Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи) (1050545), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Элементыфункционального<Р(Х2)\\~Ы'(Ш+\ <Р(Х1)■х2\\-Этоеи0>означает,местоеье1\\$'(§)\\+е2е\/отображениечтоподберем0 так,ег>е.По<этимТеоремаполностьюх2\\-8Б(х).61любогодляе2||у'(#)||0,>+чтобытак,имели6.62 выбираетсяих2\\.-неравенство61}62<=Действительно,найдемПое||а:,<Х2]\~х2\\-выполнялосьеье2<Р'(*)[Х1-\ 1>\у)Ы\^+6чтобыD)-G).соотношения<Р(Х2)-е,|№'@)||)| аг,+е2е,65анализа■доказана.Замечание.ТеореманесуперпозицииопроизводнойдляместаимеетГато.Доказательство.(х\,х2),Ау(х)0,==Пусть$К2(р:К2,-+(р(х)Функциядифференцируема<рв$ (см.точкеФрешепо(проверьте!),Пример4,5.2.8).п.поГатоточкевНнаправлениям5.3.2.ФормулаСдругой1(х+Н)где!{х)=| г(Л)||с.Фрешепо=в+о(||А|Г)=дажеиДдажестрогоГатопофункциястороны,случаях,остальныхввимеет"ф,и<рнеидифференцируеманеэтойпроизводныхточке(-1,1)).=■Тейлора[АТФ,Теорема.дифференцируемо(иA,1)ххточке1р дифференцируемаотображенийсуперпозициейявляющаясяслучаях.вфункция0)поостальныхв,дифференцируема(^1(ж1,ж2—0,=159.]ПустьГ{х)[Н]\1"{х)[Н,+приА2-»/отображениеТогдаА.точке0.местоимеетЩ+.
.+6Бп(х)празрядразложениев-/п! п\х)[к,. .,к)дифференТейлора+г(А),66Глава5.3.3.ТеоремаХорошоозначенииТеорема[а,Ь](а,ЕсчтоилиЕслиЛагранжа.дифференцируемаиЬ)1./(ж),-(/:длярA)=@, 1),сДля(а,6си(Л(япО,=япсчтоа0]-4)для/(ж)ж),яп/I/'(с)(Ь=-а),верна.не(шж,-созж).8.ЕТогдаВтоже@,0)фвремяслучайправило,слабомоб{х==виде€Xоутверждениехсреднем»,хотя,=априращения».г(Ь-а),+а=|форму-сама+<FраспространяетсяПопространств.конечногооценке\хXе{хне|/'(с)Н*-а|.8ир«теорема«теоремойобращаются.не■используетсянормированныхназваниенольместа.имеетсе(а,Ь)произвольных[а,Ь](а. 6)внеоценкаболееэтомв=2тг(со8с,8шс)./какнее2тг)соз-одновременнофункцииизчтоОтрезокИнтервалдоказа-Лагранжа=(8Ш 2тг,-=санализе,в0)какогодлявытекающаяПокажем,3)а)-теоремаК2,Лж,/(а)|<назватьа))(Ь-сводиммыш—>севсоз-/'(е)[2тгни(*)формулаОтметим,быа)),в(Ь+смы-вЬ).К/:линейномупространство,1{Ь—+функций=/@)-со8Значит,сохраняет}{авекторнозначныхПустьчисловыхпонимается/'(а-дляскаконоотрезкетонкаипеременной:а)(со8ж,апа;)[Л]любогоужеЪ),насуществуетнормированное:=у\в)=в(Ъ-+а=2.=нанепрерывнатопроизвольномулинейное—<рA)р@)-Доказательство.(*),К—*справедливойоднойФформулаXК,Полагая/Bтг)ТакЬ]принадлежитДифференцируемостьфункцииЗамечание/'(ж)[/1](а,остаетсякоторыхслучаю/(а)вегде(*)пространству.—>XДоказательство.!{Ъ)[о,/:интервалеФормулааргументнормированномусмыслеГато.кприращений:чтоЗамечаниедоказательствотеоремойтакжеиногдаконечныхфункцияпеременногоодногоназываемаявтакая,функцийфункцийчисловыхдляЛагранжа,формулойтеоремасреднемзадачисреднемоизвестно,справедливаЭкстремальные1.0-а),<0 <г <Сг <1}.1}.конечно,еготрадицииследовалоэлементы8э.Теоремаотображениепространства,УX,X/:[а, Ь].отрезкаПустьсреднем.означит,| »*||1=удля(у*,у)и<рA)Гато,самим,и,| ЦЪ)(У*,=(р'(в),=1.иПустьточкиотображениеидифференцируемо|ж-формулу| /о(с)||шрсе(а,Ь)отрезкеЛагранжа:условиявсе| Ь-•а\\.(/среднемотеоремышТогда| /^(с)вирс€(а,Ь)применитьУXх,отображение/строго—+-теоремуА||€а\\.| Ь-•среднемолюбого<6.линейные—отображениюк/о (ж)—»дифференцируемоФрешеевсилу>0 найдетсятойпространства,нормированныепоГатодифференцируемохВдляУX,ПустьР:пох\\нанепрерывностьее.Доказательство.при1].Л.-2.х[0,применитьможно,Ь(Х,У).ЕНадо!{х)точкесовпадаетЧЬЕ^следуетнейвыполненыАоператорСледствиевЬ]тем,пользуясьфункционала^(Ь-а))||-ЦЬ-а||<+отображениеокрестности[а,отрезка@, 1).
Поэтомув ЕДоказательство.д(х)чтолинейный—точкеа)) [Ь-а])-а)||<=у*суперпозиции,отакой,/(а)||.-каждойвУ,ЕуУ*(у*=СледствиеЬ])*{Ъ+к<||/о(аа,(«/офункции/(а)||-у*ЕПоскольку/теоремелюбогодля| /(Ь)=непрерывногоследовательно,(р@)-<(Ь-линейногодифференцируемости[О, 1],(р(\)точкеполучимЧ>'$)Из/(а))а))).-отображениепотоГатопроизводнаянайдется+апроизводнуюнимс(у*,/(а5.4)п.элемент<зг*,/F)т.е.=функционал,непрерывныйчто/(а)—| У| ,(см.Банахалемме/(Ь)==Обозначимимееткаждойв| /^(с)||-| *-а||-вирсё(в,Ь)ПоДоказательство.ипростран-нормированныеГатопоТогда)/(а)||<алинейные—дифференцируемоУ—*о/анализафункциональноговнепрерывновнекоторойхточкеокрестх.точкев(аТогдаследовательно,точке).жеотображениянепрерывноститакое6 >0,чтох| /о(ж)-/о(ж)||—*/о (ж)<е68ВвыпуклостисилуВЕжьж2среднемочтосозначаетчто2Гато3.что/2Фрешеточкевееавытекаетнепрерывностьстрогаяпроизводнойдифференцируемость5.3.4.ТеоремаоТеорема.отображениеГато,смыслехРу (ж, у)любой(х2)у1)(ж, #)(ж, у)иимеетXхсилулюбогодляФреше.точкевэтойвточкепроизводной(и,следова-этойокрестности(и,следовательно,Тогдаж.След-выполнениявторойФрешепоотображенияэтойвСледствию2точке.■УЕхпроизводныеточке(ж, #).точкевприиТогданекоторойиз(ж, у)08 >найтиможноVокрестностиу)Рх(х,производныечастныеу)#)^(6Ех(х,у)отображений>Еу(х,иРэтомнепрерывностие(ж, у)точкечастныежепространства,нормированныекаждойв0 такое,ичтоосуществуют:=идляоВ(х,Ру(х,у)V,то6)хВ(у,6)смыслевнеравенствавыполняютсявидеть,6 Vпроиз-Фрешедляточкев«прямоугольной»изусловиялинейные2непрерывнымитойвВ(ж, #)точкиЛегко6являющиесяточки■ж.строгуюпроизводнойотображениясуществованияГато)—>(ж, #)точкеточкегарантируетпроизводнойв некоторойГато)Фрешепроизводной—УДоказательство.ввдифференциаледифференцируемостроготеоремыпроизводнойвсеизХ,У,2Xточкиокрестностиусловия1дифференцируемое™ЭточтополномПустьР:изсуществованиевторойсуществованиетакженепрерывность/существованиепроизводнойсуществованиеточки,6}<следствиюпроверкенепрерывность.болеетемследуетжж||| ж-ПодоказатьПокажем,Действительно,имеются.следовательно,{ж |8О{х)).6Доказательство.СледствияприСуществованиедифференцируемостьстрогую=ФВ.&достаточноиО2(х)х2]отображенияпоказывает,проверитьиСледствиегарантирует(/ 6=дифференцируемостьдифференцируемостьГато\х\,функционалапроизводной6)получаемстрогуюСледствиезадачиВ(х,~отрезок/о (ж)=ЭкстремальныеВшараследует,Лконкретногов1.Главачтои,болееесли(ж^з^),точкитого,обаотрезка(х2,у2)[{х1,у1),{х2,у1)},лежатв[{х2,у{),{хъу2)]иточка§содержатсяVвЭлементыотображениеу2].отображениям,\ Р(хиУ1)Р(Х2,У2)-РХ(Х,У)[Х1Р(Х2,У1)+(по неравенствусреднем)<{х\,у{),(х2,у2)Фреше(иэтомЕV,чтосред-+строгуюявныйдаетиотображениявидотдифференцирупроизводнойпеременных.двух■алгебрыизанализадополнительныеприводятсяусловияхсведенияпонадобятсякоторыеанализа,экстремумаОпределение.валгебрыиздоказательствадляэкстремальныхгладкихА1АннуляторомXпространствах*,функционаловзадачахвж)Отметим,0)=чтосопряженногоЛеммаоX.ТогдаА1нор-аннуляторвсегда0ж€А}.УжбнулевойподпространствосодержитЬПустьлинейногоЬ1любогодлясодержитаннулятора.нетривиальностинормиро-непрерывныхА:элементX*.пространства{Ь ф X)собственное0==аннуляторлинейноголинейныхмножество(ж*,которыхдляАмножестваназывается11:={ж*бГ|(ж',ж}пространства11*1-*2||опространствах.нормированного(ж*Теоремы1означаети(х, у)сведенияпунктеобтеоремЪ]\-Следствиюи•дифференциала)функциональногонормированныхнормточкевДополнительныеифункциональногоВиРу(%,в)[У1-\ Ру(х2,у)-Ру(х,у)\\-\ У1-у2\\^тахРполного5.4.РУ(-Ц^,^,»!)-1^,D,^I1шахх€(х{,хг)»6(УЫотображенияэтим+для+любыхХ2]-Р(Х2,У2)-треугольникаемостьвтороексреднем\ Р(хьу1)-Р(х2,у1)-Рх(х,$)[х1-х2]=дляоР(х2,у1))добавими1 теоремыпервоех2],(*)силу-[х\,отрезкенаследствиевотображеГато:поРх(х,У\)Применяяполучаем(вычтемдифференцируемыпроизводную[у\,наПоэтомуV.множестваР(х2,у)69анализавыпуклости—+уиимеетЕу(х2,у)функциональногосилувР{х,у\)—+жотображения5.—соб-замкнутоепростран-нормированногоненулевойэлементх*6X*.70ГлававторойотделимоститеоремепринадлежащейзамкнутомувыпукломунепрерывныйфункционалподпространствоЬследовательно,выпукло)ж*(ЬзадачиЬПосколькуДоказательство.ПоЭкстремальные1.X*,ЕФX,разделяющий$ир(х*,х)этогонеравенства(г*,ж}(ж*,которогоДействительно,ж0)ф 0,топосколькуДалееподсле-Ь,К,ЕаЬ1,ЕЕж0т.е.ко-длябылобы+оо.=абК(ж*,ж)понадобятсянамЬЕх*чтосуществовалолюбогодля8ир{ж*,ажо)^Следовательно,так.быажох^ЬнеПокажем,ф 0.если8ир(ж*,ж)Этох*чтоследует,0УжЕ1.=ии,хпространства(х*,х).<х^ЬИзточкулинейногоЬ.при-линейныйсуществуетстрогоподпространство—неточки,отделимости$хточкасуществуетто(о строгоймножеству)0 V=следующиеЬЕхЬ1.Ешфункциональногоизтеоремыдвех*поэтомуи,анализа.обБанахаТеоремабанаховыпространства,множестваXвБанахаТеоремабанаховыобобратномЛпространства,являющийсяЛеммапространство,ЛеммаЛеммаэпиморфизмом.иДоказательство.пространстве1уX=обратномнепрерывныйобозначаетсяУ,| жо||.1У5\У,впростран-х*функционалX*ЕХана—теоремыфункционала.отображении.ПустьлинейныйX1.X,М:иоператорУв—являющийсябанаховы(необязательноX—+СконстантаУУ,0>такие,ЧуЕГ.:=ПоXизоператор\ Му\\^С\\у\Вхтождественный—обратныйизвестнойизОбозначимрадиусаУизнормированноенепрерывныйлинейное)=в—непрерывный.отображениесуществуютМXXсуществуютлинейноеследствиемнеобязательноАоЧерез—Тогданепрерывное109.]линейныйявляетсяправомЛоУX,ПустьоператорТогдаи—линейногопространства,вс.продолженииX,открытого213.]с.линейный0.=линейныйже{ж*,ж0)1,—изкаждогообраз[КФ,КегЛсуществуетБанахаотак[ГТ,Тогда\ х*\\чтоБанахаX,—+У).ПустьоператорТогданепрерывныйиБанаха.X.Ежотакой,У109.]с.линейный—+операторе.—эпиморфизмомЛ:оператор5'(Л:XГТ,У.воткрыт262;с.непрерывный—эпиморфизмомявляющийсяшар[КФ,открытости.Л{жЕX\ | ж|<1}Банахатеоременапространстве—обУ.открытыйоткрытостичто§образотображенииоткрытогосноль,центромМузначим6ВУтакой,||:=Мотображения{у:=\\ \ у\УЕ6},<\ х(у)\\у,=е.т.открытый6<^имеем:2||»|I_ШЛеммаоX2,1тXС:операторУ—уВ:У',—>подпространствовобраза.замкнутостиА:пространства,А1тбанаховогоУпространстваПоэпиморфизм.леммеУМ:оператортакая,(у, г)точкаЭтоС.чтоозначает,у2п:=В(х„ИтАх„Тогда=Нп).—ИМА(хп-Поэтому,{^=Вх|Ах=0=у}.т.Эточтосуществуетге.у))=Ахппринадлежит(Ахп-=у,ВхЦт.гп=г,т.е.=сдвигомг(у,г)=ЕявляетсяИтак,=гиу.=множествавидеть,легкоу)-Взамкнуто.АхО,->замыканиюкакX:у\\-оператораследовательно,Еполучим:К\\Ахп<-множество,х{хп}п^1М,непрерывностисилуопе-Нп:—М(Ах„-у),Положиму)\\А(М(Ахп--ВКег.4,подпространстваозначает,в1т\Вх„,-образапоследовательностьоператора\ М(АхпАхп=—+Н„)—поУ.замыканию1тВх„.=—существуют6принадлежитгУ-+чтонайдетсяУ,свойствуЕ=Нп)ВНпВ(хпитСчто~1тАXотображении0 такие,>А:\ Му\\^К\\у\1тЕнепрерывен.УиопределениюпообратномКЦ,=ПустьиконстантаилинеенподпространствобанаховоправомоX—+непрерывный2.хСоператорЗамкнутое—Узамкнутолинейный—вчтообраза.егопрост-операторы,ВКетАСзамкнутоОчевидно,замкнутостьбанаховы—непрерывныеТогдаВх).С2У,X,бучподпространствоУ,(Ах,:=бу/линейные—вСхДоказательство.Докажемоператора2замкнуто2,хXПусть—*подпространствоиобо-определенияизиУЕу6ВУЕулюбого6=любогодляДля1.<6уТогдавну-содержиткакой-тосодержитАх(у)чтолинейномприАВхмножествотоследовательно,и,нулевх(у)Посколькуоткрыт.ноль,в71анализаАВхпереходитточкойнайдетсяфункциональногомножестванольвнутреннейшарЭлементы5.ЕЕ6=1тСЕ.Это■721.ГлаваЛеммабанаховыТогдаобаннуляторепространства,(КегЛ)-1А:ядраXА*СЭкстремальныезадачирегулярногоУ—+линейныйУX,—эпиморфизм.непрерывный1тА*.=Пустьоператора.—Доказательство.А)Докажем,1тчтоА)-1.(КегТогда(ж*,ж*Значит,В)ж)(ж*,х)V1тЛ*2К=образазамкнутостиУхК.=^ 1т(Л,@,1)точкаПолеммеподпространства(еслиА(ж*,ж)+Аж*+Фпротиворечие).обТеоремаж*XтохЕ:ТогдасуществуютхЕ(хXсобственногонепрерывныйКфунк-такой,что=Аж*,ж)+0 V=Р(х)X6ж(КегЛ)хт.е.6иЕ~1:отображениеКконстантаипро-Е'(х)являетсяУУ0>—шбанаховы—ЗО(х)0=1тА*.С2X,Егточкиу*=*•ПустьобратноеIV0УжбХЕслиг.-существуют\ Р~\г)Люстерника.—+2,Кчисло+<р(х))-ПустьЕЕотображениеитакС2такие,X-+чтоиТеоремаотображениезамкнутож) =0/1).х1тА*,6отображении.окрестности==А*(-^-)=2,-+Е(Е-\г))=г,точки(у*,Лж)обратномР:пространства,Е~1(г)(у*,Ах)+\(х*,х)(А*у*лем-собственным,(ж*,У*=По(Л, ж*)1гаУ,вК.—замкнутогоК)*х0 <=>=иначеТогдаэпиморфизмом,некоторой(Узамкнуто2являетсятоУсло-0.=(ибо00,=У=для(ж*,ж).:=влинейный<=^АПричемЛжЕ({у*,\),(Ах,(х*,х)))=0(А*у*,х)А*у*(А, ж*)ненулевойAт(А,х*))±6замкнуто1т Ст.е.образа=аннуляторасуществует(у*,Х)функционалА)0=(КетАI,6замкнутостиВжЛ,1т-4нетривиальностиооотображений1тж*)А*у*.=А.ж*ВозьмемподпространствоПодпространствож*•»КегУжблеммуиА*1тЕ(КегЛ)х.подпространство(ж*, Кег=0=1тА*.ПрименимВКег.4о4ж>ССвыполняются:вГх^(у*,=(КегЛ)хУ,подпространствокакт.е.Кег.4.6жX,леммылеммеж)чтоО=(Л*/,(КегЛ),6Докажем,пространствУсловия=ж*Возьмем>=0Р(х),X,ЗТ)(х),такие,Р~\г)\\оператор(р: Vчто| ^ж)||<2< К\\гбанаховы—X-*г\\VгЕявляетсяXнекоторойЖотобра-пространства,Е'(х)С-эпиморфизмом.окрестностиЛ§Элементы5.этойДоказательствооснованотеоремы73анализамодифицированномнаме-Ньютона.методеА)хфункциональногоНе0=Р'(х)\С0.=Х-+2Полеммедляозаписи,2считатьоператорадляМ:можемчтосчитаем,оператореотображениеобщности,ограничиваякраткостиобратномправомобратноесуществуют(не1>такие,общности,ограничиваяР(х)иX-+константаиединицы)большейеечтоЕ'(х)оМОтображениеР8О(х),Е\ Мг\\^С\\г\12,=Уедляпоэтому=2,Ег6существует—0>такое,ЧТО\ Р(х')| ж'|при| ж" |6,<следуеттакже6.<Р'(*)(х'-Из6'х")\\-^РвЦх'х"\\-| х|чтобымалым,A)некоторой0=окрестностиС||2?1(а;)|+хточкевнепрерывностьстоль<дифференцируемое™строгойнепрерывностьВыберемнуля.Р(х")-<| х|при-8'.<оДляэлементасIЕх{$„}элементовпомощью@, ё')В:=элемен-последовательностьопределимсоотношениярекуррентногоB)В)I Со IДокажем11^11=получаемпо<При—•п| ^„||чтоиндукции,61=B)изи6<Действительно,0.^побратномправомолеммыVоператореоценку|6откудапоЦ&+1ЦПрименяяИзкгдля=6<б.<\ МР(х)\\=гпри=обеимB)частямэтогоследует,C)Ц^Цнорм(к0,1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
