Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

,хп)=}{х\,.4.14./(жь.. ,а:„)4.15./:4.16.Доказать,Ё\х}\.тахтах=X/(ж)К,—+ж,-.тах{0,(о)а:)}=(а| х|=любаячто53анализа\х,\.У=1,. ,п.,хп)4.13.функционального(XК").Епространство).нормированное—функция,выпуклаявсейнаконечнаяпрямой,непрерывна.Доказать,4.17.чтоРешить4.18./(хих2)4.19./(хих2)4.20./(хих2)4.21./(хих2)выпуклыеЭтиАчислах+(ху +=у)+2,+хСуществуетI I.афх)(аа(х=р)х++ар(х).=у)-хусловиям:—х,ах+рх.ах+ау.ассоциативность.чтох0+=хVжЕХ.элементом.нулевымхх.=—0 такой,через1-хг)+элементаобозначаемый1°.2°.1°.2°.(у+хназываетсялюбогоДляопределенэлементнаследующимэлемент0Акоммутативность.—=у,однозначнохчислаудовлетворятьу+хэлементаиэлементопределеноднозначнообозначаемыйиКЕXЕпроизведениемЭлементI.линейнымназываетсях,у,г,.

.х,удолжны4°.пространствасуммойихназываемыйХх.Г.2°.3°.0).>анализаэлементовэлементовоперацииI.(аеслиназываемыйэлемент,обозначаемый-+тт.тт-+банаховыXлюбогодля1|-агJ-пространствлюбыхX,(х2++х2пространством,длятт.-+-а.1Jимножество(векторным)тшп.функциональногоОпределениеНепустое-х2-2\-+хт)=5.1.1.из3\х1+=Нормированныефункции,константы.от4.18-4.21:задачиЭлементыотличнойих\- ХхХч +х\-х\+х\+4тах{а;1,х\+х\+2у/(х{х\ + х\ +2а\х\5.1.Ь)прямой=§ 5.а)всейнаограниченнойвыпуклойсуществуетнеопределеннойэлемент,существуеттакой,чтох+(—х)=0.иобо-54ГлаваЛинейноеЭкстремальные1.Xпространство|функционалопределен|:•задачинормойназываемыйК,-+еслинормированным,называетсяXXнаудовлетворя-иудовлетворяющий условиям:V х€Хп\\х\\ х\ ^0| аг|||а|-|И|Цая+аг2||<| ая11а)Ь)с)ЛинейноеЧхих2еХ.пространством.задананорма\ х\ 2именноX,наназываютсямыС{С^иВсякоетакие,пространствеобразомнормы\ х\ 1Xнаположительныестановится| #1=еслиметрическим,Х2\\.—Вметрическомпростран-открытыхпонятиявводятсяПоследовательность{жп}г^=1точекфундаментальной,еслиеслилюбогодлязамкнутыхи0>еона^есуществуетМетрическоепространствоПолноей(жп,,г„,)чтотакое,<ет.е.всехдлячтоконечномерноевсякоенормированноеБесконечномерноебытьпростран-пространством.банаховым.обязанометрическоерасстояниявведенногобанаховымОтметим,являетсяфунда-любаяеслиполным,сходится.относительноназываетсяпространствопространствонормированноебанаховым.5.1.2.ПроизведениеПустьXпространствУипроизведениеXпространство,введяЛегкона-Коши,критериюназываетсяпоследовательностьфундаментальнаяпространствопространстваметрическогоудовлетворяетДГс.>пип2линейные—хУнормированныеможноДекартовопространства.превратитьвлинейноенормированноенормучтопроверить,Отметимвсеаксиомывыполняются.нормыбанаховыхпроизведениедекартовоутверждение:очевидноебанахово.пространств5.1.3.1.(хи..Дведлясходимость.называетсянеподчеркнуть,С^хЬ.<пространствоестественныммножеств,\ х\ г^й(х\,Х2)расстояниеввестиназыватьчтонормированноенембудемчтобысуществуютеслиСх\\х\ хвиногдаИногда,\ х\ х-пишемэквивалентными,константыX;€хпространствонормированнымчтои| а:2|+0;=VК,еанормированноекраткости0&х=V=ПримерыКонечномерное,хп)сбанаховыхпространствпространствоК",нормой.7=1состоящееизвекторовх=§Этунормуэтой2.XвекторовКонечномерное(Х1,.=..,Х„)евклидовымпространство1р,1 ^рвводимое^состоящееоо,извекто-=,тах{|а;1|,.

.,|а;„|},Отметим,расстояние,арасстоянием.НОРМОЙС11*11».нормой,называютнормы,55анализаевклидовойназываютиногдапомощьюсфункциональногоЭлементы5.чторпространствеконечномерномвоо.=эквива-нормывсеэквивалентны.3.Бесконечномерноепоследовательностей2^х<х„соо,1г,пространство{хп}™=1=(иногдапишем,хсостоящеепоследователь-из,х„,. .)),(хь..=длякоторыхнормойп=1\ х\ и4.^]С([го,Пространствофункцийх(-)Обобщением^]):=^],К)С([^о,нанепрерывныхотрезкенормойж(-):1ГК",-+заданныхК")С(К,пространствоявляетсяпространстваэтоговектор-функцийнепрерывныхсс=наК,компактенормойГсД5.С1^,наотрезкеОбобщениемгзаданныхраз^]):=[2о> ^1] функцийПространстводифференцируемыхпространстваэтогонаКкомпакте=тахс*1],К)х(-)снепрерывнодифферен-пространствоСГ(К,нормойявляетсях(-):вектор-функцийдифференцируемыхнепрерывно^'([^0,нормой{\\х(-)\\С{к),\ х(-)\\с{к),•••,Н*(гКК-+К",)56Глава5.1.4.Сопряженноеоператорлинейныхвсехпространствебанаховым(х*,х)означаетПустьXобозначимПустьУ*Ле-+X*ДляЬ(Х,У).такой,пространствТогдаможно(А*у*,х)=(у*,Ах)функционалаАфункционал/5.2.Для(Xефункцийвещественныходногооднозначно—A)НасимптотическогоразложенияфункцийподходовразличныхA)ЛагранжуПустьдалееКакпространства.отображениевэтомвопределяетсяXпространствапространство2) Но(есливполнеB)2не—понятиямкведетлинейныенормированныеиначе),оговоренонекоторойиливариации/:XокрестностиУ-+хточки—ЕX'.содержателенвУ,этоОпре-направлению,ОпределениеX,пунктеуже(гладкости).подифференцируемости.строгойправилоУНонесколькосуществуетпеременныхГато.иB)дифференцируемостипроизводнойиОо(Л)производнойпонятиямФреше—+дифференцируемости.числапонятиюккведетпроизводнойбольшегоиНприпонятиюжетомуидвухОпределениепоодномукприводятдвапеременногопредела'дляпредставляетсявещественногоконечногосуществование—возможностьУ)*хпроизводныхл-.оипро-произведениинаГ.ёОпределенияопределенияоператорочевиднаяследующаяВсякийеГ,У.вУгЕХвидегдех*XсопряженныйопределитьУ)Ь(Х,изоператоровнепрерывныхнепрерывногоместоЛемма.х.Черезчтолинейногоимеетэлементнапространства.линейныхпространствоА*:внормированные—пространство.нормых*функционаладействиена(х*,х),тах■=XкотносительнопространствомУифункционаловнепрерывныхсопряженноеобразуетX\ х*\\х>гдезадачипространство,X*СовокупностьнормированномОноявляетсяЭкстремальные1.этомпример,случаематрицейXкогдаразмераК™,=пхт.У=К™.Элементиз1(Х,V)§5.5.2.1.ПроизводнаяБудемпофункциональногоЭлементыпонаправлениюотображениечтоговорить,к,направлениюберетсяименно5.2.2.отображениеотображение/квариацияповимеет6/(х,—+имеет-к)к)называютвточкеточкево(|А|)=быть5.2,4./'(ж):гдепроизводнойX| г(А)||унапра-говорят,тоПричтоото-этомТакимобразом,е—»•У=Фреше.У—+/чтоназываетсяилинеендифференцируемопроизводнойГато}'с{&)./ дифференцируемокимеетместо(см.Пример4,не-поГаторазложение0.-дифференцируемоеэтойвГатопоточкедифференцируемымназываютО(х),и■)Xточкевп.ж,5.2.8).Фреше//Апри■):говорят,тоеслиПроизводнаяпишутX,еЛагранжу.Лагранжу.6/(х,обозначаетсянепрерывнымОтображениеикАотображение,чтообязанопоотображениефиксированногочтолюбогодляОтметим,невариацией6/(х,операторА иаточкеследует,то| г(М)||угдепоЬ(Х,У)),еж,/ж,вариациюЛагранжупо(<5/(ж,■)котображенияОтсюдав6/(х,к)всемпоVА—>0вариациипоГотопото,1ктооператорнепрерывеннаЛагранжуПроизводнаяЕслиуказываетздесьпроизводнуюж=:хточке)5.2.3.индексевточкев-<5+/(ж,=/ПлюсЛагранжупо6+/(х,к)ипроизводнуюхсправа.отображениенаправлениямточкев/(ж)-Л).пределВариацияЕслиАЛ)+<5+/(ж,обозначаетсякоторыйимеетсправапределНхчто/существуетесли57анализаотображениео(||А| х)г:/(*+А)ЭторазложениеXУ—»•| А| х-+можнотакие,0.Фрешевнепрерывныйхточкеоператорчто/'(*)[*]+=/(А)+приполинейныйсуществуютесли(*)г(А)./'(ж)Операторкраткозаписатьназываетсятак:58Главао(к)понимая|!Л|прикакИзше,(*)разложениянепрерывнаэтойввпоточкеразличаются:следует,дифференцируемости,Гато.УжеОтметим,различны.Еслиа/отображениякотором—►ВоимногихчтоЖ)выполненоИзО{х),ЕФрешеото-операторсуществует0>е/<5найдется0,>принеравенствоФрешепроизводнаяК2ко=(Л)прилишьЛ1одно-определеналинейныхдлянепрерывныхА2.=конечномерноговточкекеслилюбогодляусилениюследующемуточке./ дифференцируемодифференцируемымстрогоанализаполучениядлянедостаточнопобуждаетЭтоотображениебесконечномерногоиФрешее0>найдется-ж||пишут0,<5, \ х2<ж.этом<5 >такое\ х1точкев(прижточкенеравенствамудовлетворяющихФрешеповчтодля-х\\<неравенствоопределениявточке,Нижепроизводная—возможноЦ/^ОФрешелюбогочтоЛ1Лвхг,опера-потак:выполняетсяследует,Лгпишемто<5результата.иэтилинейногоотображение/ е С1 A7).Iмножествадля<по51>(ж)),еФрешеформулируетсятакой,задачахназываетсявсехсущество-дифференцируемостьсодержательного/ееслучае)дифференцируемостихдифференцируемостиОно5.2.8).п.следуетАналогичнодвумерномвпроизводнаяопределениеточкеСтрогаядифференцируемостиПустьневытекает(уженепрерывно,равенствоЛ]5.2.5./'(х)(*)ибооператоровопределениюоткрытогох| Л|разложенияоднозначно,поГато4,раз-понятиядваэтипооператором.любогодляИзхвЬ(Х,У)есамиме-<5языке/'(ж)(см.сновачтоточкеотображениеНаскаждойвИЛагранжу.посовпадаетоператораГатопоФре-подифференцируематакжеслучаеФрешеповариациипонятияафункцииПримеро(||А| )/'(ж)=отображениядифференцируемаяфункция,двумерномв| о(Л)||которогозначениечтоточкедифференцируемостьиздифференцируемостидляобозначенодифференцируемостиизсуществованиеV,/'(ж)[Л]Черезк.элементеназадачипространстваэлемент0.—*Экстремальные1.Гато)дифференцируемо-/(х2)вчтопоказано,отображениянепрерывнавэтой}\х)[хуточке.еслих2\\ у-функция,некоторойчтоследует,непрерывнабудет-^этойпроизводнаяточке,-х2\\х.дифференцируемаястрогоокрестностиве\\х!тоФрешеотображениепоФре-точки.(дажепроизвод-будетстрого6,§5.2.6.Элементы5.ЧастныеПустьУ,/:2/'х(х,у)илиточке5.2.7.ПроизводныеДадимтеперьотображение/:■высшихX—►отображениеПосколькуопределеноЬ(Х,У).пространством,производная/'(х)—►Ь(Х,У)Фреше.каждойвXпространствавопростопространствовпростран-второйсуществованииоото-X,ЕнормированнымявляетсятакжеЕслихточкепроизводной/Н\вектораX,тощаобразом,аргументу)отображение/"(ж):пространстве,вокрестностиКонтрпримерыПриведем/:х,К-К,неопределенывсемнадифференцируемостьНепрерывнаякакомуотображе-точек.показывающих,действительнопоЕслитоотображенияконтрпримеров,дифференцируемое™1.аргумен-каждому156.]с.рассматриваемыхнанесколькони[АТФ,чтовекторпорядков.точкевсчитать,повысшихпроизводныедифференцируемоМожноВозьмем}"{х)[Н\ [Н2\^У'.=(линейноеУ.-»•производных).дваждыаПримерпроизводнойXхЬ{Х,У).е/"'(х)\к\,Нт\билинейноеXсмешанныхЗамечание.понятияотображениеопределяютсяТеорема(о/ Е В1 (х)/"(х)^]операторопределеноАналогично5.2.8.XееЦх,цх,У)).(/')'(*)=определеноТакимотображениеобозначаетсяипроизводнойвторой/"(*)еназывается(ж,#)частнаядифференцируемоставитьотображенияДляЬ.1/(х,у)—►норядковхможнотоотохпроизводнаяточкевопределяетсяахопределениеУотображениеегото/АналогичноРассмотримпространства.ЕслиУ.хФреше,похXеотображенияхпо—Хп(ж, у)2,-+впроизводнойнормированные—хУXчастной59анализапроизводныеX,отображениедифференцируемофункциональногочтофункцияимеетневфиксированнойточкенаправлению:/(аг)=<Г(Лвведенныеразличны.х8Ш-,х'хф О,2=0,х=0.60ГлаваНапрямойКконстантудваимеютсяумножениядоЛ;1=К^и=Всуществует.Л2)поиПримерпроизводнуюпоЛагранжу:2.поКакиЬ^НепрерывнаяфункциявсемПределыобоимне/(ж)К,-♦прямойнасуществуетвфиксированной-АА-»+0пределтакжеК4имеютсяточностьюдо^направления:направлениямвариацииточке0.=спро-точкеэтойв\х\,умноженияI=Лги—1.=существуют:|ЛА,|Шп=А-.+0Нонеимеет=дваконстантупоимеетноК1положительную/81П-1.=направлениям,примеревфункциичетностисилунаправлению1ШП=АА-»+0/:наАап{ДЩА-.+0необоимпопределыпредел=6+ /(х,положительнуюнаОднако1.—Действительно,существуют.незадачиточностьюснаправления:направлениямЭкстремальные1.4=0Цт=——АА-»+0—|А|1.=АА-*+0пределА-+0неотображениеСледовательно,существует.Отметим,чтоеслихФ 0,Отображение3.ПримерЛагранжу,/неимеетхточкевО=Лагранжу.повариацииАА-+0и-онепрерывновимеетвэтойк)<5/(ж,тонеащпж=фиксированнойноточке,/'(х)[к]=к.вариациюточкевимеет■этойЛа-попроизводнойточкеГато.Определим(гсокг<р,$т<р)поотображениеформуле:/:К2->К,1=Вычислимвариацию0.произвольноеВозьмем.„„/DА—Ополярныхв/(ж)покоординатах=Лагранжу#3у>,гсо8хданногокнаправление+АЛ)-/D)=.=4=0ита-*о(гса&а,=(а;ьа;2)=0.=отображениявг^та).А^совЗа=АТогдаIсовЗа.точкеПокажем,чтопооператором(со$0,8т0)§5.ЭлементывариацияН.Действительно,{1=аA,1)=6{(х,к)невозьмем0)ик2=Н\Гсо8-,8т-)=Г\/2сов-,\/7ъ\п-Л.=линейнымявляетсявекторадва@,1)=61анализаЛагранжупо1,Ь-1 +Н2Тогдафункционального{IA,0)=1,=а6}(х,НхОднако=тг/2).=Н2)+=1ПримерГато,Отображение4.неноимеетК2/:/этойв/(ж)К,->имеетфиксированнойФреше:впроизводнойточке=Ж2|х—О,востальныхО>д.производнуюточке@,0).=случаях,0Рис.Поскольку,Н,функциятопоФреше,/не5.строгоК->—0.однойввфиксированнойвэтойж/(Аи)Нтточке0=Алюбогодля0.С другойфункция,дифференцируемаядифференцируемое™.стороны,=Фреше,производнуюточкеточке:ж,О,рационально,хО=иррационально,(!)дифференцируемапеременнойФрешепоразрывыфункциях.адифференцируемаимеетдифференцируемаяокрестности■{К,онафункциястороны,строгонепрерывнаимеет/с(^)@,0),—8А-,0ихточкефункцияЗначит=АбытьФункциядифференцируема/B)-существуетвдолжнаАи)+А-0разрывнаВыписаннаях/(жНт='Гато/:точкей)производнаяПримерноРис.7вдолжналюбойвокрестностибытьнепрерывнаэтойвСточке.точ-другойнуля,авнекоторойстро-62Глава5.3.НекоторыеПриведем<р:<рточкеу,суперпозицииХ,У,2аи(дифференцируемоТогда,еслиГато,хточкев(р(х)"ф=о2-*имеетхточкесвойством,жеX<р:суперпозиция—"ф дифференцируемоотображениедифференцируемотемпространства,нормированные/у,=(рвепообладаетлинейные—2,-*"ф.отображениеотображенийвоПусть"ф: УУ,-*дляиспользуемыхчастозадач.ТеоремаТеорема.наиболеетеорем,экстремальныхXисчисленияпространствахнесколько5.3.1.задачидифференциальноготеоремынормированныхврешенияЭкстремальные1.чтопоФреше),иотображениеФрешепоЛагранжуповариациюотображението<р,/этомприисоответственноА)«5/(ж,в)1№)С)/'D)/))К)Н)\у'(у)=^(*)оX.(«.отображенияточках■фуих,ЗБ(у)ЕтовА)Доказательство.Лагранжу(р Еисоответственно,дифференцируемострогопоУНЕ'Ф'(у)°<р'с(я)-=Еслив^'(у)[бф,=точке/8О{х)ЕтакжеЪ).ВычислимЛагранжу.поЯ/(ж,дифференцируемыстрогох.Вариацияотображения8О(х)отображениеПовариациюопределениюА-»0(По{)Н)+Швытекает,="ф(у)^'(у)^]+'Ш1ип=(ИзФрешепроизводнойопределению"ф{учто1/>(у)[у(хопределения]АД)+<р(х+Хк)-)<р(х=Лагранжу<р(х)+ШпА^ОХН),уввиде{)==——-А■<рточкево(Х).)о(Х6<р(х,+вытекает,уразложениеотображенияХ6<р(х,к)=А-.0Ь, к)]+точкевэто-повариациичто■фотображенияПерепишемо(Н).+к)А+о(Х))_х5.§чтоЭлементыформулудоказываетифункциональноговариациидля63анализаЛагранжупосуперпозицииотображений.В)ПроизводнаяГатопов^е(ж)[/1]«/(*,*)отображениеС)1ротображениелюбыхдля\х--ф'(у)=Производная\у6\,<-<неравенствуШтакиеВ(х),Е<ра0,чтоото-Фрешепонеравенствизнеравенства-1>'(У)[У~чтопроизводнаяи<е,| аУ)\\2<е2||»~нормдлях}\\у--чтоследует,х\\х,A)у\\у.B)уэлементадля=(р(х)неравенство\ у-у\\\ ф)-<р(Щ^\\<р'(Щх-х}\\+е1\\х-х\\^=\ <р'{&)\\<\ х-х\\\х■элементовунеравенствуе1\\х+х\\-<(\\<р'(х)\\*——,6{<р{х)=их-значит,и,х\\<A)—C).неравенства<р(*)]\-ке2Щх)-у{Щ)=е2(\\<р'(х)\\(е2\\<р'(х)\\++\ 4>'(у)\\+ех)\\хе2е1-+х\\е,|№'@)||)| *■+\ ф)<р(х)-№($)Ы\*-"-х\\<*Не\\х<р'($)[х=-х\\.<Тогданорм)для-х]C)62\ х-х\\при<р(х)])-треугольникаЕ1)\\х+>,справедливы^'(у)[^(ж)добавимих\\-6:=тт<<(вычтем(по-отображениеоператорозначает,хдифференцируемости>6иб2<р'{А)[х-треугольникавыполняетсяалянайдутсяЙ2, следуютЭтоточкевоператорА)п.Ь(Х,2).ГатокакГатопо6Такдифференцируемо<рдоказанномуужеопределения<р(х)-\Шприиз0,\ ф)ПоФреше.у\\по<р'в(х).то>Тогдапопо1)(у),Ее\,е<1х\\оотображениепроизводной1>'(у)ШЩЪ})=дифференцируемоЕслиопределениюЬ(Х,У).Е//е(ж)Гатопох,$'(у)[6ц>(х,Н))=пото6<р(х,к)=Гато.поточке664ГлаваЭтоиозначает,выполнялось#2 выбираетсяI)) Строгаяа\тсоотношенияэлементову\\0,62,D)найдутсяг~$ШУ1у^=D)неравенствупо(р(х^^Е1\\хгУ2)\\2^е2||р,треугольникачтодляу1ж||—=х\—x^,-х2\\х,D)-У2\\у.E)нормх2х,=4]|имеемнормF)+е1)\\х1-х2\\.такжее,| ^^для(\\<р'(х)\\-х\\,следует,г1,2.=что,6\иХ{неравенствасправедливы>.Следовательно,(поинеравенствудобавимэлементовдляприD)—G).Тогда(вычтемчтоследует,неравенства<й:=тт<(р(х{)неравенствиз-для^треугольникавыполняются| аг»6\ЗВ(х),Е<р,приПо<р(х^=<р'{х)[Х1Отсюдае1)е2этимдифференцируе0,>х2]\ г~неравенствупочтобынеравенстваследуют<р'(&)[щ-соотношениивПое.<р'(х).отак,A)-C).61,62такие1,2,■=-х2}\\+е1\\х1-х2\\Полагая<отображениестрогойкакопределениюпо~^Ы~у<<ф2)-ЫУх)Из>-\ <р(х{)длятоЕ\,Ег6и<Так8О(у),6любыхх\\-0соотношенияместодифференцируемость."фдля\ х{Е^ф'(у)\\+-ф'(у)=>61,62е2е\имели/'B)иподберем+чтобытак,О(&)60>6.отображениемостиее2||^'B)||неравенство> 0,6и62найдемилюбогодлязадачи/отображениечтоДействительно,Экстремальные].^>'треугольникадлянорм)\г=| ж;-1,2,G)§ 5.

Характеристики

Список файлов книги