТ'(х)1тAт^D))\€Квнетривиальностиоу*Нозамкнутые.онизамкнуто1ттофункционалиоба{'(КетР'(х))совпадаетвИ81равенствамисК.вК.подпространствообразазадачатеорема■доказана.Замечание.ЕслиотображенияРследовательно,Действительно,гранжастационарностиПолучиливусловияхвточкех,ввид:противоречие.0,=ноль{у*,Р'(х)[Н])не=равнымегоАоеслиодновременноприобретает1т^'(ж)считатьможемвыполненотеоремыт.е.тоу* ф0Ао0 VК€X(у*,к,Ла-множителиусловие&ф 0,1.=чтотого,Поэтому~Аомножительтосилувобращаются.регулярностиусловиеУ,единице:У)=стационар0 «•у*=0.821.ЭкстремальныеусловияIГлава7.3.НеобходимыеТеорема.Пусть(Р),задачеX,/функционал(/,РЛагранжасусловия(условиеУ—Лагранжарегулярно-у*функционалАоЛагранжамножителемфункциФрешепроизводные—зада-вбанаховости),вторыех1тР'(х)множительА(х)минимума(условиеточкевгладкости),функциивыполняютсялокальноготонка—имеют(условиедляпорядкапространствасуществуетчтоРРО2{х))регулярности).
Тогда1оашпЕхбанаховы—отображениеиЕтакой,УзадачиУ*Ета-(Р)1 задачи=/(х)+(у*,Р(х))=стационарности:А!(х)(0=/'B)&V(*"(*))+0)-A)неотрицательности:и]^0Доказательство.5.3.3п.Напомним,второйсуществованиеПоэтомуусловиевытекаетзамечанияикДокажемтеоремепоТогда{хсуществуют+1Н+хг(Ь))хкак=+г(Ь)Е1осттР,/D)<(добавим-Цх0V0I6формулепоШе][-е;1Н\ г(Щи/($)—г{1))+(у*,Р(хг{1)))Нь+1{х+=А(х1Н++Ш++1Н+гТаким(у*,Р(х-1Н+(у*,Р(х+-I1Р(&определению+1Н+образом,[~е;по—значит,и,чтоI Епри^2ОтсюдаТАМ0.Мгдетакие,—*Тог-Т&М,Поэтому+(г))I(Р)г(<)).т{1))гA))))X—*призадаче+Тейлора=е]61=равен-КетР'(х).Е=Н[—е;о{1)в/(^^НСледовательно,элемент+вычтем+пункт).г:допустимыйи+О}.сзадачиКег-Р'(^)отображениеитои{у*,Р(х>—Лфункциие~АоЛагранжагладкойВозьмемпространствеР(х)-точке.дляпредыдущийкасательномогарантируетмножителемснеотрицательности.| Р(х)Xе(см.этойвточкев2СледствиюкФрешеЛагранжанемуусловиеB)ЗамечаниюпоA)стационарностимножителейправилаизравенствами1НчтопроизводнойотображениядифференцируемостьстрогуюНЕКетР'(х).Vе]и,так§ 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
