Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 4
Текст из файла (страница 4)
КонечномерныеФункцияНеобходимоеЛЛагранжаАдЕслиэтаТакимнеобразом,ДомноживX.х)Х{х,0,=точкаАтоточкиАхзадачинаЗадачасзадачинаминимумТогдаполучим,х,А.(Ах,х)собственный—Хх.=матрицычтодажезначению,А,матрицывекторзначению.(Ш-Нозадачасамогоиобщую(хх\(Х\)СО2-2/Ж9Х2(+ФункцияэтучерезАполлониязадачуобразом:следующим+)(х2бJ-ехгг;-*(а!-1=0эквивалентнаярассматриваетсяпроходящиеонэтоммножителей.неопределенных~книгеточкиПриРешимзаписываетсях2)/о(а;ьвнекоторойотрезка.всеэллипсу.э.)н.доизопределяякзадачавекпроведениикороткогозадачу,Лагранжаметода>обзадача>а20)квадратаэкстремумеЛагранжаНеобходимоелокальногоусловиеэкстремумастационар-условие—стационарности:А.,.ЕслиАоХ\==А0(а;<=0^0,=х2=векторсобственномуАполлониемперпендикулярныеФормализованноТогда0,=Ахвекторасобственномудлинногоболееотрезки,(здесьрасстояния).нах1.—собственный—решаетсясамогопомощьюХхнаименьшемуученымсечения»решаетАо=собственные—максимумДревнегреческимточкустационарностиАполлония«Коническиеэллипсу0.=условияиз=наибольшему2.5.1).-Полагаемстационарныерешениех)Хх+допустимой.матрицыкТогдасоотношениесоответствующийХ0Ах<=>0.фявляетсяХ({х,экстремума:0=29равенствамис+локальногоЗначит,решениеА,соответствующий—х)Х0{Ах,=условиеЛ'нозадачигладкиеАто0,ноф 0,этаточка&)-некактакне+лежитЦА=множителивсенаэллипсе.0,*=1,2.Лагранжанули.301.ГлаваЭкстремальныезадачи2*ПолагаемАозначенияx^уравнениевАчислостационарныхлежитвнеЭллипсПоДлясуществует.А,-,получить/офункционала.иззамкнутоеслучайх,очевидныйфакт{,которыхможноизбылХ(г=пропорционананормали«разделяющей»отОчевидно,чторазделениеэтоA),соотношениютеизточек,которыхдля2„2а\Обозначимнайти,а\что+А+=X=-А^а-гJ^-А^пх)'тогда,ИзB)соотношенияизуравнений,двухпоследнихможновычитаяа\ а?———-=———.+ FаJ/3(ЬJ/3-изпервоговначалеразделяющейвторое,вуравнениекривой:найдем,A)Ачтоа\+Х,а\+=\,азатеми1,2,Выведемкривой,нормали.х—лежитнормали,двеудовлетворяющихХ^,=Аполлонием.уравнениечетыреА,дляХ{{установленпровестиA),значений—т.е.х,точкевпервыеможнокоторыхпровестипроисходит/1&О -ФФ>=4.точкиэтиполученныхвекторвсоотношенийнамиполученныхточкиХ{смысл:функцииЭтотА^имаксимумиподставитьиз+геометрическийвектору-градиентуэллипсу.&—3уравнениерешитьх(\$,точкамножество.минимумнадоторисункахкомпактное)наибольшееи1,>-\—^—^наточкифункциина(т.е.соответствующиенаименьшее=задачи,КаждомуГрафикизображенизадачистационраностиимеюткичетырех,четырех.х.<р@)ЕслирешениянайтиУсловияпропорционален3.решениеполногонайтиирис.Этотэллипса.Вейерштрассатеоремевнаболееточкастепени.болеененезадачистационарнаяограниченное—этичетвертойуравнениеуравненияточекизображенсхематическиПодставляя1,2.=получаемкорнейсвояг,А+алгебраическоеэтоА соответствуеткорню'а\действительныхчислозначит,ж,-=эллипса,ОтносительноПоэтому'Тогда1.=А,Подставляяполучаемуравнение2/3'=АЛко-§ 2.
Конечномерныегладкиесзадачи31равенствами-0,1Рис.4Рис.!\2(а\-.Этоэллипсу,к(зачерезвнутриисключением{.кспересеченияПустьхимеютсягде—точканаэллипсенадвеастроиде5).(рис.эллипсомточкакаждаячетыре,—касательнаячтоееточкеастроидынеевершин,Докажем,вВнеастроиды.уравнениенормалитакая,5астроиде—(рис.4)).нормалиперпендикулярнаОбозначимчтонор-двеимеетсамойвекторкнаточкух—{перпендику-эллипсуастроидетри32ляренкчтоДляэллипсу.хвекторПоп?2X(С2а2J/1/(а1=а/(^1Г'—га|+АагJ~)•а2+А /\а2{Возьмема%X,+выраженныечерезАF«2J/3Скалярноех-произведение%ип=_Аравновекторовх\+х\2.2.еЖ1а:22.3.Ж12.4.-+ех!г;+х2—»•ж+ХАи(&а*J'3)А+нулю,а^а\ж^+12ж!Ж22.5.Жл+а;22.6.а?!+2^22.7.ж2+х\2.8.2ж22.9.#12.10.х\х22.11.Ж1Ж2Ж3++Жзх\+6x2-ж2++х2хз—+-+ех1г;ех!г;х2+х-*,ж2+х\++Х2+х3х\Зж3--+х3ех1г;ех1г;—>ех1г;+Жлх\ех(;г;х\+х\+х\х\++Ж1-+-+4ж2ех1г;-+ех1г;—*■Зж3+6х1-2х\+а?!х2х2-1.—ж21.=1,х^+х2+а;з=0,=1,х\=-ж2х325.=+=2,а;2+ж3==1,Ж1+х2+ж3-+х\2.х^=-.5а;!х\=Хвектораследовательно,5ж2++{—0=ж^жех1;г;+пвекторт.е.Зж1-+ех1г;о».,Задачи2.1.А+Fа1)перпендикулярны.2.6.с$1,-»\а1векторовХ+I=пропорциональныйвектор(8а2J/3,+(^а'астроидепроизведениеа^значениякявляетсяс{—{.точкевх„скалярноеа|+А(подставимзначит,Fа1J/3=астроидекНормалью•</(&,&))Сг+и,,Аа{точкевфункцииградиенту—=Л&з\п„2_М_=АС,I—Х{показать,достаточноутверждениянормаливышеЛ6«2задачидоказательстваперпендикулярендоказанному-=а2+%—Экстремальные1.Глава0.=1.=ип:,§ 3.
Конечномерные2.12.х\2.13.Х\&22.14.ххх\х\2.15.гладкиех\+х\+ЖзНайти—>ехгг;XI-^х2-—»•ех!г;х\-ЬЖ,расстояниеК",расстояние2.18.Найтимаксимальнуюх2х2св(а,х),=К",€а,а;на(а, х)гиперплоскости«1+вЬ,—Аполлониядлягиперболы.па-х2-4а\+-|а\1.=совписанного|задачуК".Ь €а,параллелепипедакоординат,параболы.6,сторонами,эллипспрямоугольногозадачу+х21'=а1=совписанногодлявэллип-—____\БИБЛИОТЕКАзадачигладкиенеравенствамиинеобходимыедаютсяиконечномернойгладкойхпрямоугольникаАполлониявпрямойдоосямх2условиядостаточныесзадачетипаограниченияминеравенств.3.1.ПостановкаПусть/<:задачиК"—>■К,г0,1,. .=К"пространствотипаограничениями,т,иравенствфункции—Считаем,конечномернойК.вГладкойгладкостью.называетсянеравенството-переменных,п/;функцииэкстремальнойвсечтообладаютзадачейзадачаследующаяК":/о(а;)-»•}ЛХ)Вгдезадачах,задачарассматриваемаямыдоК"€жточкикоординат,параграфеэтомотображающиеопределеннойК"€жравенствамиэкстремумаи/(х)1.Конечномерныеравенств1.=_параллельными4 4сВ4J-33неравенствами-объем+С0ВД§3.~2точкимаксимальныйсторонами,Решить,площадьосямНайти2.21.(а;3+функцииотраллельнымиРешитьЗJ-и=ЬЖз=отНайти2.20.-равенствами6€К.2.17.2.19.(х2+Ь23(х, х)шарееслинейнойминимумНайтиах\ех1г;-+единичном2.16.задачибудемрассматривать/,-(ж)пнл;=имеются0,I=Л1минимумзадачиилина+г1,.минимум.1,.
.,=.типаограниченияна0,^,т,\г)П1.важно,неравенств,Длямаксимум.|ВИКЛИПТЯЧСрас-определенности134Глава3.2.Необходимые3.2.1.ПринципиЭкстремальныезадачиэкстремумаусловиядостаточныеЛагранжаСформулируемнеобходимоеконечномернойзадачеI порядкаэкстремумаусловиесравенствтипаограничениямигладкойвнеравенстви—Лагранжа.принципТеорема.задаче1.(Р),Пусть/;,гточкиокрестностиЛагранжафункцииАЛагранжаа)Р=. .,тЛ(а;)(/*)Ат)Кт+1,€]С-^/<(а;)=Авектордлячтовыполняютсяусловия:стационарности:Ь)с)дополняющей1=0А;/;(ж)нежесткости:А;неотрицательности:ДоказательствоТочки,этойОтметим,чтоограничениялюбоеиз0,^одниите3.2.2.^двумянеравенствами,0■»0<такойприиравенствписать,ненера-заменивнеравенствамидвумятипаограничениязаменеЛагранжавобеихIпорядказадачахдаетх/;,€гтипаР1остш=0,. .,т,точкилинейно—точкаравенствнезависимыхигладкойвдифференциру-непрерывно(условие(условиевнеравенств.минимумалокальногодваждыокрестности—порядкаминимумаусловиеограничениямисПустьIэкстремумаусловиенеобходимое{'т(х)/(х)^принципНеобходимоефункциинекоторойтипабыбыломожноэкстре-Ао ^ 0.максимумназадачениже.локальноготочки.задаче(Р),см.случаеограничениямичтокритическиеСформулируемвс0=Докажите,Теорема.общем0.-/(х)жет'.условиямравенств/(х)равенствконечномернойзадаче(Р)типа,т';1=1,.
.0,0,1,. .,болеевВзадачевУпражнение.равенстваг=—■необходимымкритическими.неравенств/(х)0,^теоремыудовлетворяющиеназываютсяэкстремума,^),. .,окрест-1=0°Х>дифференцируемывненулевойф О, такой,существуетзада-вминимумадифференцируемынепрерывноТогдагладкости).(Ао, А^задачилокальноготочка—0,1,.
.,т,=(условиехмножителей1оспнп€хфункцииагладкости),регулярности).векторыза-§ 3. КонечномерныеТогдатакой,гладкиевыполняютсяЛагранжафункцииусловияа)равенствамиАIэкстремума(Ао,Аь..=(Р)задачи35неравенствамииЛагранжамножительсуществуетдлячтосзадачи,Ат)Кт+1епорядка:стационарности:ахзЬ)дополняющей,-=онежесткости:А,Л(ж)с)<=1,. .,т';0,=неотрицательности:А;^0,*0,1,. .,т';=2/21Ггдет'{Л:=1,.
.,т}+К"€чтоА,этойПустьврегулярности),существуетвыполняютсячтоусловияг=линейноэкстремумапорядка:порядкаА=(Р)(Ао,. .,гладкойвнеравенств.идваждынезависимызадачиIконусевIравенств0,. .,т,АЛагранжатого,соответственнопорядкаточкиЛагранжафункциииминимуматипа—множительдляIокрестности,}'т{х)}'т,+1{х),. .исключением0.экстремума/<,Необходимоеминимума.Ат)Аь..
,^функции=а)-с).заограниченияминекоторойгсовокупность—условияусловие(-1,=Са0,=ниже.условиес<//(А),А>аналогично,достаточноезадачеТеорема.дифференцируемытакой,см.условиеСформулируемконечномернойвекторыкоторых(/о(ж),/г)Достаточное,т',0,1,. .=К,евариаций,формулируетсяАкVвыполненытеоремыЛагранжавариаций3.2.3.гнеобходимоемаксимумадопустимыхдля0^допустимыхЛагранжамножитель0,<конусДоказательствоМысформулировалиусловие(//(*),Л)|—множителейк)(ж, А)Л,тахдиф-непрерывно(условие(условиеАт)гладкости),регулярно€Кт+1сАо=136!.Главаа)стационарности:Ь)дополняющейЭкстремальныезадачинежесткости:Л,/<(с)неотрицательности:(Лм(ж,тахснекоторойг=положительнойт',0,1,. .,вариаций,СавыполненыДоказательствоДостаточное3.3.ДляПравилоит'=+а)-с)АосРт}локальногодляА,вминимума[ГТ,см.теоремыкоторыхЛагранжа(Р).задаче124].с.формулируетсямножительзааналогично,А(— 1, Ал,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
